大学数学的思想方法和教学

吕敬亮　焦劲松

[摘 要]数学思想方法在大学数学教学中具有举足轻重的地位。数学思想是指，现实的空间形式和数量关系反映到人的意识，经过思维活动而产生的结果。它将数学知识系统化、理论化，指导人们在数学活动中确立正确的观念。注重数学思想方法的教学，使学生更好的掌握数学知识；注重数学思想方法的教学，培养学生的创新能力；注重数学思想方法的教学，培养学生的数学思维习惯。

[关键词]数学思想 数学方法 教学

[中图分类号] O13 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2014）16-0068-03

一、引言

数学是一门工具性很强的学科，与其他学科相比具有较高的抽象性。为此怎样将抽象的知识传授给学生，在数学教学中显得尤为重要。本文通过多年的工作经验与课堂实践，从思想与方法出发，增加实际应用的内容，提高学生的数学素养和创新能力，使学生适应新世纪对数学人才的要求。

二、数学思想的含义

所谓数学思想是指，现实的空间形式和数量关系反映到人的意识，经过思维活动而产生的结果。它将数学知识系统化、理论化，指导人们在数学活动中确立正确的观念。数学思想有很多，下面仅介绍三种。

（一）转化的思想

转化的思想是将复杂的转化成简单的，将不熟悉的转化成熟悉的。例如在高阶矩阵计算中，矩阵分块就是一种实用的转化思想。

例1[3]：設D=■，A、B分别为k、r阶可逆矩阵，C为r×k矩阵，0是k×r零阵，求D-1。

解：因为D=AB，A，B可逆，则D也可逆。设D-1=■，X1、X4分别为k、r阶方阵，因为

DD-1=■■=■=■，

Ik、Ir分别为k、r阶单位阵，根据分块相等的运算，得X1=A-1，X2=0，X3=-B-1CA-1，X4=B-1。因此D-1= A-1 0-B-1CA-1 B-1。

（二）数形结合的思想

在大学数学教学中，面对抽象的数学知识，我们要努力将其具体化。数形结合的思想就是一个很好的桥梁。例如在解决三维几何向量空间中点的坐标变换问题时，就可以运用这种思想。

例2：{O'；e'1，e'2，e'3}与{O；e1，e2，e3}是新、旧两个坐标系（如图1）。点P的新、旧坐标分别为（x'，y'，z'）T与（x，y，z）T，问新旧坐标之间有何联系。■

图1

解：设O'点在{O；e1，e2，e3}下的坐标是（x0，y0，z0）T，即■=x0e1+y0e2+z0e3=（e1，e2，e3）x0y0z0，若（e'1，e'2，e'3）=（e1，e2，e3）A，则■=■+■，即

（e1，e2，e3）xyz=（e1，e2，e3）x0y0z0+（e'1，e'2，e'3）x'y'z'

=（e1，e2，e3）x0y0z0+（e1，e2，e3）Ax'y'z'

=（e1，e2，e3）x0y0z0Ax'y'z'+x0y0z0

由坐标的唯一性可知，xyz=Ax'y'z'+x0y0z0。

（三）数学的辩证思想

数学的知识内容本身具有辩证性，这种辩证性主要是通过数学中的相互对立统一的矛盾体现出来的。正式由于这种辩证性，在教学过程中辩证思想也非常重要。例如在工科数学分析中，有些定理的证明，就运用了辩证的思想。

例3：定理1设■f（x）=A，■g（x）=B。

（i）若A0，使得当0

（ii）若有δ>0，使得当0

证明：（i）对ε=■>0，由于■f（x）=A，存在δ1>0，使得当0

■

而由■g（x）=B，存在δ2>0，使得当0

■

取δ=min{δ1，δ2}，则当0

（ii）若不然，设A>B，则由（i）知在x0的去心邻域内恒有f（x）>g（x），与假设矛盾。

在上面的例子中，第二部分的证明就运用了辩证的思想，对于这种思想，法国数学家阿达玛给出了概括：这种思想在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。

总的来说，数学思想就是数学观念。除了上述三种思想外还有结构的思想、方程与函数的思想、分类讨论的思想、以退求进的思想等。运用这些思想的同时，与其相应的数学方法应运而生。

三、数学方法的含义

数学方法是在数学活动中解决数学问题的具体途径和手段的总称。它的精神实质和理论基础就是前面所述的数学思想。接下来，谈谈具体的数学方法。

（一）公理化方法

所谓公理化方法，就是能系统地总结数学知识、清楚地揭示数学理论基础的方法。恩格斯说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论数学化的一个主要特征。公理化方法不仅在现代数学中广泛应用，而且已经渗透到其它自然科学领域。例如20世纪40年代伟大数学家巴拿赫曾完成了理论力学的公理化。

