查漏补缺之三角函数

廖军

1. 任意角的三角函数

（1）你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为r？摇的弧长公式和扇形面积公式吗？

作答：______________________

（2）你知道锐角与第一象限的角、终边相同的角和相等的角的区别吗？

作答：______________________

（3）怎样快速判断角等的象限？

作答：______________________

（1）l=αr；S=l·r=α·r2.

（2）锐角取值范围：0，.

第一象限的角：2kπ，2kπ+（k∈Z）.

与α终边相同的角：{ββ=2kπ+α，k∈Z}.

（3）一般地，要确定所在的象限，可以把周角等分成4n个区域，从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1，2，3，4，则标号是几的区域就是α为第几象限的角时的终边落在的区域.

2. 三角变换

（1）同角三角函数的基本关系式和诱导公式，两角和与差公式及二倍角公式你熟记了吗？你会推导每个三角公式吗？

作答：______________________

（2）在三角函数中，你知道1等于什么吗？什么是辅助角公式？

作答：______________________

（3）你还记得三角化简的通性通法吗？

作答：______________________

（1）诱导公式：“k·±α”化为α的三角函数时注意“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇”“偶”分别指k取奇、偶数.

（2）①“1”的代换：1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=tanαcotα=tan=sin=cos0.

②辅助角公式：asinα+bcosα=sin（α+φ），其中tanφ=.

（3）三角化简的通性通法：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化.

3. 三角函数的图象和性质

（1）你已经熟记了y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象和性质了吗？能由图象写出单调区间、对称轴、对称中心、最小正周期、奇偶性吗？

作答：______________________

（2）你知道平移公式吗？

作答：______________________

（3）熟练掌握y=sinx的图象变换了吗？

作答：______________________

（4）你会用“五点法”作出y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象吗？会根据图象求y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的解析式吗？

作答：______________________

（1）①y=sinx；②y=cosx；③y=tanx.

增区间：①2kπ-，2kπ+（k∈Z）；②[2kπ-π，2kπ]（k∈Z）；③kπ-，kπ+（k∈Z）.

减区间：①2kπ+，2kπ+（k∈Z）；②[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）；③无.

对称轴：①x=kπ+（k∈Z）；②x=kπ（k∈Z）；③无.

对称中心：①（kπ，0）（k∈Z）；②kπ+，0（k∈Z）；③，0（k∈Z）.

最小正周期：①T=2π；②T=2π；③T=π.

奇偶性：①奇函数；②偶函数；③奇函数.

（2）平移公式：①点P（x，y）P ′（x′，y′），则x′=x+h，y′=y+k.②曲线f（x，y）=0沿向量a=（h，k）平移后的方程为f（x-h，y-k）=0.

（3）y=sinx经过图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）.

相位变换：φ>0（<0）向左（右）平移φ个单位. 周期变换：纵坐标不变，横坐标变为原来的倍. 振幅变换：横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍. 当变换顺序改变后，即先周期变换，后相位变换时，平移量为个单位.

（4）①用“五点法”作y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象时，将ωx+φ看做整体，取0，，π，，2π求相应的x值及对应的y值，再描点作图. ②给出图象求y=Asin（ωx+φ）的解析式的难点在于ω，φ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；图象变换法，即考查已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到，通常可由平衡点或最值点确定周期T，进而确定ω，确定φ时要用某一点的坐标代入.

4. 三角函数的最值（值域）

如何求三角函数的最值（值域）？

作答：______________________

过去求函数的最值（值域）的方法，如基本不等式法、单调性法、判别式法等还是适用的. 此外，还可以用如下方法来求值域：利用辅助角公式把三角函数转化为一次函数；将所给的三角函数转化为二次函数，再利用有界性求值域，如y=asin2x+bcosx+c可以转化为关于cosx的二次函数，注意cosx本身的取值范围.对于y=asinx+bcosx型的函数，解决的思路是将其化为y=·sin（x+φ）的形式，其中tanφ=；对于y=或y=型，利用反解法，用y去表示sinx或cosx，结合正弦、余弦函数的有界性求值域；对于y=型，思路一样，将函数转化为sin（x+φ）=f（y）的形式，利用其有界性求值域.endprint

1. 任意角的三角函数

（1）你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为r？摇的弧长公式和扇形面积公式吗？

作答：______________________

（2）你知道锐角与第一象限的角、终边相同的角和相等的角的区别吗？

作答：______________________

（3）怎样快速判断角等的象限？

作答：______________________

（1）l=αr；S=l·r=α·r2.

