一道源自课本的中考综合题

陈德前

【中考试题】（2014年江苏省泰州市中考试题第25题，12分）

如图1，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数，b>0）的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的☉O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方.

（1） 若直线AB与弧CD有两个交点F、G.

①求∠CFE的度数；

②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围.

（2） 设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【课本习题】（1） （苏科版《数学》八年级上册第168页第8题第1小题）已知一次函数y=2x+b，它的图像与两坐标轴所围成的图形的面积等于4，求b的值；

（2） （九年级上册第53页操作与思考1）在图2中，OB⊥OC，画所对的圆周角∠BAC. 所对的圆周角可以画多少个？你画的圆周角为多少度？试说明理由；

（3） （苏科版《数学》九年级上册第49页第5题）如图3，在☉O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE=3，求弦CD的长；

（4） （苏科版《数学》九年级上册第55页例1）如图4，☉O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD=150°，为70°，求∠ABD、∠AED的度数.

【两者对比】命题者首先巧妙地将课本题第（2）题中90°的圆心角与课本题第（1）题中平面直角坐标系整合，把圆周优弧上的任意一点演变为直线与圆的交点，设计出了试题的第（1）题第①问；再将平面直角坐标系中直线与圆相交截得的弦长与课本题第（3）题求圆中的弦长结合，考虑到含有参数字母b，设计为求弦长的平方，并考虑参数字母b的取值范围，即得到了试题的第（1）题第②问；最后再与课本题第（4）题综合，利用参数b的取值范围隐含了直线与圆的两种位置关系——相切和相离，进而根据直线上的点可在圆上，也可在圆外，将问题设计成存在性探索题，得到了试题的第（2）题.

【试题分析】本题主要考查平面直角坐标系，一次函数的图像与性质，垂径定理，勾股定理，圆心角、圆周角、圆外角及其之间的关系，三角形的面积公式，直线与圆的位置关系等知识，以及转化思想、数形结合思想、模型思想、分类思想、方程思想、面积法等数学思想方法.

对于第（1）①题，可以直接应用圆心角与圆周角的关系得到答案；也可以连接CD，利用△OCD是等腰直角三角形和圆周角定理的推论得到答案；还可以由的度数过渡得到答案，等等. 对于第（1）②题，首先由FG2想到勾股定理，进而联想到垂径定理的基本模型，通过作OH⊥FG于点H（如图5），将FG2转化为（2HF）2，这样只要计算HF2即可. 由于已知了圆的半径，因此只要求出OH即可，而计算OH可谓“八仙过海，各显神通”：可以由已知Rt△ABO的三边（均用含b的代数式表示），利用面积法得到OH；也可以利用数形结合思想，抓住两条直线互相垂直时比例系数k之间的关系，求出直线OH的解析式为y=x，再通过解方程组得到交点H的坐标为

b

，b，进而得到OH2=

b2+

b2；今后还可以应用相似三角形来求解，等等. 再借助于几何直观，容易写出b的取值范围. 对于第（2）题，由b≥5，考生易想到要应用分类思想，分b=5和b>5两种情况进行讨论：当b=5时，由第（1）②题中的计算方法可知OH=5=OC，即直线与圆相切，显然满足要求的点P存在（即点H），除了可以运用第（1）②题中的多种方法求P点的坐标外，还可以设Px，

-x+5，利用勾股定理得到方程x2+

-x+52=42 来求解；当b>5时，直线与圆相离，线段AB上的点P都在圆外，构造出同弧所对的圆周角和圆外角的模型，得到图6，借助于几何直观，易知满足要求的点P不存在，再进行说理即可. 还有考生写出圆的方程与一次函数解析式联立，消去y转化为关于x的一元二次方程后，利用根的判别式和b的取值范围来判定直线与圆的位置关系，进而求解，很有创造性..

【满分解答】（1） ①∠CFE=∠COE=×90°=45°（3分）；②如图5，作OH⊥AB于点H，连接OG，则FH=HG，由题意可知OA= b，OB=b，∴AB==b，∵ S△OAB=·OA·OB=·OH·AB，∴OH=b（4分），∴在Rt△OHG中，HG2=42-

b2，∴FG2=（2HG）2=64-b2（6分），b的取值范围是4≤b<5（7分）；

（2） 由（1）知：OH=b. ①当b=5时，OH=OC=4，则AB与☉O相切，切点为H，此时存在点P，就是点H（8分），计算得P点坐标为

，（9分）；②如图6，当b>5时，OH=b>4，∴AB与☉O相离（10分），∴P点一定在☉O外，连接PE、PC，设PE交☉O于点Q，则∠EPC <∠EQC=45°，∴当b>5时，点P不存在（11分），故当b=5时满足条件的P点坐标为

，，当b>5时满足条件的P点不存在（12分）.

【误区警示】（1） 没有注意到直角坐标系中坐标轴互相垂直隐含了90°的角而无法求出∠CFE的度数；（2） 不能将FG2转化为（2HF）2，导致无从下手；（3） 不善于用面积法求OH；（4） 不会由b≥5联想到分类而造成漏解；（5） 只考虑了存在的情况，求出点P的坐标后就认为大功告成，忽视了点P不存在的情况及其说理.

【归纳启示】许多中考题都是由课本上的例、习题改编、组合、引申而来的，因此我们在学习中要重视对课本例、习题的研究，提高应变能力，这样在解决有关中考题时就会游刃有余. 同时我们可以发现，对课本题或中考题进行一题多解（证），既可以帮助我们复习众多的数学知识，又可以帮助我们学会多种解题方法，真可谓一举多得.

【总结点评】中考命题，题在书外，根在书内，当你读完本文就会发现：许多中考题原来是由教材上的题目引申而来的，在课本中可以找到它的原型，此时你对中考的恐惧心理大概早已跑到九霄云外去了，所以寻找中考题与课本题的联系是很有意义的事.

（作者单位：江苏省兴化市教育局教研室）