三元数函数与解析

白烁星 韩江燕

【摘要】本文从复数理论出发，通过推广函数、解析等数学概念，逐步建立了三元数函数与解析的理论.

【关键词】数平面;数空间;平面解析;空间解析;泛解析;半解析;幂级数

【中图分类号】O153.5 泛代数

一、引 言

三元数、多元数的研究始于曲阜师大《中学数学杂志》发表的《超越复数的三元数》《复数的多元数》，后东北师大《数学学习与研究》发表了《代数基本定理在高维数空间之证明》，多项式函数首先得到了深刻的研究.然而数空间里是否存在优美和谐的函数与解析理论呢？本文从复数理论出发，通过推广函数、解析等数学概念，尝试给出了一个有趣的解答.

二、三元数基础知识

1.三元数的代数运算与三维数空间

形如a+bi+cj（a，b，c∈R）的数叫作三元数，三元数通常用一个字母p来表示，即

p=a+bi+cj，全体三元数构成的集合叫作三元数集，用字母A3来表示，定义：（1）i2=j2=-1（2）i·j=0，则有：（a0+a1i+a2j）±（b0+b1i+b2j）=（a0±b0）+（a1±b1）i+（a2±b2）j，

（a0+a1i+a2j）×（b0+b1i+b2j）=（a0b0-a1b1-a2b2）+（a0b1+b0a1）i+（a0b2+b0a2）j.

說明 （1）三元数的加法满足交换律、结合律，乘法满足交换律及对加法的分配律;

（2）除法是乘法的逆运算，两个三元数作除法运算，可依三元数相等的定义及乘法公式求得.

建立了空间直角坐标系来表示三元数的空间叫作三维数空间，简称数空间，仍用A3来表示.于是：

实数一一对应实轴上的点;

复数z=a+bi一一对应复平面内点z（a，b）;

三元数p=a+bi+cj一一对应数空间内点p（a，b，c）.

2.三元数的几何表示与重要性质

三维数空间内的点p可以表示三元数，由于三元数集A3与三维数空间内所有以原点O为起点的向量OP所组成的集合一一对应（实数0与零向量对应），所以三元数也可以用起点在原点的向量来表示.p=a+bi+cj称为三元数的代数形式，p=rcosθ+sinθicosφ+jsinφ称为三元数的三角形式.

（1）三元数的模 与三元数p=a+bi+cj对应的向量OP的模（即有向线段OP的长度）r叫作三元数p=a+bi+cj的模（或绝对值），记作p或a+bi+cj，易知p=a+bi+cj=a2+b2+c2.

三元数模的几何意义是：三元数p在数空间内对应的点p到原点的距离.

（2）三元数的辐角与倾角 数空间可看作复平面绕x轴旋转而成，x轴与空间点p可唯一确定一个平面，该平面与复平面的夹角φ称三元数p=a+bi+cj的倾角，φ=arctancb，平面xOp称倾角为φ的数平面，特别地，复平面是倾角为0的数平面，无数个数平面形成了数空间.当点p落在x轴上时，倾角φ值不定，也就是说：实数的倾角φ值不定.

以x轴的正半轴为始边，向量OP所在的射线（起点是O）为终边的角θ叫作三元数p=a+bi+cj的辐角，记作Argp.

（3）辐角的主值 在区间0，2π内的辐角θ的值叫作辐角的主值，记作argp，即0≤argp<2π.非0三元数的辐角有无限多个值，但辐角的主值只有一个，三元数0的辐角不定.

说明 （1）三元数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一;

（2）复平面是倾角为0的数平面;

（3）在复平面上成立的结论，在其他倾角的数平面上也成立;

（4）代数形式p=a+bi+cj与相对应的三角形式p=rcosθ+sinθicosφ+jsinφ的互化公式：

a=rcosθ，b=rsinθcosφ，c=rsinθsinφ，具体依下列规则进行

先求r：r=a2+b2+c2，再求θ：由点p0（a，b）的所在象限及rcosθ=a共同确定（一般取最小正角），最后求φ：一般地，取φ=arctancb，-π2<φ≤π2，b=0，c≠0时，φ=π2;b=c=0时，φ值不定.

从更高的观点来看，可以观察到数学在更高层次上的统一，复数的代数形式与极坐标的统一，三元数的代数形式与球坐标的统一，极坐标是球坐标的特例，复数是三元数的特例.

三元数的加法满足平行四边形法则，减法满足三角形法则.复数是实数的扩充，三元数是复数的扩充，要特别注意三元数与复数及实数的联系与区别.

（1）实数与数轴上的点一一对应，复数与复平面内的点、复平面内以原点为起点的向量一一对应，三元数与数空间内的点、数空间内以原点为起点的向量一一对应.

（2）两个实数可以比较大小，有关不等式的一些性质仅限于实数集中成立.

（3）三元数的模是实数及复数绝对值的扩充，实数与复数的绝对值是三元数模的特例，因此三元数模的所有性质对实数绝对值都成立，而实数绝对值的一些性质对三元数模则不一定成立.

p=1，在p为实数时表示两个点±1，在p为复数时表示单位圆，在p为三元数时表示单位球面.

