高考热点——分段函数

王中华

分段函数是高中数学的热点，也是高考的重要考点，下面就分段函数的概念及热点题型进行解析.

1.分段函数的定义

定义域分成若干区间，在各个区间内，函数的对应关系不同，这样的函数称为分段函数.

注意：分段函数表示的是一个函数，不是几个函数，也不是几个函数的组合，只不过它有多个对应关系.

2.分段函数的定义域及值域

依据函数定义域、值域的定义，分段函数的定义域应是所有自变量取值区间的并集，值域应是各段函数值取值区间的并集.最大（小）值就是每段函数值中最大（小）的那一个.

3.分段函数的图像

画分段函数的图像，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图像.

考点1分段函数的求值

例1设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，，则f（32）=.

答案：1

解析：f（32）=f（-12）=-4×14+2=1.

点评：本题考查了函数的周期性和分段函数的定义.解决分段函数的关键在于抓住自变量的范围和它对应的解析式.根据自变量的取值分别代入相应的函数解析式求值.

跟踪练习：定义在R上的函数

f（x）=log3（1-x）x≤0

f（x-1）-f（x-2）x>0，则f（2014）=.

答案：log32

解析：因为当x>0时，f（x）=f（x-1）-f（x-2），所以f（x+1）=f（x）-f（x-1），所以f（x+1）=-f（x-2），即f（x+3）=-f（x），所以函数的周期为6，故f（2014）=f（4）=-f（1）=-[f（0）-f（-1）]=-（log31-log32）=log32.

考点2利用分段函数求参数的取值范围

例2设函数f（x）=x2+x，x<0

-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.

答案：a≤2

解析：由题意知f（a）<0

f2（a）+f（a）≤2

或f（a）≥0

-f2（a）≤2，解得-2≤f（a）<0或f（a）≥0，因此，f（a）≥-2.

当a<0

a2+a≥-2或a≥0

-a2≥-2时，解得a≤2.

点评：本题考查了复合函数和分段函数的概念.根据自变量的取值范围的不同分别代入相应的函数解析式，列出不等关系式，求出参数的取值范围.

跟踪练习：

函数f（x）=-x+3a，x<0，

ax，x≥0，（a>0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是 .

答案：[13，1）

解析：据单调性定义，f（x）为减函数应满足：0

3a≥a0，即13≤a<1.

考点3分段函数的性质

例3已知函数f（x）=x2+1，x>0

cosx，x≤0，则下列结论正确的是（）

A. f（x）是偶函数

B. f（x）是增函数

C. f（x）是周期函数

D. f（x）的值域为[-1，+∞）

答案：D

解析：由于分段函数的左右两边的函数图像不关于y轴对称，所以A不正确，由于图像左边不单调，所以B不正确，由于图像x>0部分的图像没有周期性，所以C不正确，故选D.

点评：判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则.

跟踪练习：判断函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x，（x≤0）的奇偶性.

解析：

当x<0时，-x>0，f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

当x>0时，-x<0，f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）；又f（0）=0.

综上所述，在函数定义域内始终有f（-x）=f（x），

∴函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x（x≤0）为偶函数.

考点4分段函数的图像问题

例4已知函数f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），若直线y=m与函数f（x）的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是.

答案：（0，1）

解析：在坐标系中画出函数

f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），的图像，可见当0

点评：作出分段函数的各段图像，再观察分析.要特别注意x，y的变化范围.必须熟记基本函数的图像.

跟踪练习：已知函数f（x）=

ax2+2x+1，（-2

ax-3，（x>0）有3个零点，则实数a的取值范围是.

答案：（34，1）

解析：因为二次函数最多有两个零点，所以函数y=ax-3（x>0）必有一个零点，从而a>0，所以函数y=ax2+2x+1（-2

-2<-1a<0

f（-2）>0

f（0）>0

Δ=4-4a>0，解得34

考点5求分段函数的解析式

例5已知f（x）=x2-2x+3，将f（x）在[m，m+1]上的最小值记为g（m），试求g（m）的表达式.

