高中数学中函数与方程思想的研究

欧阳可慧

【摘要】函数是高中数学最基础的概念之一，也是高中数学比较重要的知识点，随着课程改革的不断推进，高中数学越来越重视函数和方程思想能力的运用.从函数和方程思想的角度去解决各种问题能够极大地提高解题能力，把问题化难为简.函数与方程思想也是历年考试的重点考点.本文通过介绍函数与方程的思想，并举出几个例题，来研究高中函数与方程思想的应用.

【关键词】高中数学;函数;方程思想

引 言

在数学的世界里，函数思想博大精深，高中数学设定的函数知识这一部分知识点多，知识面广，对学生的理解能力和应用能力都是一个挑战，对教师的教学能力也是一个不小的挑战.在应用函数和方程思想时主要有几个常见的问题，如根据变量控制构造函数关系;分析不等式、方程，求出其最小值、最大值等问题，利用函数思想分析数学问题，选定合适的主变量，从而求出函数关系;有时也需要根据实际问题，建立数学模型，把实际问题转换成函数关系式，运用学过的函数性质以及不等式的知识解出答案.

一、函数与方程思想的分析

1.函数思想的实质

函数思想的核心内容是立足于函数关系的相关性质，从函数图形出发，对函数的图形和性质进行分析.在解题过程中，要认真地理解题目中给出的各种已知条件，将实际问题转化成函数方程问题.方程问题和函数问题的转变可以依据函数图像的性质判断来得出问题求解的条件.将求解方程根的问题与函数问题相结合，能够快速地获得解题思路，用最简单的办法找到问题的关键所在，从而得到问题的答案.方程的思想要求我们从函数关系出发，建立正确的相关函数表达式，通过进一步对函数表达式的分析，得到相关问题的答案.也就是，从函数问题向方程问题转换，我们可以把y=f（x）转变为f（x）-y=0，这样在具体的解题过程中，涉及直线、函数的值域、圆锥曲线等问题时，都可以应用二元一次方程组来让解题过程游刃有余，达到事半功倍的效果.

2.函数思想在解题中应用的两个方面

函数思想在解题过程中主要表现在两个方面：利用有关函数的性质，解决求值、不等式求解、方程求解、确定参数的取值范围等问题以及建立合理的函数关系式或者构造中间函数来研究问题，把要解决的问题转化成函数有关问题的探讨，这样就把实际问题转化成了函数问题，降低了问题的难度.用函数与方程思想解决问题一直都是近些年来各大城市高考的重点.

3.函数思想与方程思想的联系

在高考中，函数思想的主要应用就是函数的概念，有时也包括函数性质和图像的应用，其中一共有显化、转换、构造、建立函数关系解题这四个方面.而方程思想就是寻找问题之中变量之间的等量关系，从而建立方程或者方程组解决问题，用解方程或者运用方程的性质去解决问题.函数思想与方程思想之间有很密切的联系，正是因为函数与方程思想的这些联系，在数学解题时，我们可以相互转换来得出问题的答案.

二、函数与方程思想的例题分析

高中数学的很多问题可以将原有的隐含的函数关系显化出来，从而用函数的知识来解决问题.例如：x1满足方程2x+2x=5的条件，且x2满足方程2x+log（x-1）2=5，求解x1+x2的取值.解这个题的核心思想是建立函数关系来显化问题，以建立的函数关系和函数图像作为解决问题的入手点来解决具体问题，为了能够深刻理解构建函数的方法和意义，建立方程和整体运用函数思想的情况，我们来分析一下这道题.

从题中我们可以看出x1和x2给出的条件都是超越方程的类型，其特点是方程的根不能由直接计算得出结果，要想得出方程的根，解题人就要找出两个方程间的联系，通过对两个方程进行一定的函数转化来把握方程之间的关系，这样解题就有了眉目.所以首先要把2x+2x=5确定为方程1，再对方程2x+2x=5进行转化，方程左右同时减去2x，再同时除2，得到转化结果为2x-1=52-x.然后将2x+log（x-1）2=5设为方程2，同理也可转化方程2，在方程2左右同时减去2x，把方程2转化为log（x-1）2=5-2x.之后我们把两个方程进行联立，再分析两个方程之间的关系，将方程继续转化为函数并建立相关函数.方程1的a（y=2x-1）和by=52-x要看作方程的函數图像在坐标轴上的相交点A的横坐标的值，把方程2中的c（y=log（x-1）2）和d（y=5/2-x）看作方程图像在坐标轴内B点的横坐标值. 通过如题对函数的构建，可以再对两个方程对应的函数做进一步的处理，即a是由函数y=2x向右平移一个单位所得到的，同理c函数是由函数y=log2x向右平移一个单位所得到的.综上所述就可以得出结论：方程1对应的函数b的图像与方程2对应的函数d的图像有着互相垂直的关系，而且两个图像的交点坐标为74，34，最后可以根据点A与点B相对距离的关系，可以得出方程x1+x2=72.到了这个地步，这道题也就有了结果，在这道题中可以看到一种函数方程运用的方法，即当通过方程无法直接得出答案的时候，要考虑函数的应用，从函数的应用入手解决问题;反之则要考虑方程思想的应用，只有将函数与方程思想有机地结合起来，在面对实际问题中灵活地运用，才能很好地解决问题.

三、结 语

函数与方程思想是高中数学的重要内容，更是高考的重要考点，函数与方程思想的教学也是高中教师的一个挑战，希望能够引起广大教师的重视.