（二）建立模型法

建立模型法就是数学建模，具体来说就是用数学符号、式子、程序、图形等对实际问题本质的简洁刻画，它能解释某些客观现象，能预测未来的发展规律，能为控制某一现象的发展提供某种最优策略。这种方法应用非常广泛，例如高校选课问题。

例4：某校新学期选课的规定如下，必修课程一门（2学分），限选课程8门，任选课程10门。学分设置情况及课程间的关系如表1所示。

（1）所选课程总学分（包括2个必修学分）不能少于20个学分；

（2）学生每学期选修任选课的比例不能少于所修总学分（包括2个必修学分）的1 / 6，也不能超过所修总学分的1 / 3；

（3）课号为5，6，7，8的课程必须至少选一门；

表1 课程学分及选修要求

■

按如上的规定，学生选课时会思考如下问题。

（1）“为达到要求，本学期最少应该选择几门课？选哪几门课？”

（2）“在选修最少学分（即20学分）的情况下，最多可以选修多少门课？哪几门课？”

解：针对上述情况建立0-1规划模型，具体如下。

（1）用xi表示是否选修的课程i（i=1，2，…，18）；用xi=1表示该课程被选修；xi=0表示该课程未被选修；

（2）若选修课程i时必须同时选修课程j，用xj-xi≥0表示；

（3）限选课5，6，7，8必须至少选一门，用■xi≥1表示；

（4）用变量y1，y2分別表示选修的限选课、任选课的学分数；y表示总的学分（包括2个必修学分）。

对问题（1）建立0-1规划模型如下

min■xi

■

利用Lingo软件求解以上0-1规划，运行结果为：x1=x4=x6=x10=x11=1，其它xi=0，y1=12，y2=6，y=20。即至少要选修5门课，编号为1，4，6，10，11。该整数规划的最优解不唯一。下面通过对变量的约束进行隐枚举给出多组解，得到选课方案见表2。

表2 最优选课方案

■

如上所得最优选课方案有3种，这3种方案所得学分恰好是20。为了得到20学分选5门课程即可。这些结果反映了课程1，2，4，6，10，11，14比较优先考虑。

通过建立相似的数学模型，问题（2）同样可以解决，这里就不详细给出了。

除了上述两种方法之外，在数学教学中常用的方法还有很多。如分析综合法、类比法、参数法、配方法等。针对不同的问题选取合适的方法，对大学数学的教学意义重大。

四、数学思想方法在高等数学教学中的作用

通过上面对数学思想与数学方法地阐述，可清晰地发现，由于一定的数学思想总是通过某种数学方法来实现，而具体的某种数学方法又总是反映一定的数学思想，因此数学思想和数学方法没有严格的界限，从而在数学教学中，人们可以将这两种概念统称为数学思想方法。在大学数学教学中注重数学思想方法的教学，对学生学习数学知识、锻炼各种能力会起到积极的作用，以下从三个方面谈一谈。

（一）注重数学思想方法的教学，使学生更好的掌握数学知识

数学思想方法的教学以数学知识为载体，结合新课程标准的要求，按照认知规律进行整体策划，分阶段、有步骤地进行渗透。同时，在教材的知识结构和教学设计上不断完善数学思想方法的理念，使数学知识与思想方法有机结合起来，形成完整的系统。教师通过教学实践，加深对“数学思想方法”的理解，以便在教学过程中更好地把握教学目标，让学生动手实验，探索发现，合理归纳，揭示出数学概念、原理、规律的本质，从而有利于学生对数学知识的学习。

（二）注重数学思想方法的教学，培养学生的创新能力

新课程标准强调：在数学教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律。以数学知识为主线，以发掘数学思想方法为羽翼，师生合作互动。在这个过程中，通过学生探索与思考、观察与分析，使学生始终处于最佳学习状态，保证施教活动的有效性，使学生自然地达到对数学思想方法的领悟，这样能从根本上培养其认知能力和创新能力。

（三）注重数学思想方法的教学，培养学生的数学思维习惯

学生通过数学思想方法的培养和训练，可以看到活生生的数学知识的来龙去脉，掌握具体的内容，而且也能领会、运用内在的思想方法，从而形成自己的数学思维习惯。

注重数学思想方法的教学，符合当前大学数学教学的发展趋势。正如波利亚强调：在数学教学中“有益的思考方式、应有的思维习惯”应放在教学的首位。加强数学思想方法的教学，必然对提高大学数学教学质量起到积极的作用。

五、总结

本文通过教学中的实际例子，介绍了数学思想与数学方法在大学数学教学中的重要地位。总结了教学中运用到的具体的数学思想和数学方法，通过阐述数学思想方法在学生的学习和能力培养的过程中起到的重要作用，进一步地说明了在大学数学教学中，注重数学的思想和方法所具有的深远意义。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中科技大学出版社，2002.

[2] 陈纪修.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3] 郑宝东.线性代数与空间解析几何[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2000.

[责任编辑：林志恒]