分析：以函数f（x）的对称轴x=1与区间[m，m+1]的位置关系分三种情况讨论，g（m）的取值因区间的不同而不同，因此，它应是关于m的一个分段函数.

解析：当对称轴在区间左侧，即m>1时，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为增函数，g（m）=f（m）=m2-2m+3；

当对称轴在区间内时，即0≤m≤1时，g（m）=f（1）=2；

当对称轴在区间的右侧时，即m<0，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为减函数，g（m）=f（m+1）=m2+2.

综上所述，g（m）=m2+2（m<0），

2（0≤m≤1），

m2-2m+3（m>1）.

点评：求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.

跟踪练习：甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y（km）

与时间x（分钟）的关系，试写出y=f（x）的函数解析式.

解析：当x∈[0，30]时，设y=k1x+b1，

由已知得b1=0，

30k1+b1=2，解得k1=115，

b1=0，∴y=115x.

当x∈（30，40）时，y=2；

当x∈[40，60]时，设y=k2x+b2，

由已知得40k2+b2=2，

60k2+b2=4，解得k2=110，

b2=-2，

∴y=110x-2.

综上，f（x）=115x，x∈[0，30]，

2，x∈（30，40），

110x-2，x∈[40，60].

分段函数是函数的一种重要而特殊的表现形式，同学们要注意它和一般函数的区别和联系，在理解其本质的基础上准确地运用它.

分段函数是高中数学的热点，也是高考的重要考点，下面就分段函数的概念及热点题型进行解析.

1.分段函数的定义

定义域分成若干区间，在各个区间内，函数的对应关系不同，这样的函数称为分段函数.

注意：分段函数表示的是一个函数，不是几个函数，也不是几个函数的组合，只不过它有多个对应关系.

2.分段函数的定义域及值域

依据函数定义域、值域的定义，分段函数的定义域应是所有自变量取值区间的并集，值域应是各段函数值取值区间的并集.最大（小）值就是每段函数值中最大（小）的那一个.

3.分段函数的图像

画分段函数的图像，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图像.

考点1分段函数的求值

例1设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，，则f（32）=.

答案：1

解析：f（32）=f（-12）=-4×14+2=1.

点评：本题考查了函数的周期性和分段函数的定义.解决分段函数的关键在于抓住自变量的范围和它对应的解析式.根据自变量的取值分别代入相应的函数解析式求值.

跟踪练习：定义在R上的函数

f（x）=log3（1-x）x≤0

f（x-1）-f（x-2）x>0，则f（2014）=.

答案：log32

解析：因为当x>0时，f（x）=f（x-1）-f（x-2），所以f（x+1）=f（x）-f（x-1），所以f（x+1）=-f（x-2），即f（x+3）=-f（x），所以函数的周期为6，故f（2014）=f（4）=-f（1）=-[f（0）-f（-1）]=-（log31-log32）=log32.

考点2利用分段函数求参数的取值范围

例2设函数f（x）=x2+x，x<0

-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.

答案：a≤2

解析：由题意知f（a）<0

f2（a）+f（a）≤2

或f（a）≥0

-f2（a）≤2，解得-2≤f（a）<0或f（a）≥0，因此，f（a）≥-2.

当a<0

a2+a≥-2或a≥0

-a2≥-2时，解得a≤2.

点评：本题考查了复合函数和分段函数的概念.根据自变量的取值范围的不同分别代入相应的函数解析式，列出不等关系式，求出参数的取值范围.

跟踪练习：

函数f（x）=-x+3a，x<0，

ax，x≥0，（a>0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是 .

答案：[13，1）

解析：据单调性定义，f（x）为减函数应满足：0

3a≥a0，即13≤a<1.

考点3分段函数的性质

例3已知函数f（x）=x2+1，x>0

cosx，x≤0，则下列结论正确的是（）

A. f（x）是偶函数

B. f（x）是增函数

C. f（x）是周期函数

D. f（x）的值域为[-1，+∞）

答案：D

解析：由于分段函数的左右两边的函数图像不关于y轴对称，所以A不正确，由于图像左边不单调，所以B不正确，由于图像x>0部分的图像没有周期性，所以C不正确，故选D.