（4）实数集对加、减、乘、除、乘方运算封闭，复数集与三元数集对加、减、乘、除、乘方、开方运算封闭.

（5）一般地，一元n次代数方程在复数集中有且仅有n个根，在三元数集中可以有多于n个的根，甚至有无穷多个根存在.

3.三元数三角形式的运算

（1）在倾角为φ的数平面上，设pn=rn[cosθn+sinθn（icosφ+jsinφ）]，n=1，2，3，则有

p1.p2.p3=r1.r2.r3[cos（θ1+θ2+θ3）+sin（θ1+θ2+θ3）·（icosφ+jsinφ）]，显然，同在一个数平面上的三个数相乘，其乘积的模为模的乘积，复数乘法是其特例.

三元数的三角形式可用来直观描述一个星体在轨道倾角为φ的平面上绕中心天体的运行情况：p=rcosωt+sinωticosφ+jsinφ，r为该星体运行的圆形轨道的半径.

如軌道为椭圆，公式可改写为：p=acosωt+bsinωt（icosφ+jsinφ）.

若轨道还需旋转一个角度θ，公式可再改写为：

p=[acosωt+bsinωt（icosφ+jsinφ）][cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）].

其中a，b表示星体运行的椭圆轨道的长半轴与短半轴，t表示时间，ω表示星体运行的角速度， T=2πω表示该星体绕中心天体运行的周期.cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）是三维数空间里的旋转算子，该算子还可推广至更高维数空间.

（2）三元数的乘方 三元数的n（n∈N）次幂的模等于这个三元数的模的n次幂，它的辐角等于这个三元数的辐角的n倍，而倾角不变.rcosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）n=rncosnθ+sinnθ（icosφ+jsinφ）.

特别地，当φ=0时得：r（cosθ+isinθ）n=rn（cosnθ+isinnθ）.

此即复平面上的Movire定理，在这里成了三元数乘方的一个特例.

（3）三元数的开方 三元数的n（n∈N）次方根是

nrcosθ+2kπn+sinθ+2kπn（icosφ+jsinφ）

，（k=0，1，…，n-1）.

注意：①一般地（指p不为实数时），三元数总有固定的倾角φ，这时三元数的n次方根是n个三元数，它们的模等于这个三元数的模的n次算术根，它们的辐角分别等于这个三元数的辐角与2π的0，1，2，…，n-1倍的和的n分之一，而倾角φ不变.

②p为实数时，倾角φ值不定，需解参数方程：

x=nrcosθ+2kπn，y=nrsinθ+2kπncosφ，z=nrsinθ+2kπn·sinφ），（k=0，1，…，n-1）.

易知-1的平方根是icosφ+jsinφ，它的几何意义是数空间中以原点为圆心，垂直于复平面，在平面yOz上的单位圆，其与复平面的交点恰好是i与-i两个点，-1在复平面上有且仅有两个根，在数空间中却有整整一个圆的根存在.这是给出定义i2=j2=-1，i·j=0时所完全不曾预料的事情！

需要指出的是：求一个三元数的n次方根，当n=2时，勉强可利用定义解代数方程求得，当n较大时用三元数的三角形式求解较为简单.

三元数开方的几何意义

一般地，三元数（指p不为实数时）p=r[cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）]开n次方的n个根在数空间内所对应的n个点均匀地分布在以原点为圆心，nr为半径，与复平面的倾角为φ的数空间中的一个圆上.

当然，当p为实数时，其n次方根的几何意义依然可利用三元数的求方根公式进行讨论，读者不妨自行一试.

4.三元数的重要定义、定理与推论

4.1模律定理 两个三元数a=a0+a1i+a2j，a0≠0，|a|=r1，x=x0+x1i+x2j，a为常量，x为变量，x=r2≠0，其积p=ax的模r，当且仅当a2x1-a1x2=0，即两个三元数在同一个数平面上时，三元数积的模等于两个三元数的模的积，得到最大值rmax=r1.r2;当且仅当x20a21+a22=0且a1x1+a2x2=0时，得到最小值rmin=a0r2.

依高等几何知识，a0≠0，p=ax，本质上表示一个仿射变换，球面x=r2≠0通过可逆线性变换绕球心（原点）旋转、伸缩后被映射成一个椭球面，模律定理恰好揭示出了椭球面的最长半轴与最短半轴.特别地，如果a=a0+a1i+a2j=a0，此时得到一个半径r=a0r2的球面，球面的半径是常量，当然最大值与最小值相等.

给定三元数a=a0+a1i+a2j，|a|=r，一一对应一个矩阵A，该矩阵的行列式 A=a0r2称为数a的基本值，限制a的基本值A≠0，A≠0a0≠0仿射变换成为可逆线性变换，商x=pa唯一可求.特别地，在复域中，复数a=a0+a1i的基本值A=a20+a21≠0r≠0a≠0，基本值的通项公式为A=an-20r2.初等数学中一般规定0不作除数正是A≠0的特例.（A=a0-a1-a2

a1a00

a20a0=a0（a20+a21+a22）=a0r2）

4.2.推论（零因子定理） 两个三元数a=a0+a1i+a2j，x=x0+x1i+x2j，|a|=r1≠0，x=r2≠0，当且仅当x0=a0=0，且a1x1+a2x2=0时，其乘积p=ax=0.

