一种基于全变差正则化与小波包变换的图像去噪算法

左 平，王 洋，申延成

（1.空军航空大学 基础部，长春130022；2.吉林大学 计算机科学与技术学院，长春130012；3.吉林大学 公共计算机教学与研究中心，长春130012）

图像去噪是指利用各种方法从已知的含噪图像中去除噪声部分，同时尽可能保留图像边缘等细节特征.传统的图像去噪方法主要有小波变换算法［1］、基于小波变换的软阈值图像去噪算法［2］和小波包分析［3］方法等.但上述方法都存在一定的缺陷.

Rudin等［4］基于全变差（TV）极小化的思想，提出一种具有很好去噪效果的方法，即经典的ROF方法，该方法在去除噪声的同时能很好地保护图像的边缘.Marquina等［5］对TV去噪模型提出了进一步的改进方法.Chan等［6］提出将偏微分方程方法应用于基于小波的图像处理中，使得经小波硬阈值处理后的图像在边缘处产生的振荡得到抑制，但纹理也被作为噪声平滑掉了.同时，全变差极小化的方法也用于解决 Ridgelet复原［7］、Curvelet复原［8－9］和 Tetrolet复原［10］中的边缘保持问题.

1 去噪算法的数学模型

由于噪声和图像的细节特征主要集中于图像高频部分，因此在对图像进行去噪过程中，常会使图像的某些重要特征（如边缘、细小纹理等）受到破坏.对于加性噪声模型：

基于全变差极小化的思想，提出以下去噪模型：

式（2）中第一项称为正则项，它通过控制TV范数保护图像的边缘特征，有平滑图像的作用；第二项称为逼近项，它控制图像u（x，y）和u0（x，y）的逼近程度，有使图像去噪前后差别不大的作用；正则化参数λ有调节逼近项的作用，当λ充分大时，可知模型中第二项起决定作用，而当λ→0时，第一项控制整个目标函数，此时u（x，y）趋于一常值.因此在求解时参数λ的选取十分重要.

利用变分法得到式（2）相应的Euler－Lagrange方程为

对方程（3）可采用固定点迭代方法［11］或时间演化法［4］求解.若采用时间演化法，则相应的偏微分方程为

在Rudin等［4］提出的ROF去噪模型中，正则化参数λ的选取与初始加入的噪声方差有关，相应的λ表达式为

从而可适当避免参数λ取值偏小导致模型（2）中的正则项作用过大，进而导致图像中某些细微边缘被平滑处理掉.

2 去噪模型的数值解法

根据建立的数学模型，下面给出基于小波包与全变差模型的图像去噪算法.步骤如下：

1）先利用小波包变换，对含噪图像u0（x，y）进行4层分解；再根据选定的信息代价函数寻找最优小波包基并对最优小波包基下对应的小波包系数进行软阈值［3］处理；利用处理后的系数重构图像，得到初步去噪后的图像u1（x，y）；

2）根据式（6）选取正则化参数λ；

3）将方程（4）进行展开并化简：

4）给出方程（6），（7）的离散格式，并进行迭代求解：

其中

算法根据去噪前后图像的能量差确定迭代停止时刻：

其中：un为第n次迭代结果；ε0为一任意小的常数.把满足上述条件的时刻作为迭代停止时刻.

3 实验结果分析

本文仿真平台软件环境为Matlab 7.14；硬件环境为Intel i7－2630QM＠2.0GHz，内存4Gb.为验证去噪算法的有效性，将本文方法（total variation based on wavelet packet，TVWP）与TV小波阈值去噪法（total variation based on wavelet thresholding，TVW）［6］、小波软阈值去噪法（wavelet soft thresholding，WST）［2］和 ROF去噪法［4］进行对比实验，以峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR）、结构相似性指数（structural simiiarity index，SSIM）［12］和算法运行时间（单位：s）作为衡量指标.实验选取256×256的灰度标准测试图像Lena，Cameraman，Woman和Fruits.噪声类型为加性高斯白噪声，噪声标准差σ＝15.实验中时间步长Δt＝0.1，阈值ε＝15，网格步长hx＝hy＝1.为定量比较各种不同去噪算法的效果，表1列出了各种去噪算法去噪的定量对比结果.

表1 不同算法在标准测试图像上的去噪结果Table 1 Results of denoising via different algorithm on standard test images

图1～图4分别为不同算法在不同测试图像上的去噪结果.由图1～图4可见，ROF方法去噪结果中存在块效应，且图像中的细节信息被破坏了.表明将ROF方法直接应用于噪声图像，易发生误将噪声作为图像的边缘处理，从而导致图像的平坦区域出现块效应现象.在算法运行过程中，λ取为定值，导致随着算法迭代次数的增加，图像的细节信息被破坏，不能达到较好的去噪效果.而本文方法利用小波包变换的优点，对含噪图像进行预处理，避免了去噪后图像产生块效应的现象；又因小波包变换可以对图像高频信息进行更精细的划分，使得在去噪过程中更好地保护了图像中的细节信息，之后再对预处理后的图像使用全变差方法去噪，可以得到更好的视觉效果.由表1可见，小波软阈值方法与TV小波阈值方法的PSNR值相当，本文算法的PSNR值有所提高，约提高1dB.

图1 不同算法在Lena图像上的去噪结果Fig.1 Results of denoising via different algorithm on Lena image

图2 不同算法在Cameraman图像上的去噪结果Fig.2 Results of denoising via different algorithm on Cameraman image

图3 不同算法在Woman图像上的去噪结果Fig.3 Results of denoising via different algorithm on Woman image

图4 不同算法在Fruits图像上的去噪结果Fig.4 Results of denoising via different algorithm on Fruits image

综上，小波包变换和全变差极小化是近年来较广泛使用的两种去噪方法，本文通过分析二者各自的特点，提出了一种基于小波包分析和全变差模型的图像去噪算法，并给出一种改进的正则化参数选择方法.实验结果表明，该算法克服了原有方法的不足，在有效抑制图像噪声的同时较好地保留了图像的边缘和纹理等细节信息.

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