（2）锐角取值范围：0，.

第一象限的角：2kπ，2kπ+（k∈Z）.

与α终边相同的角：{ββ=2kπ+α，k∈Z}.

（3）一般地，要确定所在的象限，可以把周角等分成4n个区域，从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1，2，3，4，则标号是几的区域就是α为第几象限的角时的终边落在的区域.

2. 三角变换

（1）同角三角函数的基本关系式和诱导公式，两角和与差公式及二倍角公式你熟记了吗？你会推导每个三角公式吗？

作答：______________________

（2）在三角函数中，你知道1等于什么吗？什么是辅助角公式？

作答：______________________

（3）你还记得三角化简的通性通法吗？

作答：______________________

（1）诱导公式：“k·±α”化为α的三角函数时注意“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇”“偶”分别指k取奇、偶数.

（2）①“1”的代换：1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=tanαcotα=tan=sin=cos0.

②辅助角公式：asinα+bcosα=sin（α+φ），其中tanφ=.

（3）三角化简的通性通法：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化.

3. 三角函数的图象和性质

（1）你已经熟记了y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象和性质了吗？能由图象写出单调区间、对称轴、对称中心、最小正周期、奇偶性吗？

作答：______________________

（2）你知道平移公式吗？

作答：______________________

（3）熟练掌握y=sinx的图象变换了吗？

作答：______________________

（4）你会用“五点法”作出y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象吗？会根据图象求y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的解析式吗？

作答：______________________

（1）①y=sinx；②y=cosx；③y=tanx.

增区间：①2kπ-，2kπ+（k∈Z）；②[2kπ-π，2kπ]（k∈Z）；③kπ-，kπ+（k∈Z）.

减区间：①2kπ+，2kπ+（k∈Z）；②[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）；③无.

对称轴：①x=kπ+（k∈Z）；②x=kπ（k∈Z）；③无.

对称中心：①（kπ，0）（k∈Z）；②kπ+，0（k∈Z）；③，0（k∈Z）.

最小正周期：①T=2π；②T=2π；③T=π.

奇偶性：①奇函数；②偶函数；③奇函数.

（2）平移公式：①点P（x，y）P ′（x′，y′），则x′=x+h，y′=y+k.②曲线f（x，y）=0沿向量a=（h，k）平移后的方程为f（x-h，y-k）=0.

（3）y=sinx经过图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）.

相位变换：φ>0（<0）向左（右）平移φ个单位. 周期变换：纵坐标不变，横坐标变为原来的倍. 振幅变换：横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍. 当变换顺序改变后，即先周期变换，后相位变换时，平移量为个单位.

（4）①用“五点法”作y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象时，将ωx+φ看做整体，取0，，π，，2π求相应的x值及对应的y值，再描点作图. ②给出图象求y=Asin（ωx+φ）的解析式的难点在于ω，φ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；图象变换法，即考查已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到，通常可由平衡点或最值点确定周期T，进而确定ω，确定φ时要用某一点的坐标代入.

4. 三角函数的最值（值域）

如何求三角函数的最值（值域）？

作答：______________________

过去求函数的最值（值域）的方法，如基本不等式法、单调性法、判别式法等还是适用的. 此外，还可以用如下方法来求值域：利用辅助角公式把三角函数转化为一次函数；将所给的三角函数转化为二次函数，再利用有界性求值域，如y=asin2x+bcosx+c可以转化为关于cosx的二次函数，注意cosx本身的取值范围.对于y=asinx+bcosx型的函数，解决的思路是将其化为y=·sin（x+φ）的形式，其中tanφ=；对于y=或y=型，利用反解法，用y去表示sinx或cosx，结合正弦、余弦函数的有界性求值域；对于y=型，思路一样，将函数转化为sin（x+φ）=f（y）的形式，利用其有界性求值域.endprint

1. 任意角的三角函数

（1）你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为r？摇的弧长公式和扇形面积公式吗？

作答：______________________

（2）你知道锐角与第一象限的角、终边相同的角和相等的角的区别吗？

作答：______________________

（3）怎样快速判断角等的象限？

作答：______________________

（1）l=αr；S=l·r=α·r2.