4.3.除法定理 已知p=ax，p=p0+p1i+p2j，a=a0+a1i+a2j，求x=x0+x1i+x2j=pa.将p=ax乘出，依三元数相等的定义，得三元一次方程组，当a0≠0时，方程有唯一解：

x0=p0a0+p1a1+p2a2a20+a21+a22，

x1=a0（p1a0-p0a1）+a2（p1a2-p2a1）a0（a20+a21+a22），

x2=a0（p2a0-p0a2）+a1（p2a1-p1a2）a0（a20+a21+a22）.

当p1a2-p2a1=0，即p与a在同一个数平面上时，方程组有形式简单的解：

x0=p0a0+p1a1+p2a2a20+a21+a22，x1=p1a0-p0a1a20+a21+a22，

x2=p2a0-p0a2a20+a21+a22.

如果p2=a2=0，数平面的倾角为0，即得出复域内结果，显然复数除法是三元数除法的特例.

再来研究a0=0，a≠0时的情形.将p=ax乘出，得三元一次方程组a0x0-a1x1-a2x2=p0，

a1x0+a0x1=p1，

a2x0+a0x2=p2. （1）

（2）

（3）

方程组系数矩阵的行列式A=a0-a1-a2

a1a00

a20a0=a0（a20+a21+a22）=a0r2=0a0=0.

当a1≠0，a2≠0且p1a2-p2a1=0时，得解：x0=p1a1=p2a2，a1x1+a2x2+p0=0，当p1a2-p2a1≠0时无解.

当a1≠0，a2=0且p2=0时，得解： x0=p1a1，x1=-p0a1，x2∈R，当p2≠0时无解.

当a2≠0，a1=0且p1=0时，得解： x0=p2a2，x2=-p0a2，x1∈R，当p1≠0时无解.

若在复域内考虑p2=0，a2=0，当a1≠0时得解：x0=p1a1，x1=-p0a1，x2=0，此时得出了唯一解，复域内情形为三元数除法的特例.

注意到在p1a2-p2a1=0商有唯一解的公式中取a0=0，将x1=-p0a1a21+a22，x2=-p0a2a21+a22代入商有直线解的公式a1x1+a2x2+p0=0，将x0=p1a1=p2a2代入x0=p1a1+p2a2a21+a22仍成立，可去间断点必在连续直线上.在三元数函数论中，为了研究问题的方便，定义可去间断点为三元数商的主值，与商一样仍用x=pa来表示，以实现商的单值连续，x=pa在商多值时一般专指商的主值，复域内情形为其特例，以后不再一一说明.

利用数平面的概念，上述结果可简述为：

（1）a0≠0时，方程组有唯一解，商唯一可求.

（2）a0=0，a≠0时，如果p与a在同一个数平面上，方程组有一条直线的解，商的主值唯一可求，复域内解为其特例.

（3）a0=0，a≠0时，如果p与a不在同一个数平面上，方程组无解，商为空集.

最后来研究a=a0+a1i+a2j=0时的情形，此时a0=a1=a2=0，如果p≠0，此时没有任何三元数x满足p=ax，所以解集是空集;如果p=0，此時任意一个三元数x均满足p=ax，所以解集为A3，意即所有的三元数均为所求.

综上所述，三元数的乘除法比加减法要更为微妙，从函数的观点来看，三元数乘法得到的积是单值函数，三元数除法得到的商却可以一值、多值（主值唯一）、甚至无解.其实即使在复域内考虑，乘除法也并不完全可逆，0就是个例外，初等数学中一般规定0不作除数，以保证除法运算所得到的商总是单值.在三元数函数论中，从更一般的观点来看，三元数除法等价于三元一次方程组的求解，任意两个三元数总可作除法，除法运算即解方程组的过程总可以进行，只是除法运算的结果（商）可能单值、多值或无解罢了.

4.4推论（倒数定理） p=ax，p=1时，x称为a的倒数，代入p=1，a=a0+a1i+a2j，得：

（1）a0≠0时，倒数x=x0+x1i+x2j=1a唯一可求.x0=a0a20+a21+a22，x1=-a1a20+a21+a22，x2=-a2a20+a21+a22.

（2）a0=0，a1≠0，a2≠0时，得解：x0=p1a1=p2a2=0，a1x1+a2x2+1=0，方程组有一条直线的解.

（3）a0=0，a1≠0，a2=0时，得解：x0=p1a1=0，x1=-1a1，x2∈R，方程组有一条直线的解.

（4）a0=0，a2≠0，a1=0时，得解：x0=p2a2=0，x2=-1a2，x1∈R，方程组有一条直线的解.

（5）任何数乘以0都不等于1，所以0没有倒数，反之，任何非0三元数总有至少一个倒数.

在复变函数论中，倒数函数y=1x将一个圆单值连续映照为另一个模为倒数的圆，在三元数函数论中，多值商取主值x0=0，x1=-a1a21+a22，x2=-a2a21+a22后倒数函数y=1x将一个球面单值连续映照为另一个模为倒数的球面，复数倒数是三元数倒数的特例.

