查漏补缺之平面向量、解三角形

童殷

1. 平面向量的基本概念

（1）你能说出与零向量有关的一些结论吗？

作答：______________________

（2）你还记得向量a的单位向量的定义吗？非零向量a的单位向量如何表示？

作答：______________________

（3）你还记得相等向量吗？

作答：______________________

（4）你知道平行向量和共线向量的区别吗？

作答：______________________

（1）0的方向是任意的；a=0？圳a+（-a）=0；以正n（n≥3，n∈N）边形的中心为始点、各顶点为终点的n个向量的和为零向量；0与任一向量平行（共线）.

（2）与非零向量a同方向且长度为1的向量；非零向量a的单位向量是.

（3）a=b且a，b同向？圳a=b.

（4）当向量可自由平移后，平行向量为共线向量.

2. 平面向量的线性运算

（1）你记得向量的加法法则与减法法则吗？

作答：______________________

（2）你记得向量与实数λ相乘后的几何意义吗？

（1）向量的加法法则，三角形法则：+=；

平行四边形法则：平行四边形ABCD中，+=；

多边形法则：++…+=.

向量的减法法则，-=.

（2）当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ=0时，λa=0.

3. 平面向量的基本定理

（1）平面向量的基本定理和共线定理你熟记了吗？

作答：______________________

（2）你知道平面向量的基本定理和共线定理的用途吗？

作答：______________________

（1）①平面向量的基本定理：e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一组基底；

②共线定理：如果b≠0，则a∥b？圳a=λb（λ∈R且唯一）.

（2）用途：

①判断若干个向量是否共线；

②把平面内的任一向量用平面内的一组基底表示；

③求参数的取值.

4. 平面向量的坐标运算

（1）你记得平面向量的坐标运算吗？

作答：______________________

（2）你知道平面向量平行（共线）的坐标表示吗？

作答：______________________

（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a±b=（x1±x2，y1±y2）；若A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2-x1，y2-y1）；若a=（x，y），λ∈R，则λa=（λx，λy）.

（2）设a=（x1，y1），b=（x2，y2）（b≠0），则a∥b？圳x1y2-x2y1=0.

5. 平面向量的数量积及其应用

设a=（x1，y1），b=（x2，y2）是两个非零向量，夹角为θ（或〈a，b〉）.

（1）两个非零向量的夹角的定义及其取值范围你还记得吗？它们的数量积是如何定义的？

作答：______________________

（2）一个向量在另外一个向量方向上的投影指的是什么？其正负值如何确定？

作答：______________________

（3）对于向量的应用，你记得哪些？

作答：______________________

（1）两个非零向量，的夹角是∠AOB，其取值范围是[0，π]；②两个非零向量的数量积，向量式：a·b？圳a·bcosθ；坐标式：a·b=x1x2+y1y2.

（2）b在a方向上的投影为b· cosθ，其正负取决于两向量的夹角. 当0≤θ<时，它是正值；当<θ≤π时，它是负值.

（3）证明平行问题，包括相似问题，常用向量平行（或共线）的充要条件：

a∥b？圳a=λb？圳x1y2-x2y1=0（b≠0）；

证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：

a⊥b？圳a·b=0？圳x1x2+y1y2=0；

求夹角或判断夹角问题，常利用夹角公式：

cosθ==，由此可得a·b>0？圳0≤θ<；a·b<0？圳<θ≤π.

求线段的长度，常用向量的线性运算，向量的模a==或AB==.

6. 正弦、余弦定理及其应用

（1）正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化来解斜三角形？

作答：______________________

（2）你知道三角形的面积公式吗？

作答：______________________

（1）正弦定理：===2R？圳a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA？圯cosA=.

（2）S△ABC=absinC==（a+b+c）r，其中R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径.

