“小学数学解题研究”课程的几点教学思考

熊礼勤

【摘要】 本文针对学生在解题过程中的盲目试探和面对智力问题的困惑，探讨理性观察和分析问题的方法，提出有效地找寻问题求解思路及解决问题的途径.

【关键词】 小学数学；解题研究

引 言

“小学数学解题研究”是专科数学师范类专业的一门必修课程，其教学目的培养学生将来从事小学数学解题和竞赛指导的能力，对提高学生从事小学数学教师职业所必备的综合素质与专业化水平等方面具有其他课程所不能替代的重要作用. 主要是探讨小学数学习题和竞赛题目的类型、结构、解法、编制方法，使学生在数学思想方法上得到启发，在数学解题方法上得到训练，进一步提高学生的数学素养和素质，为将来从事小学数学的教学工作打下坚实的基础.

尽管学生对小学数学常用的解题方法和基本题型有所了解，能够解答常见题型，但遇到竞赛性质的题目或较新颖的实际问题，解题起来仍然存在很多困难，从笔者对高师学生上课给出的反馈结果来看，第一种情况是遇到问题盲目试探和无从下手. 而给出解答，他们又觉得方法很简单. 第二种情况是我讲解一类型题目后，学生不能举一反三，甚至还不能举一反一. 这里就有一个值得研究的问题：问题和已知方法、知识如何有效衔接？合理地观察分析问题显然起着至关重要的作用. 有关解题方法的书籍很多都给出了观察分析问题的思路或角度，但是针对具体问题，到底选择哪个角度作观察？如果一一尝试，耗时费力，效率太低，甚至会干扰解题. 因此，笔者在教学中十分注意引导学生理性地观察、分析问题，探索有效的解题方案.

1. 观察分析问题的状态和本质，联想相关知识和类似方法

理解题意不能只停留在将条件翻译为数学式子、作图等表面工作上，而必须在此基础上进一步观察题目条件对应的数、式，寻找与熟悉知识相关的各种联系和特征. 较好地把握题目的整体状态、结构和本质，从而正确地联系相关知识和方法，找到有效的解题方案.

例1 六时整，时钟的分针与时针在一条直线上，问至少经过多少分钟，两针重合？

分析 将钟面圆等分为12等份，每一份看作一个行程单位，则本例可以与追击问题相类比：“甲、乙两人同时相向而行. 甲在乙前面6个单位的路程，甲每小时行1个单位的路程，乙每小时行12个单位的路程. 如果同时出发，要经过多少时间乙才能追上甲？”可以列式如下：6 ÷ （12 - 1） = ■（时）.

2. 观察分析问题的特殊性，寻求解题方案的突破

当题目条件较多或较复杂时，不分主次地一一做仔细分析不仅耗时太长，而且可能会干扰学生寻找正确的解题途径. 如何理性而有效地选准观察目标，快捷地找到解题突破口？从题目中较特殊、较突出的条件着眼观察，效果往往很好. 从有关定理中挖掘出一些隐含信息，因此，从这个能挖掘出隐含信息的条件入手，寻找解题的突破口.

例2 500名同学站成一排，从左到右“1、2、3”报数，凡报到1和2的离队，报3的留下，向左看齐后，再重复同样的报数过程，如此进行了若干次后，只剩下两名同学了. 这两名同学在开始的队伍中，位于从左到右的第几个？

分析 第一次报数，3 × 1，3 × 2，3 × 3，…，3 × 166；

第一次报数，9 × 1，9 × 2，9 × 3，…，9 × 166；

第一次报数，27 × 1，27 × 2，27 × 3，…，27 × 166；

……

解：第一次报数：500 ÷ 3 = 166……2，留下166人；

第一次报数：166 ÷ 3 = 55……1，留下55人；

第一次报数：55 ÷ 3 = 18……1，留下18人；

第一次报数：18 ÷ 3 = 6，留下6人；

第一次报数：6 ÷ 3 = 2，留下2人.

所以，最后留下的两名同学的编号是3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 1 = 243和3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 2 = 486.

3. 观察分析问题是寻求解题方案的关键所在

理性地观察题目的状态和结构，选准问题的突破口，对于提高解题的有效性和准确性尤为重要. 教师在解题教学中，不仅要传授给学生常用的数学思想和解题方法，更要重视培养学生的观察能力，以达到提高解题能力的目标.

例3 （一） 一个大正方形由9个同样的小正方形拼成. 一条直线穿过它们，最多可以穿过多少正方形？如果是16、25个呢？能否找出规律？

（二）一个大正方体由27个同样的小正方形紧密地搭成. 一条直线穿过这几个大正方形体，这条直线最多可以穿过多少个小正方体？如果是64呢，能否找出规律？

解 （一）（1）我们先从最简单的开始，如果只有一个正方形，一条直线要穿过它，由观察可知，它要穿过两条边，这是显见的.