4.5乘除转化定理 一般地，pa，a0≠0，当且仅当p1a2-p2a1=0时，pa=p×1a， p除以一个三元数等于乘以这个三元数的倒数.实际上，当p1a2-p2a1=0，a0=0，a≠0商为多值时乘除转化定理仍成立，此时只需左边商取多值或主值而右边a的倒数也取多值或主值乘出即可.

利用数平面的概念， 乘除转化定理可简述为：

一般地，a≠0，当且仅当p与a在同一个数平面上时pa=p×1a，p除以一个三元数等于乘以这个三元数的倒数，复域内情形为其特例.

4.6结合律定理 三个三元数相乘p=p1p2p3，当且仅当p2为实数或者p1，p3在同一个数平面上时，结合律成立，由于实轴是所有数平面的公共轴，任意数平面均包含实数，所以至少有一个数是实数的三个数相乘，其乘积满足结合律.

4.7代数学基本定理 三维数空间里一般系数的一元n次代数方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0至少有一解（a0=a00+a01i+a02j，a00≠0）.

4.8推论（实系数代数学基本定理）如果实系数一元n次代数方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0（a0≠0）在复平面上有u个实根x1，x2，…， xu，t对虚根r1（cosθ1±isinθ1），…，rt（cosθt±isinθt），那么该方程在数空间里有且仅有u个实根x1，x2，…，xu和t个圆的非实数根（pm=x+yi+zj，x=rmcosθm，y2+z2=rmsinθm2，m=1，…，t），u+2t=n.

4.9推论（实根定理）如果实系数一元n次代数方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0（a0≠0）在复平面上有且仅有n个实根x1，...，xn，那么其在数空间里也有且仅有n个实根x1，...，xn

4.10推论（虚根定理）如果实系数一元n次代数方程a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an=0（a0≠0）在复平面上有且仅有n2对虚根r1（cosθ1±isinθ1），…，rn2cosθn2±isinθn2，那么其在数空间里有且仅有n2个圆的非实数根 （pm=x+yi+zj，x=rmcosθm，y2+z2=rmsinθm2，m=1，…，n2）.

三、三元数函数

通过引入定义：（1）i2=j2=-1，（2）ij=0，现在已能对两个三元数作加、减、乘、除等四则运算，对单个三元数可进行乘方、开方，还可以解出数空间里形如ax=b，axn=b（n∈N，n≥2）的二项方程.

这都属于初等数学中代数运算的范畴，下面利用幂级数理论对三元数函数进行推广.

1.指数函数

定义：ep=1+p1！+…+pnn！+…（p∈A3，n∈N） （1）

先研究p=（icosφ+jsinφ）θ的指数函数，将p代入（1）并整理得

ep=（1-θ22！+θ44！-…）+（icosφ+jsinφ）（θ-θ33！+θ55！-…）=cosθ+（icosφ+jsinφ）sinθ （2）

可以給出严格的证明，ep=1+p1！+…+pnn！+…（p∈A3，n∈N）在整个数空间内是收敛的.

令φ=0，在（2）中即可得到eiθ=cosθ+isinθ.

此即著名的Euler公式，这里可以从三元数理论中导出，从而是三元数理论中的特例.

当p=a+bi+cj=rcosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）时，代入（1）得

ep=ercosθersinθ（icosφ+jsinφ）

=ercosθcos（rsinθ）+（icosφ+jsinφ）sin（rsinθ）（3）

此即求任一三元数指数函数的公式，三元数还有指数形式p=reT3θ=re（icosφ+jsinφ）θ.

2.三角函数与双曲函数

三元数p=rcosθ+sinθicosφ+jsinφ=r（cosθ+T3sinθ），T3=icosφ+jsinφ确定了三元数p所在的数平面在数空间中的位置，称为三元数p的代数倾角，简称倾角，相应φ特指三元数p的几何倾角.

cosp=1-p22！+p44！-…=eT3p+e-T3p2（p∈A3）

sinp=p-p33！+p55！-…（p∈A3）=eT3p-e-T3p2T3（p∈A3）

tanp=sinpcosp，cotp=cospsinp，secp=1cosp，cscp=1sinp

coshp=ep+e-p2，sinhp=ep-e-p2，tanhp=sinhpcoshp，cothp=coshpsinhp，sechp=1coshp，cschp=1sinhp.

3.对数函数

q=lnp，则eq=p，p≠0，因eq=0无解，将p以指数形式写出：p=reT3θ=re（icosφ+jsinφ）θ，并记q=u+vi+wj，于是p=re（icosφ+jsinφ）θ=eu+vi+wj=euevi+wj，u=lnr，vi+wj=（icosφ+jsinφ）（θ+2kπ）（k∈Z），

所以： q=lnp=lnr+（icosφ+jsinφ）Argp=lnr+T3Argp=lnp+T32kπ（lnp=lnr+T3Argp），由于指数函数在倾角为φ的数平面上有周期2π（icosφ+jsinφ）=2πT3（复平面倾角为0，周期为2πi），其反函数对数函数是多值函数.