重要结论：

（1）a+b2+a-b2=2（a2+b2）；

（2）在△ABC中，O是△ABC的重心？圳++=0，O，.endprint

1. 平面向量的基本概念

（1）你能说出与零向量有关的一些结论吗？

作答：______________________

（2）你还记得向量a的单位向量的定义吗？非零向量a的单位向量如何表示？

作答：______________________

（3）你还记得相等向量吗？

作答：______________________

（4）你知道平行向量和共线向量的区别吗？

作答：______________________

（1）0的方向是任意的；a=0？圳a+（-a）=0；以正n（n≥3，n∈N）边形的中心为始点、各顶点为终点的n个向量的和为零向量；0与任一向量平行（共线）.

（2）与非零向量a同方向且长度为1的向量；非零向量a的单位向量是.

（3）a=b且a，b同向？圳a=b.

（4）当向量可自由平移后，平行向量为共线向量.

2. 平面向量的线性运算

（1）你记得向量的加法法则与减法法则吗？

作答：______________________

（2）你记得向量与实数λ相乘后的几何意义吗？

（1）向量的加法法则，三角形法则：+=；

平行四边形法则：平行四边形ABCD中，+=；

多边形法则：++…+=.

向量的减法法则，-=.

（2）当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ=0时，λa=0.

3. 平面向量的基本定理

（1）平面向量的基本定理和共线定理你熟记了吗？

作答：______________________

（2）你知道平面向量的基本定理和共线定理的用途吗？

作答：______________________

（1）①平面向量的基本定理：e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一组基底；

②共线定理：如果b≠0，则a∥b？圳a=λb（λ∈R且唯一）.

（2）用途：

①判断若干个向量是否共线；

②把平面内的任一向量用平面内的一组基底表示；

③求参数的取值.

4. 平面向量的坐标运算

（1）你记得平面向量的坐标运算吗？

作答：______________________

（2）你知道平面向量平行（共线）的坐标表示吗？

作答：______________________

（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a±b=（x1±x2，y1±y2）；若A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2-x1，y2-y1）；若a=（x，y），λ∈R，则λa=（λx，λy）.

（2）设a=（x1，y1），b=（x2，y2）（b≠0），则a∥b？圳x1y2-x2y1=0.

5. 平面向量的数量积及其应用

设a=（x1，y1），b=（x2，y2）是两个非零向量，夹角为θ（或〈a，b〉）.

（1）两个非零向量的夹角的定义及其取值范围你还记得吗？它们的数量积是如何定义的？

作答：______________________

（2）一个向量在另外一个向量方向上的投影指的是什么？其正负值如何确定？

作答：______________________

（3）对于向量的应用，你记得哪些？

作答：______________________

（1）两个非零向量，的夹角是∠AOB，其取值范围是[0，π]；②两个非零向量的数量积，向量式：a·b？圳a·bcosθ；坐标式：a·b=x1x2+y1y2.

（2）b在a方向上的投影为b· cosθ，其正负取决于两向量的夹角. 当0≤θ<时，它是正值；当<θ≤π时，它是负值.

（3）证明平行问题，包括相似问题，常用向量平行（或共线）的充要条件：

a∥b？圳a=λb？圳x1y2-x2y1=0（b≠0）；

证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：

a⊥b？圳a·b=0？圳x1x2+y1y2=0；

求夹角或判断夹角问题，常利用夹角公式：

cosθ==，由此可得a·b>0？圳0≤θ<；a·b<0？圳<θ≤π.

求线段的长度，常用向量的线性运算，向量的模a==或AB==.

6. 正弦、余弦定理及其应用

（1）正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化来解斜三角形？

作答：______________________

（2）你知道三角形的面积公式吗？

作答：______________________

（1）正弦定理：===2R？圳a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA？圯cosA=.

（2）S△ABC=absinC==（a+b+c）r，其中R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径.