点评：判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则.

跟踪练习：判断函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x，（x≤0）的奇偶性.

解析：

当x<0时，-x>0，f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

当x>0时，-x<0，f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）；又f（0）=0.

综上所述，在函数定义域内始终有f（-x）=f（x），

∴函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x（x≤0）为偶函数.

考点4分段函数的图像问题

例4已知函数f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），若直线y=m与函数f（x）的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是.

答案：（0，1）

解析：在坐标系中画出函数

f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），的图像，可见当0

点评：作出分段函数的各段图像，再观察分析.要特别注意x，y的变化范围.必须熟记基本函数的图像.

跟踪练习：已知函数f（x）=

ax2+2x+1，（-2

ax-3，（x>0）有3个零点，则实数a的取值范围是.

答案：（34，1）

解析：因为二次函数最多有两个零点，所以函数y=ax-3（x>0）必有一个零点，从而a>0，所以函数y=ax2+2x+1（-2

-2<-1a<0

f（-2）>0

f（0）>0

Δ=4-4a>0，解得34

考点5求分段函数的解析式

例5已知f（x）=x2-2x+3，将f（x）在[m，m+1]上的最小值记为g（m），试求g（m）的表达式.

分析：以函数f（x）的对称轴x=1与区间[m，m+1]的位置关系分三种情况讨论，g（m）的取值因区间的不同而不同，因此，它应是关于m的一个分段函数.

解析：当对称轴在区间左侧，即m>1时，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为增函数，g（m）=f（m）=m2-2m+3；

当对称轴在区间内时，即0≤m≤1时，g（m）=f（1）=2；

当对称轴在区间的右侧时，即m<0，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为减函数，g（m）=f（m+1）=m2+2.

综上所述，g（m）=m2+2（m<0），

2（0≤m≤1），

m2-2m+3（m>1）.

点评：求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.

跟踪练习：甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y（km）

与时间x（分钟）的关系，试写出y=f（x）的函数解析式.

解析：当x∈[0，30]时，设y=k1x+b1，

由已知得b1=0，

30k1+b1=2，解得k1=115，

b1=0，∴y=115x.

当x∈（30，40）时，y=2；

当x∈[40，60]时，设y=k2x+b2，

由已知得40k2+b2=2，

60k2+b2=4，解得k2=110，

b2=-2，

∴y=110x-2.

综上，f（x）=115x，x∈[0，30]，

2，x∈（30，40），

110x-2，x∈[40，60].

分段函数是函数的一种重要而特殊的表现形式，同学们要注意它和一般函数的区别和联系，在理解其本质的基础上准确地运用它.

分段函数是高中数学的热点，也是高考的重要考点，下面就分段函数的概念及热点题型进行解析.

1.分段函数的定义

定义域分成若干区间，在各个区间内，函数的对应关系不同，这样的函数称为分段函数.

注意：分段函数表示的是一个函数，不是几个函数，也不是几个函数的组合，只不过它有多个对应关系.

2.分段函数的定义域及值域

依据函数定义域、值域的定义，分段函数的定义域应是所有自变量取值区间的并集，值域应是各段函数值取值区间的并集.最大（小）值就是每段函数值中最大（小）的那一个.

3.分段函数的图像

画分段函数的图像，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图像.

考点1分段函数的求值

例1设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，，则f（32）=.

答案：1

解析：f（32）=f（-12）=-4×14+2=1.

点评：本题考查了函数的周期性和分段函数的定义.解决分段函数的关键在于抓住自变量的范围和它对应的解析式.根据自变量的取值分别代入相应的函数解析式求值.

跟踪练习：定义在R上的函数

f（x）=log3（1-x）x≤0

f（x-1）-f（x-2）x>0，则f（2014）=.

答案：log32

解析：因为当x>0时，f（x）=f（x-1）-f（x-2），所以f（x+1）=f（x）-f（x-1），所以f（x+1）=-f（x-2），即f（x+3）=-f（x），所以函数的周期为6，故f（2014）=f（4）=-f（1）=-[f（0）-f（-1）]=-（log31-log32）=log32.