（2）如果是由4个正方形组成的图形（见下图1），我们可以采用将大正方形“打散”成很靠近的四个独立正方形. 这样，一條直线穿过原先的大正方形最多穿过的边有最外面的边——2条，里面的边共有2 + 2 = 4条边. 因此共有6条边被穿过，按照（1）的讨论，即可得出最多可穿过6 ÷ 2 = 3个正方形.

（3）如果是9个正方形组成的图形，可采用类似的办法将其“打散”成很靠近的9个独立的正方形. 这样总共有2 + 2 × 2 + 2 × 2 = 10条边被穿过，因此最多有5个正方形被穿过.

（4）很明显如果是16个正方形，则有2 + 2 × 3 + 2 × 3 = 14条边被穿过，也即有7个正方形被穿过. 如果是n2个正方形，则有2 + 2（n - 1） + 2（n - 1） = 4n + 2条边被穿过，最多有2n + 1个正方形被穿过.

（二）对于立方体的处理，可类似如平面图形的处理办法. 只是将上述解法中的线改成面. 同样，一条线要穿过一个正方体最少需穿过正方体的两个面，因此对于8个小正方体组成的立方体“打散”后共有2 + 2 + 2 + 2 = 8个面被穿过，也即最多有4个正方体被穿过. 如果是27个正方体则最多有（2 + 2 × 2 + 2 × 2 + 2 × 2） ÷ 2 = 7个被穿过，如果是64的话，有10个. 如果是n2个正方体的话最多有[2 + 2（n - 1） + 2（n - 1） + 2（n - 1）] = 3n - 2个正方体被穿过.

4. 观察分析问题，通过先特殊后一般的方法，来寻求解题方案的突破

通过观察题目的结构，采取先简单后复杂、先特殊后一般的办法来寻求问题的解决，对于提高解题的有效性和准确性尤为重要. 教师在解题教学中，不仅要传授给学生思想方法和常用解题方法，更要重视培养学生的分析问题的能力，以达到“授之以渔”的目标.

例4 如图，一个居民小区纵横各有6条街道. 某人要从西北方向前往东南方向，走的方向只能向东或向南，一共有多少种走法？

分析 如果一开始就直接进行解决，可能由于图形的复杂，容易造成计算的混乱，最终导致解题的失败. 而我们如果从最简单开始，逐步推进，问题便可解决. 我们分析顺序可从最简单的“口”字型（1 × 1型）（见图一）开始，到“日”字型（1 × 2型）（见图二）、“目”字型（1 × 3型）（见图三）、“田”字型（2 × 2型）（见图四）等，问题得以解决.

解 对于“口”字型（1 × 1型），显然有2种走法；对于“日”字型（1 × 2型），有3种走法；对于“目”字型（1 × 3型），也易得有4种走法；同理，对于1 × 4型的有5种走法.

图一 图二 图三 图四

有了這些做基础，我们可以对复杂图形进行计算. 如 “田”字型（2 × 2型）可分解为两个“日”字型，所以有6种走法；2 × 3型（见图五），可以分解为1 × 3型与2 × 2型，因此有10种走法.3 × 3型可分解为两个2 × 3型，所以有20种走法. 以此推算，4 × 4型可以分解为两个3 × 4型. 而每一个3 × 4型可以分解为3 × 3型和2 × 4型，同理2 × 4型可分解为1 × 4型和2 × 3型，所以4 × 4型有2 × （20 + 10 + 5） = 70种走法. 对于题中5 × 5型，可分解为两个4 × 5型. 以下部分解略.

图五

通过这道题可以看出，小学竞赛题看似难，实际上如果我们抓住了题目的“牛鼻子”，也就能化难为易.

总之，对于小学数学中的竞赛题目的处理一方面要立足于数学思想方法的应用，用近现代数学思想方法来统领问题解决. 另一方面，我们也应该对问题进行仔细观察. 观察分析问题是寻求解题方案的关键所在，理性地观察题目的状态和结构，选准问题的突破口，对于提高解题的有效性和准确性尤为重要. 教师在解题教学中，不仅要传授给学生常用的数学思想和解题方法，更要重视培养学生的观察能力，以达到提高解题能力的目标.

【参考文献】

[1]G·波利亚.怎样解题数学思维的新方法[M].涂私，冯承，译.上海：上海科技教育出版社.

[2]金城梁.小学数学竞赛指导[M].北京：人民教育出版社，2011.

[3]罗增儒.数学解题的辩证思维[J].数学教学研究，2012（6）：65-68.