重要结论：

（1）a+b2+a-b2=2（a2+b2）；

（2）在△ABC中，O是△ABC的重心？圳++=0，O，.endprint

1. 平面向量的基本概念

（1）你能说出与零向量有关的一些结论吗？

作答：______________________

（2）你还记得向量a的单位向量的定义吗？非零向量a的单位向量如何表示？

作答：______________________

（3）你还记得相等向量吗？

作答：______________________

（4）你知道平行向量和共线向量的区别吗？

作答：______________________

（1）0的方向是任意的；a=0？圳a+（-a）=0；以正n（n≥3，n∈N）边形的中心为始点、各顶点为终点的n个向量的和为零向量；0与任一向量平行（共线）.

（2）与非零向量a同方向且长度为1的向量；非零向量a的单位向量是.

（3）a=b且a，b同向？圳a=b.

（4）当向量可自由平移后，平行向量为共线向量.

2. 平面向量的线性运算

（1）你记得向量的加法法则与减法法则吗？

作答：______________________

（2）你记得向量与实数λ相乘后的几何意义吗？

（1）向量的加法法则，三角形法则：+=；

平行四边形法则：平行四边形ABCD中，+=；

多边形法则：++…+=.

向量的减法法则，-=.

（2）当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ=0时，λa=0.

3. 平面向量的基本定理

（1）平面向量的基本定理和共线定理你熟记了吗？

作答：______________________

（2）你知道平面向量的基本定理和共线定理的用途吗？

作答：______________________

（1）①平面向量的基本定理：e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一组基底；

②共线定理：如果b≠0，则a∥b？圳a=λb（λ∈R且唯一）.

（2）用途：

①判断若干个向量是否共线；

②把平面内的任一向量用平面内的一组基底表示；

③求参数的取值.

4. 平面向量的坐标运算

（1）你记得平面向量的坐标运算吗？

作答：______________________

（2）你知道平面向量平行（共线）的坐标表示吗？

作答：______________________

（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a±b=（x1±x2，y1±y2）；若A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2-x1，y2-y1）；若a=（x，y），λ∈R，则λa=（λx，λy）.

（2）设a=（x1，y1），b=（x2，y2）（b≠0），则a∥b？圳x1y2-x2y1=0.

5. 平面向量的数量积及其应用

设a=（x1，y1），b=（x2，y2）是两个非零向量，夹角为θ（或〈a，b〉）.

（1）两个非零向量的夹角的定义及其取值范围你还记得吗？它们的数量积是如何定义的？

作答：______________________

（2）一个向量在另外一个向量方向上的投影指的是什么？其正负值如何确定？

作答：______________________

（3）对于向量的应用，你记得哪些？

作答：______________________

（1）两个非零向量，的夹角是∠AOB，其取值范围是[0，π]；②两个非零向量的数量积，向量式：a·b？圳a·bcosθ；坐标式：a·b=x1x2+y1y2.

（2）b在a方向上的投影为b· cosθ，其正负取决于两向量的夹角. 当0≤θ<时，它是正值；当<θ≤π时，它是负值.

（3）证明平行问题，包括相似问题，常用向量平行（或共线）的充要条件：

a∥b？圳a=λb？圳x1y2-x2y1=0（b≠0）；

证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：

a⊥b？圳a·b=0？圳x1x2+y1y2=0；

求夹角或判断夹角问题，常利用夹角公式：

cosθ==，由此可得a·b>0？圳0≤θ<；a·b<0？圳<θ≤π.

求线段的长度，常用向量的线性运算，向量的模a==或AB==.

6. 正弦、余弦定理及其应用

（1）正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化来解斜三角形？

作答：______________________

（2）你知道三角形的面积公式吗？

作答：______________________

（1）正弦定理：===2R？圳a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA？圯cosA=.

（2）S△ABC=absinC==（a+b+c）r，其中R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径.

重要结论：

（1）a+b2+a-b2=2（a2+b2）；

（2）在△ABC中，O是△ABC的重心？圳++=0，O，.endprint