从一道新加坡高中数学考试题谈起

丛心尉

【摘要】 利用函数在特殊点的函数取值范围，判断函数待定系数满足的不等式，并引入门捷列夫的一个关于此类不等式证明的猜想，同时举例说明这种普通解题方法与门捷列夫猜想在实际解题中的应用.

【关键词】最大值;门捷列夫猜想

新加坡来华东各省市招收高中后保送生，曾考过这样一道题目：

题 对x∈[0，1]，设ax2+bx+c≤1，求|a|+|b|+|c|的最大值.

解 设函数f（x）=ax2+bx+c，x∈[0，1]，则

f0=c

f（1）=a+b+c

f12=14a+12b+c

解这个关于a，b，c的三元线性方程组，即用函数值表达f（x）的系数，得

a=2f（1）-4f12+2f0，

b=4f12-f（1）-3f0，

c=f0.

因x∈[0，1]，f（x）≤1，故

|a|=2f（1）-4f12+2f0

≤2f（1）+-4f12+2f0

≤2+4+2=8.

同理，|b|≤8，c≤1.故|a|+|b|+c≤17，即所求最大值为17.

相传，化学元素周期表的创始者门捷列夫（1834—1907）曾作过下列猜想：

设x≤1，若一元n次多项式

f（x）=anxn+…+a2x2+a1x+a0

满足f（x）≤M，则导数的绝对值f′（x）≤Mn2.

下面通过一道例题的两种解法（普通解法与门捷列夫猜想）来说明此类题的解法.

例 设x≤1时，ax2+bx+c≤1，求证：x≤1时，2ax+b≤4.

证法1 设f（x）=ax2+bx+c，则

f-1=a-b+c

f（1）=a+b+c

f0=c

a=12f（1）+f-1-2f0，

b=12f（1）-f-1.

因x≤1时，f（x）≤1，故

2ax+b=f（1）+f-1-2f0x+12f（1）-f-1

=x+12f（1）+x-12f-1-2xf0

≤x+12+x-12+2≤4

证法2 利用本文所证结论，设f（x）=ax2+bx+c，

则f′（x）=2ax+b.

∵已知x≤1时，f（x）=ax2+bx+c≤1，

∴当x≤1时，f′（x）=2ax+b≤1×22=4.

【参考文献】

[1] 丛日明，金曉菁.高等数学考试题典[M].北京：新华出版社， 2006： 60-73.

[2] 陈文灯， 黄先开.数学复习指南[M].北京：世界图书出版公司北京公司， 2002：52-60.

[3] 柳重堪.高等数学（下册）[M].8版.北京：中央广播电视大学出版社， 2003：81-93.