三角恒等变换

章少川

本部分内容由两角和差与两倍角的正、余弦公式，正切公式组成.主要考查运算能力、公式的灵活运用能力. 在客观题中，突出考查基本公式所涉及的简单运算；解答题中以中等难度题为主，重点考查函数名称、角、关系式的变换，多数问题都会联系三角形、向量等概念进行综合考查，

重点：熟练记忆诱导公式、同角三角函数关系，两角和差的三角函数公式及二倍角公式，另外对特殊角的三角函数值应非常熟悉.培养观察能力，寻求角与角之间的联系，掌握必要的变形技巧，提高准确的解题方向.

难点：其一，如何牢固记忆众多公式；其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、化简与证明的方法.

1. 三角恒等变形的基本思路

一般从“角”“名”“结构”三方面入手. 一看“角”，这是最重要的一环，常见思路是复角变单角、一般角变特殊角、目标角变已知角；二看“函数名称”，常见的有“切化弦”“万能公式”等；三看“结构特征”，常用思路是关系式的展开与合并、次幂的转换、分式与整式的运算、角度的配凑等.

2. 三角恒等变形的基本策略

（1）齐次同除：如已知tanα=2，求的值.

（2）sinα±cosα与sinα·cosα的关系，以及1±sinα=sin±cos.

（3）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=sin2θ+cos2θ=tan45°等.

（4）角的配凑：如α=（α+β）-β=（α-β）+β，2α=（α+β）+（α-β），α=[（α+β）+（α-β）].

（5）互余关系：如sin+θ=cos-θ，cos-2α=sin+2α.

（6）降次与升次：即倍角公式的变形，sin2α=，cos2α=，1+cosα=2cos2等.

（7）引入辅助角：asinθ+bcosθ=sin（θ+φ），这里辅助角φ所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tanφ=确定.

值得注意的是，掌握特定类型的特别做法会在解题过程中起到事半功倍的效果，但切不可生搬硬套，一定要结合试题的具体问题做具体分析.

3. 求值题常见类型

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系.

（2）给值求值：此解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.

（3）给值求角：其实质是“给值求值”，关键也是“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.

例1 设α为锐角，若已知cosα+=，则sin2α+的值为_______.

思索 三角变换的基本策略常常是从角的关系寻找突破口：本题若从条件展开cosα+=，则也应展开所求的sin2α+，才可找出它们之间的关系，有一定难度；但若从角度关系入手，发现已知角与未知角的倍数关系，再进行拆角变换就可很快解决此题.

破解 因为α为锐角，即0<α<，所以<α+<+=. 因为cosα+=，所以sinα+=. 所以sin2α+=2sinα+·cosα+=2××=. 所以cos2α+=2cos2α+-1=. 所以sin2α+=sin2α+-=sin2α+cos-cos2α+sin=·-·=.

例2 （2014年高考重庆卷） 若已知函数f（x）=sin（ωx+φ）ω>0，-≤φ<的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

（1）求ω和φ的值；

（2）若f=<α<，求cosα+的值.

思索： 问题（1）考查三角函数的图象与性质，不难求得ω和φ的值；问题（2）先把条件变形，即sinα-=，而结论要求cosα+即sinα，从角的关系寻找突破口，应进行拆角变换.

破解 （1）因为f（x）的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f（x）的最小正周期T=π，从而ω==2.又因为f（x）的图象关于直线x=对称，所以2×+φ=kπ+，k=0，±1，±2，….因为-≤φ<，所以φ=-.

（2）由（1）及已知得f=·sin2×-=，故sinα-=.又由<α<得0<α-<，？摇 所以cosα-===.因此cosα+=sinα=sinα-+=sinα-·cos+cosα-sin=×+×=.

例3 （2014年高考天津卷）已知函数f（x）=cosx·sinx+-cos2x+，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期.

（2）求f（x）在闭区间-，上的最大值和最小值.

思索 本题是一道典型的三角函数题：一般是通过对三角函数“角、名、结构”的分析，先把函数化归为y=Asin（ωx+φ）的常见形式，才可进行函数性质研究.“降幂”变形与“辅助角”变形是最常用手法.

破解 （1）f（x）=cosx·sinx+-cos2x+=cosx·sinx+cosx-cos2x+=cosx·sinx-cos2x+=sin2x-cos2x=sin2x-.所以f（x）的最小正周期为π.

（2）-≤x≤时， -≤2x-≤，所以2x-=-，即x=-时， f（x）取最小值-；所以2x-=，即x=时， f（x）取最大值.

例4 （2014年高考江西卷）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈-，.

（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；

（2）若f=0， f（π）=1，求a，θ的值.

思索 本题第（1）问把特殊值代入，展开变形为单一函数并结合图象可求区间[0，π]上的最值；第（2）问由两个条件得到两个关系式，要注意分析其特征才能求得两个参数的值.本题由于条件中含参数，可加条件使问题更简单化，也可改造为更综合的探究性试题或开放性试题.endprint

破解 （1）因为a=，θ=，所以f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sinx++cosx+=sinx+cosx-sinx=cosx-sinx=cosx+.又0≤x≤π，所以≤x+≤，所以f（x）min= -1， f（x）max=.

（2）由已知f=sin+θ+acos+2θ=cosθ-asin2θ=cosθ-2asinθcosθ=0；又θ∈-，，所以cosθ≠0，所以2asinθ=1.因为f（π）=sin（π+θ）+acos（π+2θ）=-sinθ-acos2θ=1，所以-sinθ-a（1-2sin2θ）=1，所以

-sinθ-a+2asin2θ=1，所以a=-1，所以sinθ=-. 又θ∈-，，所以θ=-.

1. 已知α∈，，sin-α= -，则cos2α=_______.