考点2利用分段函数求参数的取值范围

例2设函数f（x）=x2+x，x<0

-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.

答案：a≤2

解析：由题意知f（a）<0

f2（a）+f（a）≤2

或f（a）≥0

-f2（a）≤2，解得-2≤f（a）<0或f（a）≥0，因此，f（a）≥-2.

当a<0

a2+a≥-2或a≥0

-a2≥-2时，解得a≤2.

点评：本题考查了复合函数和分段函数的概念.根据自变量的取值范围的不同分别代入相应的函数解析式，列出不等关系式，求出参数的取值范围.

跟踪练习：

函数f（x）=-x+3a，x<0，

ax，x≥0，（a>0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是 .

答案：[13，1）

解析：据单调性定义，f（x）为减函数应满足：0

3a≥a0，即13≤a<1.

考点3分段函数的性质

例3已知函数f（x）=x2+1，x>0

cosx，x≤0，则下列结论正确的是（）

A. f（x）是偶函数

B. f（x）是增函数

C. f（x）是周期函数

D. f（x）的值域为[-1，+∞）

答案：D

解析：由于分段函数的左右两边的函数图像不关于y轴对称，所以A不正确，由于图像左边不单调，所以B不正确，由于图像x>0部分的图像没有周期性，所以C不正确，故选D.

点评：判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则.

跟踪练习：判断函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x，（x≤0）的奇偶性.

解析：

当x<0时，-x>0，f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

当x>0时，-x<0，f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）；又f（0）=0.

综上所述，在函数定义域内始终有f（-x）=f（x），

∴函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x（x≤0）为偶函数.

考点4分段函数的图像问题

例4已知函数f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），若直线y=m与函数f（x）的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是.

答案：（0，1）

解析：在坐标系中画出函数

f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），的图像，可见当0

点评：作出分段函数的各段图像，再观察分析.要特别注意x，y的变化范围.必须熟记基本函数的图像.

跟踪练习：已知函数f（x）=

ax2+2x+1，（-2

ax-3，（x>0）有3个零点，则实数a的取值范围是.

答案：（34，1）

解析：因为二次函数最多有两个零点，所以函数y=ax-3（x>0）必有一个零点，从而a>0，所以函数y=ax2+2x+1（-2

-2<-1a<0

f（-2）>0

f（0）>0

Δ=4-4a>0，解得34

考点5求分段函数的解析式

例5已知f（x）=x2-2x+3，将f（x）在[m，m+1]上的最小值记为g（m），试求g（m）的表达式.

分析：以函数f（x）的对称轴x=1与区间[m，m+1]的位置关系分三种情况讨论，g（m）的取值因区间的不同而不同，因此，它应是关于m的一个分段函数.

解析：当对称轴在区间左侧，即m>1时，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为增函数，g（m）=f（m）=m2-2m+3；

当对称轴在区间内时，即0≤m≤1时，g（m）=f（1）=2；

当对称轴在区间的右侧时，即m<0，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为减函数，g（m）=f（m+1）=m2+2.

综上所述，g（m）=m2+2（m<0），

2（0≤m≤1），

m2-2m+3（m>1）.

点评：求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.

跟踪练习：甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y（km）

与时间x（分钟）的关系，试写出y=f（x）的函数解析式.

解析：当x∈[0，30]时，设y=k1x+b1，

由已知得b1=0，

30k1+b1=2，解得k1=115，

b1=0，∴y=115x.

当x∈（30，40）时，y=2；

当x∈[40，60]时，设y=k2x+b2，

由已知得40k2+b2=2，

60k2+b2=4，解得k2=110，

b2=-2，

∴y=110x-2.

综上，f（x）=115x，x∈[0，30]，

2，x∈（30，40），

110x-2，x∈[40，60].

分段函数是函数的一种重要而特殊的表现形式，同学们要注意它和一般函数的区别和联系，在理解其本质的基础上准确地运用它.