一类具有变指数伪抛物型方程解的存在唯一性

王长佳，代 群

（长春理工大学 理学院，长春130022）

0 引 言

考虑如下具有变指数伪抛物型方程的初边值问题：

其中：Ω∈ℝN（N≥2）为一边界充分光滑的有界开集；QT＝Ω×（0，T］；ΓT＝∂Ω×（0，T］；p（x）为一给定的可测函数；q＞0为常数.

上述类型的方程通常称为非线性伪抛物（pseudo－parabolic）型方程，它是一般抛物型方程的扩展，在声学、电磁学、黏弹性力学和热传导等领域应用广泛［1－3］，目前已取得许多研究结果，如文献［4］利用Galerkin方法研究了一类算子形式伪抛物方程解的局部存在性；文献［5］在加权Sobolev空间中给出了可解性条件并证明了解的唯一性，而且还对一些动力学问题的渐近性进行了讨论；文献［6］讨论了一类具有双非线性项的伪抛物型方程；文献［7］对非线性项具有单调性的伪抛物型方程进行了研究.本文考虑具有变指数伪抛物型方程的初边值问题（1），在参数满足一定条件下，证明了此类问题弱解的存在唯一性.由于此类问题的解通常隶属于变指数Lebesgue空间Lp（x）和变指数Sobolev空间Wk，p（x），在此类空间中许多经典的数学工具与技术不再适用，如平移算子的有界性、卷积不等式、与极大值算子和其他奇异积分算子相应的不等式，特别是庞加莱不等式以及Sobolev嵌入不等式在“模型式”下也将不再成立.

定义1 如果函数u（x，t）满足下列条件：

则u（x，t）称为问题（1）的弱解.

注1 事实上，式（2）等价于下式［8］：

1 预备知识

2）Lp（x）是可分的且其对偶空间为Lp′（x）（Ω），其中1／p′（x）＋1／p（x）＝1；对给定的f∈Lp（x），g∈Lp′（x），如下 Hölder不等式成立：

2 弱解的存在唯一性

2.1 近似解的构造

其中i＝1，2，…，m.

记

2.2 一致性先验估计

由于

将式（7）代入式（8）并整理可得

将式（10）在（0，t）（0＜t＜T）上积分可得

其中：

下面分两种情形对Ym（t）进行估计.

情形1）p－＜q＋2＜2n／（n－2）.

将式（11）代入式（10）得

解微分不等式（12）可得

其中C，C1均为与m无关的常数.

情形2）p－≥q＋2（此时恒有q＋2≤np／（n－p－））.

而

将式（14）～（16）代入式（8）得

其中：ν＋＝（q＋2）／p＋；ν－＝（q＋2）／p－.

如果ν±＜1，则解微分不等式（17）可得

其中C，C3，C4均为与m无关的常数.

综合式（13），（18），（19），可得Ym（t）≤C（T），即

由于

将式（22），（23）代入式（21），并在（0，t）上积分可得

2.3 收敛性与解的存在性

由一致估计并结合 Aubin－Lions引理可得下述收敛性：u（m）⇀u弱＊收敛于L∞（0，T；W1，2∩W1，p（x）（Ω））；⇀u弱收敛于L2（0，T；W1，2（Ω））；u（m）（s）→u（s）强收敛于Lq＋2（Ω），a.e.s∈［0，T］；弱＊收敛于L∞（0，T；Lp′（x）（Ω））.

对固定的i∈ℕ，令m→∞，可得

从而由弱上半连续性知

对任意的λ≥0，w∈W1，p（x）0，取v＝u－λw，则有

即在广义函数意义下成立：

令m→∞对式（29）两端取极限可得，对∀w∈W1，p（x）0（Ω），φ（t）∈L2（0，T），有

2.4 唯一性

令u1，u2为问题（1）的两个解，则由上述讨论可知对∀w∈W1，p（x）0（Ω），u1，u2满足等式：

将式（30）－式（31），有

由u1，u2的有界性，由式（32）可得

进而利用Gronwall不等式可得u1＝u2，a.e.（x，t）∈QT.

综上，可得本文主要结果如下：

定理1 设Ω为一光滑有界区域，p（x）∈［p－，p＋］满足条件（3），p－＞2，q＋2＜2n／（n－2）.

2）若q≤p－－2，则对∀T∈（0，＋∞），方程（1）在（0，T）上存在定义1意义下的唯一弱解.

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