信号与系统课程周期信号傅氏分解教学研究

徐 华

盐城师范学院 江苏盐城 224002

信号与系统课程包含傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换，这三大变换是该课程教学的主干。傅里叶变换部分，教材中一般分为周期信号和非周期信号的频谱分析进行阐述[1-3]。

信号的时域分析和频域分析是探讨信号性质的两个非常重要的方面，对于时域信号f(t) 而言，关注的是其在给定时刻的具体幅度值，而仅从时域波形，不能获得其频率成分等信息，因此通过傅里叶级数分解和傅里叶变换分析信号的频谱是频域分析的主要内容。时域周期信号分解后的基波和各次谐波之间是何种关系，有限次谐波再次合成之后与原始信号之间的关系如何，这些问题都需要在教学中重点说明。

1 周期信号傅里叶级数分解

对于周期信号而言，要进行傅里叶级数分解，必须满足狄氏条件，而实际的周期信号一般满足该条件。教学中，笔者从第一章信号的分解引入。第一章中提到，任何连续时间信号都可以分解为若干冲激信号的叠加，而周期信号经过傅里叶级数分解，则可以分解为若干正弦信号的叠加，如式(1)所示：

式(1)中，周期信号f(t) 分解为直流信号 a0以及若干余弦分量和正弦分量的叠加。从式(1)中可以看出：①分解出的正弦和余弦信号的频率是离散值，教学中要引导学生思考，时域信号的周期性和离散频谱之间的连续；②注意强调频域中离散频谱的相邻间隔为ω1，而(注：T1为时域信号的周期值)，可见该式建立了信号时域和频域之间的联系。另外，从实际应用的角度应向学生说明，时域信号分解得到的基波成分和二次、三次谐波等占据了能量的大部分。

2 硬件实验方案

为了取得良好的教学效果，笔者采用如下实验演示方案。

以有源带通滤波器作为选频网络，将被测信号加到选频网络上，每一带通滤波器的输出可以用示波器观察相应的基波和各次谐波分量，演示中使用频率为100 Hz的锯齿波(如图1所示)。

图1 锯齿波信号

锯齿波信号经过傅里叶级数分解：

具体的基波成分和二次、三次谐波等成分由带通滤波电路得到，电路实现框图如图2所示，其中带通滤波电路由双运放LM324组成。

图2 实现框图

实验中，100 Hz的锯齿波经过带通滤波后，除了得到100 Hz的基波成分外，还可以得到200 Hz，300 Hz，400 Hz以及500 Hz的各次谐波。采用示波器在基波和各次谐波的输出端可以观察到相应的波形。图3所示为基波成分的波形，图4和图5为二次和三次谐波的波形，其余各次谐波与之类似。

图3 锯齿波的基波

图4 锯齿波的二次谐波

图5 锯齿波的三次谐波

实验中，在给出锯齿波及其基波和二次、三次谐波等波形的基础上，还分析了各次谐波成分与基波成分的相位差。图6为采用李沙育图形法给出的基波和二次谐波的相位差结果，当两者的相位差为零时，采用双踪示波器可观察到如图6所示的波形，其余的三次谐波等与基波相位差的情况也采用李沙育图形方法给出。

图6 基波和二次谐波的相位差

3 基于MATLAB的软件仿真方案

MATLAB仿真软件在信号与系统课程教学中有着广泛的应用[4,5]。使用它可以研究周期锯齿波信号的分解以及基波和二次、三次谐波的合成波形，仿真结果能够形象地展示周期信号在进行傅里叶级数分解时的相应情况。

图7为周期锯齿波信号分解为基波、二次谐波和三次谐波以及由基波、二次谐波和三次谐波重新合成的锯齿波信号。从图中可以直观地观察到，基波成分和二次、三次谐波成分之间的频率关系。由于谐波成分较少，合成的锯齿波与实际的锯齿波之间有一定的差距。为了进一步说明谐波次数和合成波形的关系，图8给出了10次谐波信号的分解及合成情况。从图中可以看出，参与合成的谐波次数的增加使得合成的锯齿波信号能够进一步逼近原始锯齿波信号。

图7 周期锯齿波信号分解及合成图

图8 周期锯齿波信号10次谐波及其频谱图

仿真实验中的波形和硬件实验中的波形一致，从两个角度形象地展示了周期锯齿波信号分解时的各次谐波的波形，形象地说明了周期信号傅里叶分解的基本原理。

另外，在周期信号的傅里叶分解中，还有一个重要的现象：吉布斯现象。它主要指，周期信号分解后的有限项级数和原始信号之间，在信号的不可导的点上有着明显的起伏，谐波次数越少，越明显；谐波次数较多时，这种现象变得不太明显。

图9为20次谐波的分解与合成波形，图10为80次谐波的分解与合成波形。从中可以看出，在不连续点上，合成的波形与原始波形相比，有着较大的波动和变化，20次谐波的合成情况要比80次谐波的合成情况明显得多，这是典型的吉布斯现象。

图9 n=20时的合成波形

图10 n=80时的合成波形

4 结束语

笔者研究了周期信号傅里叶分解的相关教学，给出了基于有源带通滤波器的硬件方案，分析了周期锯齿波信号分解得到的基波、二次谐波和三次谐波的波形，采用李沙育图形法观察比较二次谐波和基波的相位情况；用MATLAB仿真软件仿真并分析了周期锯齿波信号分解及合成波形，并分别在20次谐波和80次谐波时分析了信号分解中的吉布斯现象。从软件仿真和硬件实现两个角度对比验证，激发了学生的学习兴趣，学生从不同角度获得关于周期信号分解及合成的相关规律，取得了较好的学习效果。

[1] 奥本海姆.信号与系统[M].刘树棠,译.第二版.西安:西安交通大学出版社,1998.

[2]管致中,夏恭恪,孟桥.信号与线性系统[M].第四版.北京:高等教育出版社,2004.

[3]郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统[M].第三版.北京:高等教育出版社,2011.

[4]李蕴华.基于Matlab的《信号与系统》频域分析[J].武汉科技学院学报,2006,19(5):21-23.

[5]张国琴.MATLAB在“信号与系统”课程教学中的应用[J].中国电力教育,2011(7):76-78.