现在研究映射p=eq，q=u+vi+wj，平面u=u0被映射成球面r=eu0，设vi+wj=ρ（icosφ+jsinφ），ρ=±v2+w2，v=ρcosφ，w=ρsinφ，φ∈-π2，π2，ρ依次取-π，π，±π，±3π，±3π，±5π，…，映射p=eq将自变量数空间内的中心圆柱体、无穷多的半圆环柱体依次映射成了函数数空间（不含原点），复变函数论中w=ez=ex+yi将直线x=x0映射成圆r=ex0，自变量复平面带形区域y依次取-π，π，±π，±3π，±3π，±5π，…被映射成了函数复平面（不含原点），复域内结论是三元数函数论中的特例，实质表述了数空间中一个剖面的情形.

4.反三角函数和反双曲函数

注意到对数函数、三角函数、双曲函数其实均来源于指数函数，而指数函数实质为在整个数空间收敛的实系数的幂级数，任取一个数平面来研究，当自变量在倾角为φ的数平面上取值时，函数值亦在该数平面上变动，有

arcsinp=-（icosφ+jsinφ）ln[（icosφ+jsinφ）p+1-p2].

arccosp=-（icosφ+jsinφ）ln（p+p2-1）.

arctanp=12（icosφ+jsinφ）ln1+（icosφ+jsinφ）p1-（icosφ+jsinφ）p=12（icosφ+jsinφ）lnicosφ+jsinφ-picosφ+jsinφ+p.

arccotp=12（icosφ+jsinφ）ln1-（icosφ+jsinφ）p1+（icosφ+jsinφ）p=12（icosφ+jsinφ）lnicosφ+jsinφ+picosφ+jsinφ-p.

arcsinhp=ln（p+p2+1），arccoshp=ln（p+p2-1），arctanhp=12ln1+p1-p，arccothp=12lnp+1p-1.

5.幂函数

pa=ealnp，p≠0，其中a与p是三元数，三元数基础理论中已讨论过a=n和a=1n（n∈N）的情形，分别为p的乘方与开方，一般p的开方根函数就已是多值函数，在新的定义下得出的结论与以前的结果并无不同.当a取一般的三元数时出现了新的情况，尽管三元数的幂函数也是通过指数函数来定义，但由于a与p不一定在同一个数平面上，所以当自变量在倾角为φ的数平面上变动时，函数值不一定仍在这个数平面上变动.

6.多项式和有理函数

f（p）=a0+a1（p-p0）+…+an（p-p0）n（an，p∈A3，n∈N），h（p）=f（p）g（p），其中f（p），g（p）均为多项式.多项式是有理函数的特例.显然，在整个三维数空间A3内多项式处处收敛.

7.整函数与分式函数

在三维数空间A3内，可表示成处处收敛的幂级数的和的三元数函数称为整函数，多项式是最简单的整函数，非多项式的整函数（无穷高次多项式）称为超越整函数，指数函数与三角函数都是超越整函数.易知有界整函数是常数.

f（p）=a0+a1（p-p0）+…+an（p-p0）n+…（an，p∈A3，n∈N），limn→∞n|an|=0，h（p）=f（p）g（p）（其中f（p），g（p）均为整函数）称为分式函数.在复变函数论中研究了收敛的实系数、复系数的幂级数，在三元数函数论中，还需进一步去研究收敛的一般三元数系数的幂级数.

借助将三维数空间看作由倾角为0的数平面（复平面）绕实轴（或x轴）旋转而成的几何解释，立即可以理解下列以0点为中心的幂级数的收敛性：

Sn=a+ap+…+apn-1+…=a1-p（a∈R，p∈A3，p<1，n∈N）

ep=1+p1！+…+pnn！+…，cosp=1-p22！+p44！-…， sinp=p-p33！+p55！-…（p∈A3，n∈N）

由于第一个幂级数在复平面上的单位圆内收敛，而单位圆绕x轴在三维数空间里旋转得到单位球面，所以级数在三维数空间里的单位球内收敛，其他几个幂级数由于在整个复平面内收敛，所以它们在整个三维数空间里亦收敛.

8.一般的三元数函数

f（p）=P（x，y，z）+Q（x，y，z）i+R（x，y，z）j，p=x+yi+zj，其中P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）均为x，y，z的三元实函数，从本质上讲，复变函数理论就是一对二元实函数的理论，而三元数函数论就是三个三元实函数的理论.

四、三元数函数的解析理论

定义4.1 设f（p）为定义在区域D内的单值函数，f（p）=P（x，y，z）+Q（x，y，z）i+R（x，y，z）j，自变量p=x+yi+zj，将f（p）沿倾角为φ的数平面pφ作正交分解：f（p）=f1+f2，f1=P+（Qcosφ+Rsinφ）（icosφ+jsinφ），f2=（Qsinφ-Rcosφ）（isinφ-jcosφ），当Qsinφ-Rcosφ=0时，自变量与函数值在同一个数平面pφ上变化，原式化为f（p）=u（x，ρ）+v（x，ρ）（icosφ+jsinφ），如果函数f（p）在p0处沿数平面pφ可微，则称函数f（p）在p0处可导.此时φ为常量，有

Qsinφ-Rcosφ=0，P（x，y，z）=u（x，ρ），Q（x，y，z）=v（x，ρ）cosφ，R（x，y，z）=v（x，ρ）sinφ，y=ρcosφ，z=ρsinφ.

