一类奇异三阶两点边值问题正解的存在性

刘瑞宽

（西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州730070）

1 预备知识

三阶微分方程在应用数学和物理等很多学科中有重要的应用,可以描述挠度弯曲的梁,有固定或改变交叉的部分,电磁波的传播和重力驱动等,见文献［1］.近年来,三阶边值问题已受到广泛关注［2-8］.其中,文献［2-3］中运用上下解方法研究了三阶边值问题正解的存在性,文献［5-9］通过降阶法和比较原理研究了三阶两点和多点边值问题正解的存在性.特别地,文献［10］运用Krasnoselskii's不动点定理研究了三阶奇异边值问题

正解的存在性与多解性.文献［11-12］通过讨论相应线性算子第一特征值,给出了三阶两点边值问题的正解存在性结果.受以上文献的启发,本文考虑三阶两点边值问题（1）正解的存在性,其中允许a（t）在t＝0或t＝1处有奇性.通过对相应线性算子第一特征值的讨论,运用不动点指数理论获得当f0、f0、f∞、f∞∈（0,+∞）时正解的存在性结果,对文献［9］结果进行了补充,并且本文得到的结果是最优的.

为了方便,记

本文主要结果的证明基于下面的不动点指数理论.

定理1.1［13］设E是Banach空间,K⊂E为E中的一个锥.假设Ω为E中的有界开集,且T:K∩→K紧,则以下结论成立:

（i） 若存在 u0∈K＼｛θ｝,使得

u-Tu≠τ u0, u∈K∩∂Ω, τ≥0,则不动点指数i（T,K∩Ω,K）＝0.

（ii） 若 u≠τ Tu,u∈K∩∂Ω,τ≥1,则不动点指数 i（T,K∩Ω,K） ＝1.

本文的工作空间是 X:＝｛u∈C［0,1］:u（0）＝u′（0） ＝u″（1） ＝0｝,其在范数下构成 Banach空间.对于∀r＞0,令 Br＝｛u∈C［0,1］:‖u‖ ＜r｝,∂Br＝｛u∈C［0,1］:‖u‖ ＝r｝.定义X 中的锥 K ＝｛u∈X:u（t）≥0,t∈［0,1］｝,显然 K为X中的非负锥.为了得到更好的结果,对于∀0＜τ＜1,定义如下的锥

2 主要结果及证明

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