求解Black－Scholes模型下美式回望看跌期权的有限差分法

李 庚，朱本喜，张 琪，宋海明

（吉林大学 数学学院，长春130012）

0 引 言

回望期权［1］是一种依赖于路径的期权.令S，t，σ，r，q，T和J分别表示原生资产价格、时间、原生资产波动率、无风险利率、原生资产红利率、期权的到期日和0时刻到t时刻原生资产价格的最大值，则美式回望看跌期权P（S，J，t）满足的Black－Scholes模型［2－3］为：

其中B（t）为美式回望看跌期权的最佳实施边界，它把美式期权的求解区域分成两部分：S＞B（t）为持有区；S≤B（t）为实施区；B（T）＝max｛ln（q／r），0｝.

求解Black－Scholes模型下美式回望看跌期权定价问题目前主要存在以下困难：

1）问题（1）是一个空间变量为二维的非线性问题，难以直接求解；

2）左端的最佳实施边界B（t）是一条未知曲线，空间求解区域为形状不规则的无界区域；

3）期权价格P（S，J，t）和最佳实施边界B（t）存在相关性，难以给出同时求出两者的数值方法.

针对1），2），本文采用降维变换［4］和Landau’s变换［5］，最终将问题（1）化成一个［0，1］区间上的一维抛物问题.对于3），采用有限差分法和Newton法交替迭代求解离散后的方程组，进而得到期权价格P（S，J，t）和最佳实施边界B（t）.

1 降维变换

由于方程（1）是一个二维空间上的抛物问题，因此为简化模型，可通过变量替换

将美式回望看跌期权定价问题（1）转化为一个自由边值问题：

其中：

至此已解决了第一个难点，将方程（1）化成了一维抛物问题.同时，也部分解决了第二个难点，观察方程（3）可见，它的求解区域已化为一个有界区域.然而其右边界仍然是一条未知曲线.

2 Landau’s变换

通过Landau’s变换

可将问题（3）化为如下有界规则区域上的抛物问题：

为描述简便，做如下变换：

将方程（6）由倒向问题化为正向问题：

至此已解决了第二个难点.美式回望看跌期权定价问题（1）已转化为一个［0，1］区间上的抛物问题.该问题可采用有限差分法［6－8］进行数值求解.

3 数值解法

下面考虑求解方程（8）的有限差分法.记时间剖分

空间剖分

差分近似

任给0＜m≤M，方程（8）的θ格式差分离散形式为

给定bm的一个初值，可利用方程（9）求解um；已知um，可通过Newton法解方程（10）得到bm的一个更好近似，这两步交替求解，便可得到um和bm的逼近结果.由于期权的价格非负，故要求算法求得的数值解非负.

定理1 假设

证明：为简单，只对向后Euler格式（θ＝0）给出证明.把方程组（9）写成如下形式：

其中：

下面考虑如何求解bm.注意到um是关于bm的非线性函数，根据方程（10）可知，可视为bm的隐函数：

采用Newton法求解非线性方程（13），其中

算法如下：

1）b（0）＝bm－1＋km，1＜m≤M；

2）对于j＝1，2，…：

3）求解AU＝F，得到U的最佳逼近.

实际计算时，取ε＝10－6.

4 数值算例

下面给出一个数值算例验证本文算法的有效性.考虑一支一年期的美式回望看跌期权，假设原生资产的波动率σ＝0.2，红利率q和银行利率r分别取以下3种情形：1）当r＜q时，r＝0.025，q＝0.05；2）当r＝q时，r＝q＝0.05；3）当r＞q时，r＝0.1，q＝0.05.

图1 FDM法得到的最佳实施边界Fig.1 Optimal exercise boundary obtained by FDM

图2 二叉树法得到的最佳实施曲面Fig.2 Optimal exercise surface obtained by binomial method

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