具周期外力的Van der Pol方程的周期解

曲婧佳，周 冉，黄开银

（1.空军航空大学 基础部，长春130022；2.吉林大学 数学学院，长春130012；3.吉林大学 农学部，长春130062）

0 引 言

考虑如下具周期外力的Van der Pol方程［1］：

方程（1）描述了如图1所示的非线性电子线路，其中：C表示电容；μ表示与电感线圈有关的量；Vs表示输入电压；V表示输出电压；ψ（i）表示电子线路的伏安特征曲线，这里选取

在实际电路中，C和μ通常都非常小，因此方程（1）实际是带有两个小参数的奇异摄动问题.为讨论方便，作时间尺度变换s＝Ct，则方程（1）变为

其中ε＝μ／C，一般假设ε充分小.

Van der Pol方程是一种经典的自激振荡电路系统，不仅在各种复杂的动力系统建模中广泛使用，而且在物理学、生物学、电子学和经济学等领域应用广泛.文献［3］给出了具周期外力Van der Pol方程极限环的存在性和唯一性；文献［4］研究了在周期外力作用下Van der Pol振荡系统所产生的同步现象和混沌现象；文献［5］给出了方程（2）脉冲型解的定义，并探讨了脉冲型解的存在性和稳定性；文献［6］利用匹配渐近展开法给出了方程（2）脉冲型解的一致有效渐近逼近，并讨论了脉冲型解中脉冲的个数.

重正化群方法［7－10］是处理微分方程中不规则现象的主要工具.本文利用建立在包络理论上的重正化群方法构造方程（2）脉冲型解一致有效的渐近展开式，并给出脉冲型解形成一个脉冲所用的时间.

图1 非线性电子线路Fig.1 Nonlinear electronic circuit

1 主要结果

为简单，令

则方程（2）变为

如图2所示，分4段构造方程（3）脉冲型解的一致有效逼近.设解从A点出发，即初值条件为

其中

1）y＞0，此时ψ（y）＝K1y.方程（3）变为

做时间伸缩变换τ＝t／ε，则方程（5）变为

图2 构造过程Fig.2 Construction process

考虑方程（6）满足如下初始条件的解：

设

将式（8）代入式（6），对比ε的同次幂系数，并分别解出xi（τ），yi（τ）（i＝0，1，2），再代回式（8）得

其中：A，B为任意常数；τ0为初始时间.

根据文献［7－8］的结果知，方程（6）的重正化群方程为

即

即

从而

由式（7）得

设

将式（10）代入式（9）并对比ε同次幂系数，得

从而

假设解从A到B所用的时间为t1，则

设

（2）规范化数据格式。包括对不规范数据项进行字段格式约束定义或数据验证，对特殊的数据项进行合并或拆分处理。如influenza_aa.dat中的第8列是核酸序列的名称，如 “InfluenzaAvirus (A/swine/Illinois/A01240575/2013(H3N2))”，由于数据存储和检索分析的需要，需要将该数据项拆分为四个字段来存储：类型(A)、序列名称(A/swine/Illinois/A01240575/2013)、H 血清型(3)和 N 血清型(2)。

则由式（11），（12）知，p1，q1和r1满足如下方程：

于是

其中：

考虑方程（18）从B点出发的解，即满足初值条件

的解.设

假设解从A到C所用的时间为t2，则

设

则由式（21），（22）知，p2，q2满足如下方程：

于是

其中：

3）y＜0，此时ψ（y）＝K1y＋（K2－K1）i0.令a＝（K1－K2）i0，用类似于1）的方法可得

假设解从A到D所用的时间为t3，则

设

则由式（26），（27）知，p3，q3和r3满足如下方程：

于是

其中：

4）y＜0，此时ψ（y）＝K2y.计算方法同1），解得

假设解从A到E所用的时间为t4，则

设t4＝t3＋p4εlnε＋q4ε＋…，则由式（32），（33）知，p4，q4满足如下方程：

于是xⅣ（t4）＝α4＋β4εlnε＋γ4ε＋…，其中

若该解是周期解，点E必须与点A重合，从而有β0＝β4，γ0＝γ4.

综上，可得：

定理1 假设对周期输入函数f（t），系统（2）至少存在具有一个脉冲的脉冲型解，则该解形成一个脉冲所用的时间为t0＝p＋qεlnε＋rε＋…，其中：

p1，p2，p3，p4，q1，q2，q3，q4，r1，r3分别由式（14），（23），（28），（34），（15），（24），（29），（35），（16），（30）给出.

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