广义蝴蝶定理的推广

马宜

摘要：本文对圆上的一个广义蝴蝶定理进行了推广，给出了两种不同的证明方法，同时把它推广到多种几何图形中。关键词：蝴蝶定理;圆;四边形中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）19-0182-02蝴蝶定理作为一道著名的平面几何题，欧氏几何园地里的一棵生机勃勃的常青树. 许多人都在探求她的多种形式及其性质的推广.下面是文中需要用到的知识：引理1[1]M是⊙O的弦AB上任意一点，CD，EF是过M点的两条弦，连接CF，DE分别交AB于P，Q两点，且R，r，m 分别是圆的半径，圆心到点M的距离及M到弦AB中点G距离，则=2mR2-r2引理2[1]M是⊙O的弦AB上任意一点，CD，EF是过M点的两条弦，连接CF，DE，分别交AB于P，Q两点，则1PM-1QM=1AM-1BM.引理3[2]已知M是椭圆或抛物线的弦AB上任意一点，CD，EF是过M点的两条弦，连接CF，DE分别交AB于P，Q两点，则1PM-1QM=1AM-1BM.定理1 如图1所示，M是⊙O1的弦AB上任意一点，，过M点的两条弦，连接CF，DE分别交AB于P，Q两点，O为弦AB的中垂线L上的任意一點，且AO=R，OM=r，MG=m，则=2mR2-r2.（注：当O在圆心O1上时，定理1即为引理1.）证法1假设点O在圆内，因为AM=AG+GM=AG+m，BM=BG-GM=BG-m，有1AM-1BM=1AG+m-1BG-m=-2mAG2-m2. 又AG2=OA2-OG2=OA2-（OM2-GM2）=OA2-OM2+GM2=R2-r2+m2，有1AM-1BM=-2mR2-r2+m2-m2=-2mR2-r2.由引理2得1PM-1QM=1AM-1BM，即=2mR2-r2.点O在圆外时类似可证.综上所述，=2mR2-r2.证法2 如图2所示，以M为原点，AB为x轴建立直角坐标系，设圆的方程为： 图1 图2（x-a）2+（y-b）2=R21，A（xA，0），B（xB，0），点A，B都在圆上，得xA=a-R21-b2，xB=a+R21-b2.则.又=m，=O1G， 得2aa2+b2-R21=2am2+O1G2-（AG2+O1G2）=2am2-AG2=-2a（AG2+OG2）-（m2+OG2）=-2aAO2-MO2=-2aR2-r2=，由引理2得1PM-1QM=1AM-1BM，==2mR2-r2，即=2mR2-r2.类似于定理1的证法1可得定理2，定理3.定理2M是椭圆的弦AB上任意一点，CD，EF是过M点的两条弦，连接CF，DE分别交AB于P，Q两点，O为弦AB的中垂线L上的任意一点，且AO=R，OM==r，MG=m，则=2mR2-r2.定理3M是抛物线的弦AB上任意一点，CD，EF是过M点的两条弦，连接CF，DE分别交AB于P，Q两点，O为弦AB的中垂线L上的任意一点，且AO=R，OM=r，MG=m， ，则 =2mR2-r2.本文的研究和推广只是它的一小部分，因此，有待于我们进一步研究和探讨.参考文献：[1] 俞凯.筝形定理与蝴蝶定理的关系探究[J].中学数学研究，2006，（10）：17-19.[2] 成敦杰.蝴蝶定理的推广[J].中学数学月刊，1998，（2）：47-48.