定義4.2 如f2=0，将函数f（p）的定义域D依数平面分开，如果函数在倾角为φ的数平面pφ上的部分处处可微，则称函数在D内pφ上解析，简称平面解析;如果函数在D内所有数平面上处处可微，则称函数在自变量区域D内解析，简称空间解析.

从定义可看出：对于三元数函数，导数未采用比的极限的传统定义，而是利用了可微即可导的原理，有f（p0+Δp）-f（p0）=f′（p0）Δp+o（Δp）（Δp→0），直接把函数的微分系数定义成了函数的导数.

不难得出函数可微或可导的充要条件为：

Q（x，y，z）sinφ-R（x，y，z）cosφ=0，ux=vρ，uρ=-vx（1）

在复域内考虑，倾角φ=0，R（x，y，z）=0，z=0，y=ρ，（1）式就变成了传统的C-R条件：

ux=vy，uy=-vx，复域内结论是三元数函数论中的特例.

定义4.3 将函数f（p）沿倾角为φ的数平面pφ作正交分解，如f2≠0，f1在倾角为φ的数平面pφ上的部分处处可微，则函数在D内可分成两部分，f1解析，f2不解析，称函数f（p）为半解析函数.

易知函数半解析的充要条件为： f2≠0， Px=（Qcosφ+Rsinφ）ρ=Qρcosφ+Rρsinφ，Pρ=-（Qcosφ+Rsinφ）x=-Qxcosφ+Rxsinφ（2）

定义4.4 设函数f（p）为定义在区域D内的单值连续函数，f（p）=P（x，y，z）+Q（x，y，z）i+R（x，y，z）j，如果f（p）可表示成一个收敛的三元数系数的幂级数，则称函数f（p）为泛解析函数.解析函数是泛解析函数的特例.

定理4.1 泛解析函数f（p）表示成处处收敛中心在原点0的幂级数的充要条件是组成函数的三个实变函数自邻域中心点0分别作Taylor展开后的各项满足（1），称为泛解析Taylor条件.

f（p）=P（x，y，z）+Q（x，y，z）i+R（x，y，z）j=a0+b0i+c0j+（a1+b1i+c1j）p+…+（an+bni+cnj）pn+…（1）

P（x，y，z）=P（0，0，0）+（xx+yy+zz）P（0，0，0）+12！xx+yy+zz2P（0，0，0）+…（2）

Q（x，y，z）=Q（0，0，0）+xx+yy+zzQ（0，0，0）+12！xx+yy+zz2Q（0，0，0）+…（3）

R（x，y，z）=R（0，0，0）+xx+yy+zzR（0，0，0）+12！xx+yy+zz2R（0，0，0）+…（4）

将p=x+yi+zj代入（1）式展开，对比各式得到无穷个偏微分方程组，依次求之得an，bn，cn等.

a0=P（0，0，0），b0=Q（0，0，0），c0=R（0，0，0），a1=P（0，0，0）x=Q（0，0，0）y=R（0，0，0）z，b1=Q（0，0，0）x=-P（0，0，0）y，

c1=R（0，0，0）x=-P（0，0，0）z，Q（0，0，0）z=R（0，0，0）y=0，……

复域内复变函数在原点解析的条件是三元数函数在原点泛解析Taylor条件的特例.在三元数函数论中，函数可表示成收敛的幂级数与函数解析并不等价.

五、三元数函数的积分理论

三元数函数的积分主要是考虑沿数空间内曲线的积分，曲线应为简单光滑或逐段光滑的有向曲线，定义∫Cf（p）dp=limn→∞Sn=limn→∞∑nk=1f（ζk）Δpk，如果C为闭曲线，积分方向又为曲线的正方向，则沿此闭曲线的积分又可记作：∮Cf（p）dp，一般地，C上的连续函数f（p）在C上可积.

定理5.1（围道积分公式） 设三元数函数f（p）在三维数空间A3的一个单连通区域D内空间解析，p0是D内的任意一点，则

f（p0）=12π（icosφ+jsinφ）∮Cf（p）p-p0dp，其中闭路C为围住点p0的简单光滑或逐段光滑的闭曲线，C在D内倾角为φ的数平面pφ上，p0，Cpφ.

证 当点p0不在实轴上时，在倾角为φ的数平面pφ上作围道C，据Cauchy积分公式定理得证，如果点p0恰好位于实轴上，此时通过任意一个数平面作围道积分后亦可证得，故定理成立.复域内情形是φ=0时的特例.特别地，如取f（p）≡1，则有2π（icosφ+jsinφ）=∮C1p-p0dp，φ=0时即得2πi=∮C1p-p0dp.

注意：如点p0不在实轴上，倾角φ∈-π2，π2，此时点p0能且只能位于唯一的一个数平面上，只有在这个数平面上作围道积分才能求得f（p0），若点p0恰在实轴上，则通过任意一个数平面作围道积分均可求得f（p0）.

