一类分数阶椭圆型方程解的存在性

关丽红，常 晶，赵 昕

（1.长春大学 理学院，长春130022；2.空军航空大学 基础部，长春130022；3.吉林农业大学 信息技术学院，长春130118）

考虑如下分数阶椭圆型方程Dirichlet边值问题：

其中：Ω⊂ℝN（N≥2）是带有光滑边界∂Ω的有界区域；（－Δ）s表示分数阶Laplace算子，s∈（0，1）；f∈C（¯Ω×ℝ，ℝ）.目前，关于分数阶椭圆型方程解的存在性与多重性研究已有许多结果［1－6］.分数阶Laplace算子（－Δ）s是Lévy稳态扩散过程的无穷小生成元［7］，在美式期权、人口动力学和黏弹性力学等领域应用广泛［8－10］.本文研究分数阶椭圆型方程Dirichlet边值问题（1）非平凡解的存在性，应用推广形式的山路定理，在非线性项满足渐近线性增长的情形下得到了问题（1）非平凡解的存在性.

本文主要结果如下：

注1 文献［3，5］分别研究了分数阶Schrödinger方程（－Δ）su＋V（x）u＝f（x，u）在非线性项满足渐近线性增长和超线性增长时解的存在性；文献［6］在非线性项满足超线性增长时得到了分数阶Laplace方程（－Δ）su＝f（x，u）解的多重性；文献［1］在非线性项满足临界增长时，得到了问题（1）解的多重性；文献［2］在非线性项满足超线性增长时，得到了问题（1）解的多重性.本文在非线性项满足渐近线性增长时，研究问题（1）非平凡解的存在性.

通常如果I∈C1（E，ℝ），并且序列｛un｝⊂E 满足I（un）→c，（1＋‖un‖）‖I′（un）‖→0当n→＋∞，则称｛un｝为泛函I的一个Cerami序列，简记为（C）c序列.如果I的每个Cerami序列都有强收敛子列，则称I满足（C）c条件.

下面证明定理1.由假设（H1）～（H3）易知泛函J具有山路几何，即：

1）存在r，δ＞0，使得对所有满足‖u‖＝r的u∈Hs0（Ω），都有J（u）≥δ；

2）J（tφ1）→－∞，t→＋∞.

为了应用定理2，只需证明泛函J满足（C）c条件.取｛un｝n∈ℕ⊂Hs0（Ω）为（C）c序列，即

往证序列｛un｝在Hs0（Ω）中一致有界.事实上，若不然，不妨设‖un‖→＋∞（n→＋∞）.由式（2）可得

由假设（H4），对任意的ε＞0，存在M＞0，使得

令zn＝un／‖un‖2.则存在｛zn｝的子列（不妨仍记为｛zn｝）及z0∈（Ω），使得zn⇀z0，且zn（x）→z0（x），a.e.x∈Ω.由式（4）可得因此，存在Ω1⊂Ω，使得且z0（x）≠0，a.e.x∈Ω1.因此，对a.e.x∈Ω1，有

这与式（3）矛盾.因此｛un｝在（Ω）中有界，从而利用标准的讨论可知，存在u0∈（Ω），使得又由假设（H3）和Fatou引理可得应用定理2，显然u0即是问题（1）的非平凡弱解.证毕.

衷心感谢吉林大学数学学院李勇教授的鼓励和悉心指导.

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