2. 化简：

（1）；

（2）（0<θ<π）.

3. 若已知0<β<<α<，且cos-α=，sin+β=，则sin（α+β）的值为_______.

4. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻最高点、最低点间的距离为.

（1）求函数f（x）的表达式；？摇

（2）若已知sinα+f（α）=，据此求的值.

参考答案

1. 因为α∈，，所以-α∈-，0. 因为sin-α=-，所以cos-α=，故cos2α=sin-2α=2sin-αcos-α=2×-×=-.

2. 如下：

（1）原式=

===cos2x.

（2）原式=·sin-cos==. 因为0<θ<π，所以0<<，cos>0，所以原式=-cosθ.

3. cos-α=sinα+=，因为<α+<π，所以cosα+= -. 因为sin+β=，<β+<π，所以cos+β=-，所以sin（α+β）=-sinα++β+= -sinα+cosβ++cosα+·sinβ+=.

4. （1）因为f（x）为偶函数，所以可得sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），即2sinωxcosφ=0恒成立，所以有cosφ=0. 又0≤φ≤π，所以φ=. 又相邻最高点、最低点间的距离为，图象上相邻对称轴之间的距离为π，所以T=2π，所以ω=1，所以f（x）=cosx.

（2）因为原式===2sinαcosα，且sinα+cosα=，所以1+2sinα·cosα=，即2sinαcosα=-，故原式=-.endprint

破解 （1）因为a=，θ=，所以f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sinx++cosx+=sinx+cosx-sinx=cosx-sinx=cosx+.又0≤x≤π，所以≤x+≤，所以f（x）min= -1， f（x）max=.

（2）由已知f=sin+θ+acos+2θ=cosθ-asin2θ=cosθ-2asinθcosθ=0；又θ∈-，，所以cosθ≠0，所以2asinθ=1.因为f（π）=sin（π+θ）+acos（π+2θ）=-sinθ-acos2θ=1，所以-sinθ-a（1-2sin2θ）=1，所以

-sinθ-a+2asin2θ=1，所以a=-1，所以sinθ=-. 又θ∈-，，所以θ=-.

1. 已知α∈，，sin-α= -，则cos2α=_______.

2. 化简：

（1）；

（2）（0<θ<π）.

3. 若已知0<β<<α<，且cos-α=，sin+β=，则sin（α+β）的值为_______.

4. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻最高点、最低点间的距离为.

（1）求函数f（x）的表达式；？摇

（2）若已知sinα+f（α）=，据此求的值.

参考答案

1. 因为α∈，，所以-α∈-，0. 因为sin-α=-，所以cos-α=，故cos2α=sin-2α=2sin-αcos-α=2×-×=-.

2. 如下：

（1）原式=

===cos2x.

（2）原式=·sin-cos==. 因为0<θ<π，所以0<<，cos>0，所以原式=-cosθ.

3. cos-α=sinα+=，因为<α+<π，所以cosα+= -. 因为sin+β=，<β+<π，所以cos+β=-，所以sin（α+β）=-sinα++β+= -sinα+cosβ++cosα+·sinβ+=.

4. （1）因为f（x）为偶函数，所以可得sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），即2sinωxcosφ=0恒成立，所以有cosφ=0. 又0≤φ≤π，所以φ=. 又相邻最高点、最低点间的距离为，图象上相邻对称轴之间的距离为π，所以T=2π，所以ω=1，所以f（x）=cosx.

（2）因为原式===2sinαcosα，且sinα+cosα=，所以1+2sinα·cosα=，即2sinαcosα=-，故原式=-.endprint

破解 （1）因为a=，θ=，所以f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sinx++cosx+=sinx+cosx-sinx=cosx-sinx=cosx+.又0≤x≤π，所以≤x+≤，所以f（x）min= -1， f（x）max=.

（2）由已知f=sin+θ+acos+2θ=cosθ-asin2θ=cosθ-2asinθcosθ=0；又θ∈-，，所以cosθ≠0，所以2asinθ=1.因为f（π）=sin（π+θ）+acos（π+2θ）=-sinθ-acos2θ=1，所以-sinθ-a（1-2sin2θ）=1，所以

-sinθ-a+2asin2θ=1，所以a=-1，所以sinθ=-. 又θ∈-，，所以θ=-.

1. 已知α∈，，sin-α= -，则cos2α=_______.

2. 化简：

（1）；

（2）（0<θ<π）.

3. 若已知0<β<<α<，且cos-α=，sin+β=，则sin（α+β）的值为_______.

4. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻最高点、最低点间的距离为.

（1）求函数f（x）的表达式；？摇

（2）若已知sinα+f（α）=，据此求的值.

参考答案

1. 因为α∈，，所以-α∈-，0. 因为sin-α=-，所以cos-α=，故cos2α=sin-2α=2sin-αcos-α=2×-×=-.

2. 如下：

（1）原式=

===cos2x.

（2）原式=·sin-cos==. 因为0<θ<π，所以0<<，cos>0，所以原式=-cosθ.

3. cos-α=sinα+=，因为<α+<π，所以cosα+= -. 因为sin+β=，<β+<π，所以cos+β=-，所以sin（α+β）=-sinα++β+= -sinα+cosβ++cosα+·sinβ+=.

4. （1）因为f（x）为偶函数，所以可得sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），即2sinωxcosφ=0恒成立，所以有cosφ=0. 又0≤φ≤π，所以φ=. 又相邻最高点、最低点间的距离为，图象上相邻对称轴之间的距离为π，所以T=2π，所以ω=1，所以f（x）=cosx.

（2）因为原式===2sinαcosα，且sinα+cosα=，所以1+2sinα·cosα=，即2sinαcosα=-，故原式=-.endprint