应用Legendre小波求解非线性分数阶Volterra积分微分方程

黄 洁，韩惠丽

（宁夏大学 数学计算机学院，银川750021）

分数阶微积分及其方程广泛应用于力学和种群问题等领域中.分数阶积分（微分）方程的解析解求解较困难，且方法少.目前，分数阶积分（微分）方程的数值解法主要有同伦摄取法［1］、Taylor展式法［2］、Adomin分解法［3］和小波基方法［4－10］等.由于小波基的正交性使化简后代数方程组的矩阵是稀疏的，因此小波方法广泛应用于数值求解积分方程和偏微分方程问题中.文献［5－6］分别采用CAS小波的分数阶积分算子矩阵和第二类Chebyshev小波（SCW）的分数阶积分算子矩阵研究了非线性分数阶Volterra积分微分方程的数值解问题，得到了相应的结果.本文利用Legendre小波求解非线性分数阶Volterra积分微分方程.与文献［5－6］相比，相同点是将非线性分数阶Volterra积分微分方程转化为非线性代数方程组求解，不同点是本文通过Legendre小波和分数阶微积分的概念推出了Legendre小波的分数阶积分算子矩阵，并证明了这种方法的误差边界值.

考虑如下形式的第二类非线性分数阶Volterra积分微分方程：

满足初始条件

其中：f（x），k（x，t）∈L2（［0，1］）为已知函数；Dα为Caputo分数阶微分算子；y（x）为未知函数；q为正整数.

1 Legendre小波

定义1［11］在［0，1）上定义Legendre小波如下：

对于定义在［0，1）上的函数f（t）可用Legendre小波展开为

式中：

当M＝3，k＝2时，Legendre小波矩阵表示为

2 Legendre小波的分数阶积分算子矩阵

定义3［12］R－L 分数阶积分定义为

定义4［12］Caputo分数阶微分定义为

式（5）和式（6）有如下关系：

其中m－1＜α≤m，m∈ℕ.

对于［0，1）上的平方可积函数f（t）可用BPFs展开为

式中：F＝（f0，f1，…，fm－1）T；Bm（t）＝（b0（t），b1（t），…，bm－1（t））T.

于是Legendre小波可由m′个块脉冲函数表示为

由BPFs的分数阶积分算子矩阵性质［13］得

式中

下面求解Legendre小波的分数阶积分算子矩阵.设

则Pα称为Legendre小波的分数阶积分算子矩阵.由式（10），（11）可得

再由式（12），（13）得

3 方程的转化

将式（1）中的函数Dαy（x）和f（x）用Legendre小波展开为

其中K 是 m′×m′矩 阵，其 元 素 为kij＝ 〈φnm（x），〈k（x，t），φm′n′（t）〉〉，i＝ （n－1）M ＋m＋1，j＝（n′－1）M＋m′＋1.

由式（8），（12），（15）计算得

令A＝（a0，a1，…，am′－1）＝（YTPα＋）Φm′×m′，则y（x）≈ABm′（x），（y（x））q≈AqBm′（x），其中由数学归纳法得

将式（15）～（18）代入式（1）得

通过数值求解方程组（20），可得式（1）的近似解.

4 误差分析

随着q的不断增大，Cq以指数形式不断减小.由于截断Legendre小波的系数即为方程的近似解，所以定义2－范数的误差函数为

其中：y（x）为精确解；ym′（x）为式（20）得到的数值解.

证明：设S＝YTPα＋，且

又因为rq（x）为y（x）在区间In上的q次插值多项式，所以

因此，由式（22）得

5 数值算例

例1 求解满足初始条件y（0）＝0的积分微分方程：

令M＝2，k＝6，取α分别为1，0.9，0.8进行数值求解，并与文献［15］中采用HPM方法得到的结果进行比较，结果列于表1.由表1可见，当α＝1时，本文方法的数值解一致逼近精确解.

表1 Legendre小波与HPM方法的数值解对比Table 1 Contrast of numerical results by Legendre wavelet and HPM method

例2 解满足条件y（0）＝y′（0）＝0的积分微分方程：

其精确解为y（x）＝x2.令M＝1，k分别取4，5，6，7时，2－范数误差的近似值列于表2.其精确解与数值解如图1所示.由表2和图1可见：随着节点的不断增多，数值解的精度逐渐提高，误差越来越小.

图1 当M＝1，k＝4，5，6，7时数值解与精确解的比较Fig.1 Comparison between numerical solution and exact solution for M＝1and k＝4，5，6，7

表2 当M＝1时不同k值2－范数误差的近似值Table 2 Approximate values of absolute errors for norm－2at different kof the Legendre wavelet when M＝1

综上可见，本文采用Legendre小波求解了非线性第二类分数阶Volterra积分微分方程，先将方程转化为非线性方程组进行数值求解，再通过矩阵的稀疏化简化了运算量.误差分析和数值算例结果表明，采用Legendre小波运算可行、有效.

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