定理5.2（积分为0定理） 设f（p）是区域D内的连续函数，如对于D内任意一条简单光滑闭曲线C都有∮Cf（p）dp=0，f（p）=u（x，y，z）+v（x，y，z）i+w（x，y，z）j，p=x+yi+zj，则有

ux=vy=wz，uy=-vx，uz=-wx，vz=wy.

证 ∮Cf（p）dp=∮C（u+vi+wj）（dx+idy+jdz）=∮C（udx-vdy-wdz）+（vdx+udy）i+（wdx+udz）j=0.

据Green公式与Stokes公式展开后，定理得证.

在复域内此定理即成为Morera定理， Morera定理是此定理的特例.但在三维数空间，一般地，积分为0与函数解析并不等价.单连通区域D内沿闭路积分为0的连续函数的积分完全由它的上下限决定，而与所沿的路径无关，固定一点p0，另一点p在D内变动，则变上限积分所确定的函数F（p）=∫pp0f（ζ）dζ与路径无关，因而是p的一个单值函数.

六、三元数函数的级数理论

1.三元数项级数与三元数函数项级数

定理6.1.1 给定一个三元数序列pn，其中pn=an+bni+cnj，n∈N，p0=a+bi+cj，则limn→∞pn=p0，当且仅当limn→∞an=a，limn→∞bn=b，limn→∞cn=c（各系数均为实数）.

定理6.1.2 三元数项级数∑∞n=1pn（pn=an+bni+cnj）收敛的充要条件是实数项级数∑∞n=1an，∑∞n=1bn，∑∞n=1cn同时收敛.

定理6.1.3 三元数项级数∑∞n=1pn收敛的必要条件是limn→∞pn=0.

定理6.1.4 绝对收敛的三元数项级数其本身一定收敛.

定理6.1.5 若三元数函数均定义在集合D上，并且有不等式fn（p）≤Mn，n∈N，正项级数∑∞n=1Mn收敛，则函数项级数∑∞n=1fn（p）在D上一致收敛.

定理6.1.6 若fn（p）在区域D内连续，级数∑∞n=1fn（p）在D内一致收敛于和函数s（p），则s（p）在D内处处连续.

定理6.1.7 若fn（p）均在光滑或逐段光滑的曲线C上连续，级数∑∞n=1fn（p）在C上一致收敛于函数s（p），则s（p）在C上可积，并且有∫Cs（p）dp=∑∞n=1∫Cfn（p）dp.

定理6.1.8若fn（p）均在区域D内解析，并且∑∞n=1fn（p）在D内一致收敛于和函数s（p），则s（p）在D内解析，并且有s′（p）=∑∞n=1f′n（p），p∈D.

2. 幂级数

实系数处处收敛的幂级数在所有的数平面上解析，属于空间解析，非实数的复系数的处处收敛的幂级数仅在复平面上解析，属于平面解析，当然还存在一般三元数系数的处处收敛的幂级数，属于泛解析.

定理6.2 给定幂级数（1），如果极限limn→∞n|an|=ρ，limn→∞n|an0|=ρ0，则当p<1ρ=R时，级数收敛;当p>1ρ0=R0时，级数发散.∑∞n=0anpn=a0+a1p+a2p2+…+anpn+…（n∈N，p∈A3） （1）.

证 据三元数的模律定理an0·pn≤anpn≤an.pn，由于p<1ρ=R時，ρp<1，级数（1）的各项取绝对值后所构成的幂级数（2）收敛，所以级数（1）也收敛;当p>1ρ0=R0时，ρ0p>1，1

∑∞n=0an·pn=a0+a1·p+a2·p2+…+an·pn+…（n∈N，p∈A3） （2）.

在三元数理论中，一般地，anpn≠anpn0·pnpn0，所以仅根据幂级数在p0（≠0）点收敛，并不能判定级数在以原点为中心、p0为半径的球内收敛，此时仍需根据定理6.2来判定级数的收敛区域.当然也可能级数的一般项只有limn→∞n|an|=ρ成立，此时一般就只能判定级数在p<1ρ=R时收敛.

3.Laurent级数

定义6.3 在球带区域D内（R1

∑+∞n=-∞an（p-p0）n（1），令ζ=1p-p0把（1）分成两部分∑+∞n=0an（p-p0）n+∑+∞n=1a-nζn，前一级数p-p0R1时收敛，如恰好R1

七、四个定义、两个猜想与结论

定义7.1 如果泛解析三元数函数f（p）在p点的值不存在，则称p为函数f（p）的奇点.

定义7.2 如果在点p的某一空心邻域内f（p）有界，则称p为函数的可去奇点.

定义7.3 如果在点p的某一空心邻域内当自变量趋于点p时，f（p）趋于无穷，则称p为函数的极点.

定义7.4 如果在点p的某一空心邻域内f（p）可趋于任意三元数（包括无穷），则称p为函数的本性奇点.

猜想7.1（单位球猜想） 对于三维数空间内任一边界不止一点的单连通区域，必存在收敛的幂级数将其一对一映照到单位球内部.

