结构元生成的复模糊值函数及积分

陈孝国，张丽娟，陈 辉

（黑龙江科技大学 理学院，黑龙江 哈尔滨 150022）

郭嗣琮教授2002年提出了模糊结构元的概念［1］，在一定程度上解决了模糊数运算时遍历性所带来的困难［2］，特别是证明了模糊实数空间与［－1，1］上同序单调函数类同胚的结论［3］后，给研究模糊值函数及其运算提出了新思路，即模糊值函数的运算及相关结论可以通过［－1，1］上同序单调函数类进行研究.模糊值函数积分一直是分析学研究中的一个热点［4］，许多学者对利用模糊结构元来研究模糊值函数的积分进行了深入探讨.如文献［5－6］研究了结构元线性生成的模糊值函数积分相关性质；文献［7］在此基础上提出了结构元生成的一般复模糊值函数积分定义，并探讨了线性运算积分公式；文献［8－9］对结构元线性生成的复模糊值函数积分进行了研究，得到了许多积分性质和结论.但是，上述对积分的研究只限于模糊值函数及由结构元线性生成的复模糊值函数，而利用结构元对一般复模糊值函数积分的研究却很少见.基于此，本文在上述研究成果的基础上，给出由结构元生成的复模糊值函数定义，并对复模糊值函数的积分进行研究，得到了原函数、函数加和积分公式及线性积分公式等结论.该项研究不仅在一定程度上解决了复模糊值函数积分运算表示困难的问题，也对复模糊值函数理论完善起到了一定的积极作用.

1 预备知识

定义1［1］设E是实数域R上的模糊集，隶属函数记为E（x），x∈R.如果E（x）满足下述性质：

1）E（0）＝1，E（1＋0）＝E（－1－0）＝0；

2）在区间［－1，0）和（0，1］上，E（x）分别是单调增右连续函数和单调减左连续函数；

3）在区间（－∞，－1）或（1，＋∞）上，E（x）＝0，则称模糊集E为R上的模糊结构元.

模糊结构元E在区间［－1，0）和（0，1］上，E（x）分别是严格单调增右和严格单调减左连续函数，则称模糊集E为R上的正则模糊结构元.若E（－x）＝E（x），则称模糊集E为R上的对称模糊结构元［1］.

在同序单调有界函数类上规定了4个同序变换［1］，它们分别是τi（f）（x）＝fτi（x），i＝0，1，2，3，即

定义2［2］设二维实数空间X×Y，E是Y上的某正则模糊结构元，g（x，y）为X×Y上的二元函数，且对任意确定的x∈X，g（x，y）都是关于Y在［－1，1］上的单调有界函数，则称g（x，E）为由模糊结构元E生成的有界模糊值函数，记为（x）.

引理1［2］设E 是对称模糊结构元，模糊值函数（x）＝g1（x，E），（x）＝g2（x，E）.g1（x，y）和g2（x，y）是关于Y 在［－1，1］上的同序单调有界函数，则有

引理2［2］设E 是对称模糊结构元，模糊值函数（x）＝g1（x，E），（x）＝g2（x，E）.g1（x，y）和g2（x，y）是关于Y在［－1，1］上的同序单调有界函数，在区间D⊆X上，

引理3［2］设E 是对称模糊结构元，模糊值函数（x）＝g1（x，E），（x）＝g2（x，E）.g1（x，y）和g2（x，y）是关于Y在［－1，1］上的同序单调有界函数，（x）的承集不包含0，在区间D⊆X上，

引理4［2］设（x）＝g（x，E）是由模糊结构元E生成的模糊值函数，其中g（x，y）是关于Y 在［－1，1］上的单调有界函数.如果函数g（x，y）关于变量x在D⊆X上可积（黎曼意义的），则模糊值函数（x）在D上可积，且

引理5［2］设~f（x）＝g（x，E）是［a，b］上连续的模糊值函数，记，则有（x）＝（x），且称（x）为（x）的一个原函数.

引理6［2］设~f（x）＝g（x，E）是［a，b］上连续的模糊值函数，对于x∈［a，b］，记G（x，E），则有

2 结构元生成的复模糊值函数及其运算

定义3 若存在一个正则对称模糊结构元E，g（x，y）和u（x，y）是关于Y在［－1，1］上的同序单调有界函数，有（x）＝g（x，E），（x）＝u（x，E），则称（x）＝（x）＋（x）是由模糊结构元E 生成的复模糊值函数.记z~（x）＝（（x），（x）），（x）＝Rez~（x），（x）＝Im（x）或（x）＝（Re（x），Im（x）），所有复模糊值函数的集合为Fc（x）.

3 结构元生成的模糊值函数及复模糊值函数积分

3.1 结构元生成的模糊值函数积分

证 由定理1，2得

3.2 结构元生成的复模糊值函数积分

定理4 设E是正则对称模糊结构元，z~1（x）和z~2（x）是满足定义9中条件的两个复模糊值函数，如果在D 上均可积，则（x）＋（x）在D 上也可积，且

证 由定理4，5即可证得.

4 结论

复模糊值函数积分一直都是复模糊理论的研究重点之一，但普遍存在运算时解析表达困难的问题.本文借助结构元理论对复模糊值函数的定义、大小比较以及四则运算等进行了探讨，特别是对黎曼可积的相关问题得到了一些可以进行实际操作的结论.上述研究不仅进一步丰富了复模糊分析研究内容，同时也表明结构元理论在复模糊理论中有着比较广泛的应用前景.

［1］郭嗣琮.模糊分析中的结构元方法（Ⅰ）［J］.辽宁工程技术大学学报，2002，21（5）：670.

［2］郭嗣琮.基于结构元理论的模糊数学分析原理［M］.沈阳：东北大学出版社，2004.

［3］郭嗣琮.模糊实数空间与［－1，1］上同序单调函数类的同胚［J］.自然科学进展，2004，11（14）：1318.

［4］陈孝国.基于结构元理论的复Fuzzy数及运算［J］.北京联合大学学报：自然科学版，2012，26（3）：69.

［5］赵纬经.对偶K拟可加模糊值积分与基于结构元表示的模糊值积分［D］.天津：天津师范大学，2009.

［6］郭嗣琮.基于结构元的模糊值函数解析表示与微积分［J］.科学技术与工程，2004，4（7）：513.

［7］郭嗣琮.模糊值函数及微积分的结构元表述［J］.数学的实践与认识，2008，38（3）：73.

［8］魏俊领.模糊复分析研究的新途径［D］.石家庄：河北科技大学，2010.

［9］张丽娟，徐秀艳，张晓光.基于结构元理论的复Fuzzy值函数微分及积分［J］.黑龙江科技学院学报，2013，23（2）：200.