（2）锐角取值范围：0，.

第一象限的角：2kπ，2kπ+（k∈Z）.

与α终边相同的角：{ββ=2kπ+α，k∈Z}.

（3）一般地，要确定所在的象限，可以把周角等分成4n个区域，从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1，2，3，4，则标号是几的区域就是α为第几象限的角时的终边落在的区域.

2. 三角变换

（1）同角三角函数的基本关系式和诱导公式，两角和与差公式及二倍角公式你熟记了吗？你会推导每个三角公式吗？

作答：______________________

（2）在三角函数中，你知道1等于什么吗？什么是辅助角公式？

作答：______________________

（3）你还记得三角化简的通性通法吗？

作答：______________________

（1）诱导公式：“k·±α”化为α的三角函数时注意“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇”“偶”分别指k取奇、偶数.

（2）①“1”的代换：1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=tanαcotα=tan=sin=cos0.

②辅助角公式：asinα+bcosα=sin（α+φ），其中tanφ=.

（3）三角化简的通性通法：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化.

3. 三角函数的图象和性质

（1）你已经熟记了y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象和性质了吗？能由图象写出单调区间、对称轴、对称中心、最小正周期、奇偶性吗？

作答：______________________

（2）你知道平移公式吗？

作答：______________________

（3）熟练掌握y=sinx的图象变换了吗？

作答：______________________

（4）你会用“五点法”作出y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象吗？会根据图象求y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的解析式吗？

作答：______________________

（1）①y=sinx；②y=cosx；③y=tanx.

增区间：①2kπ-，2kπ+（k∈Z）；②[2kπ-π，2kπ]（k∈Z）；③kπ-，kπ+（k∈Z）.

减区间：①2kπ+，2kπ+（k∈Z）；②[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）；③无.

对称轴：①x=kπ+（k∈Z）；②x=kπ（k∈Z）；③无.

对称中心：①（kπ，0）（k∈Z）；②kπ+，0（k∈Z）；③，0（k∈Z）.

最小正周期：①T=2π；②T=2π；③T=π.

奇偶性：①奇函数；②偶函数；③奇函数.

（2）平移公式：①点P（x，y）P ′（x′，y′），则x′=x+h，y′=y+k.②曲线f（x，y）=0沿向量a=（h，k）平移后的方程为f（x-h，y-k）=0.

（3）y=sinx经过图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）.

相位变换：φ>0（<0）向左（右）平移φ个单位. 周期变换：纵坐标不变，横坐标变为原来的倍. 振幅变换：横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍. 当变换顺序改变后，即先周期变换，后相位变换时，平移量为个单位.

（4）①用“五点法”作y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象时，将ωx+φ看做整体，取0，，π，，2π求相应的x值及对应的y值，再描点作图. ②给出图象求y=Asin（ωx+φ）的解析式的难点在于ω，φ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；图象变换法，即考查已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到，通常可由平衡点或最值点确定周期T，进而确定ω，确定φ时要用某一点的坐标代入.

4. 三角函数的最值（值域）

如何求三角函数的最值（值域）？

作答：______________________

过去求函数的最值（值域）的方法，如基本不等式法、单调性法、判别式法等还是适用的. 此外，还可以用如下方法来求值域：利用辅助角公式把三角函数转化为一次函数；将所给的三角函数转化为二次函数，再利用有界性求值域，如y=asin2x+bcosx+c可以转化为关于cosx的二次函数，注意cosx本身的取值范围.对于y=asinx+bcosx型的函数，解决的思路是将其化为y=·sin（x+φ）的形式，其中tanφ=；对于y=或y=型，利用反解法，用y去表示sinx或cosx，结合正弦、余弦函数的有界性求值域；对于y=型，思路一样，将函数转化为sin（x+φ）=f（y）的形式，利用其有界性求值域.endprint