猜想7.2（例外值猜想） 超越整函数f（p）至多有一个点或半个圆的例外值（点是半个圆半径趋于0时的极限），否则方程f（p）=q在三维数空间总有无穷多个根.

f（p）=a0+a1p+…+anpn+…（an，p，q∈A3，m，n∈N），limn→∞n|an|=0，an=an0+an1i+an2j，n≥m时，an0≠0.

在复变函数论中，单连通域内连续函数沿闭路积分为0与函数解析等价，函数在圆盘区域内或圆环区域内存在处处收敛的幂级数表示与函数解析等价，然而在三元数函数论中，函数存在幂级数表示不一定解析，解析只是函数存在幂级数表示的特例.Weierstrass通过幂级数来构建函数论的方法某种意义上更为基本，这种形而上学的形式化定义既适用于结合代数，也适用于非结合代数，即使在传统解析与积分理论不再成立的地方，幂级数理论仍然适用.

新的三元数函数论也提供了很多有趣的问题，比如在三维数空间解析函数的零点与奇点就不一定孤立，像f（p）=p2+1（p∈A3）就有一个圆的零点p=icosφ+jsinφ，但如果固定φ值将数空间依数平面分开，则每一个数平面上函数有且仅有两个孤立的零点.又如在复变函数中经常提到的在单位圆内收敛的幂级数f（p）=11+p2=1-p2+p4-p6+…（p∈A3），一般教材都是告诉读者因为在单位圆的圆周上出现了两个极点i与-i，函数在这两点变为无穷，因而导致了函数的收敛域只能在单位圆内，不过如果从三元数函数论的观点来看，导致函数收敛区域只能在单位球内的更深刻原因其实是因为在三维数空间内函数有一个整圆的奇点p=icosφ+jsinφ挡住了幂级数继续延拓的进程.

必须指出：一篇小短文远不足以阐明三元数函数论中的所有问题与研究方向，由于新的理论更多是从连续函数的性质出发而得出了诸多更一般的结论，因而与拓扑学和几何学存在着天然紧密的联系.同时出于解方程的需要，三元数函数论与非线性代数方程组、微分积分方程理论等也密不可分.在过去几十年中，复变函数论中的一些重要结论逐渐被用拓扑学的方法给出了更为深刻的证明，考虑到连续函数是解析函数的更一般情形，相信随着三元数函数论与数学中其他分支联系的日益加深，新的理论必然会随着更多新鲜养分的注入而茁壮成长、日臻成熟.

最后指出，只需将三元数p=r[cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ）]的倾角T3=icosφ+jsinφ换成高维数空间中的倾角Tn=∑nk=1ikcosφk，T∞=∑∞k=1ikcosφk（∑nk=1cos2φk=∑∞k=1cos2φk=1），球坐标三元数理论可自然推广至n维数空间乃至无穷维数空间而形成广义球坐标多元数理论.新的理论具备自我发展、自我完善的能力充分证明：好的数学对象自有其不朽的生命与灵魂.一方面Cauchy是幸运的，因为只有一种复变函数理论，恰巧被Cauchy发现了;另一方面我们则更加幸运，因为Cauchy的发现并非全部，在复变函数理论之上，实际还存在着更为优美和谐的三元数函数论以及多元数函数论.科学研究需要敢于创新，创新是科学的本质与灵魂.只有不断突破前人勇于创新，科学才能不断进步和发展.前人的理论固然伟大，但后人的成就终将会超越前人，立德立言、求美求真，在探索科学的道路上，总有更伟大的理论在等待着后人.

八、致 谢

2006年《超越复数的三元数》在武汉湖北大学全国第六届初数会上公开宣读获二等奖，由于曲阜师大李吉宝教授慧眼识珠，球坐标三元数理论2009年首先在《中学数学杂志》公开发表，2010年哈尔滨工业大学韩彦伟在获得国家自然科学基金资助的论文《一种三元数的新定义》中首先引用了《超越复数的三元数》， 2011年北航全国大学生数学竞赛的获奖者蒋正好将球坐标三元数编入了其参加北航第二十一届“冯如杯”竞赛的论文《几种三元数系的比较及其代数和分析初步》，蒋正好肯定了球坐标三元数理论的价值，并作了进一步的研究.人民教育出版社课程教材研究所网站很快全文转载了《超越复数的三元数》《超越复数的多元数》《代数基本定理在高维数空间之证明》，新理论借助人教网得到了快速传播.2012年上海浦东教育发展研究院周宁医主任将球坐标三元數编入了《高中数学的探究性课题》，该教辅与华东师大版高中数学教材配套使用，由上海教育出版社公开发行，自此球坐标三元数首先在上海市进入了中学课堂.2014年《三元数函数与解析》在合肥师范学院全国第九届初数会上公开宣读获二等奖.华东理工大学陆元鸿教授在“数学中国”网站第一个承认了白韩三元数，认为球坐标三元数可以看作是复数的一种推广，并对其他可能存在的三元数进行了一般性探讨，中国海洋大学常晋德老师曾热心提供了研究三元数的重要参考资料，河南城建学院数理学院屈鹏展教授、全国初数会常务副理事长吴康教授等多年来鼓励、支持了新课题的研究.在此谨向所有曾关心、推动了新理论研究、发展的专家学者们致以诚挚的谢意！