有界对称域上Ω代数中的Jackson定理

王志军，陈英伟

（河北经贸大学数学与统计学学院，河北石家庄 050061）

在逼近论中，中心逼近定理即为Jackson定理和Bernstein定理，其揭示了插值空间理论和整函数理论的紧密联系.Jackson定理［1］是逼近论中处理函数关于多项式偏差的重要结果.经典的结果主要是在连续函数及周期连续函数，然而，通过全纯扩展或考虑周期连续函数在单位圆盘中的调和延拓，自然会考虑单位圆盘上函数的逼近定理.基于此，Lipschitz函数类中的Jackson定理已拓展到复平面上的Jordan域［2］及单位圆盘上Qp空间［3］中.更多的结果可见文献［1，4－8］.

对于多复函数空间，最近，多复变专家利用向量形式把新的Jackson定理延拓到多圆柱上的一些全纯函数空间［9］，例如Bergman型空间，Hardy空间［10］.笔者也曾推广至另一些空间［11－12］.

令U表示复平面C上的单位圆盘.Sewell考虑了圆盘代数上的多项式逼近A（U）：＝H（U）∩C

定理1［13］对任f∈A（U），k∈N，有

其中Mk为次数不超过k的多项式集.

问题是如何利用高阶光滑模在更广的定义域上建立更广义Jackson定理.

本文中，Ω表示Cn中的有界对称域.本文目的是引入球代数A（Ω）函数空间，拓展了Jackson定理，并得到Lipschitz函数类的正逼近结果.

定义1 代数A（Ω）为Ω中的全纯函数集合且连续开拓至Ω边界，模为

在Ω代数中，函数逼近采用了如下高阶光滑模.

定义2 令χ为Ω上具有半模‖·‖x的函数空间.对任f∈χ，δ＞0，r∈N，f的r阶光滑模

定义3 定义Ek（f，χ）：＝inf‖f－Mk‖χ为最佳多项式逼近，其中下确界取为遍历次数不超过k的多项式集Mk.

本文中，C表示与k和z无关的正常数，不同的地方取值可能不同.

1 多项式逼近

令r∈N∪｛0｝，引入重要积分算子

将作为最佳逼近多项式.这里（φ）为广义Jackson核

证明：对任固定ρ∈（0，1），取变量变换λ＝ρeiφ，可得

对任｜ω｜＜1，由二项展开，易得

注意到第2项在单位圆盘｜λ｜＜1上全纯，由留数定理可知其在｜λ｜＝ρ上积分为0.从第1项可得

易知gm（λ）在单位圆盘上除原点外全纯，由留数定理得

为计算留数，利用f的Taylor展开和二项展开

可得式（2）右侧的Laurent展开

从而

结合式（3）和式（1），知

故

引理2［1］令k，β∈N，

步骤4 计算偏移量小数部分：在上一步的基础上，设置搜索步长0.01，对子带1和子带3进行微调，当对比度达到最大时，停止搜索，得到偏移量的小数值；

1）存在常数Cl，β（k）满足

2）存在常数Cβ满足

引理3［1］设0＜δ，λ＜＋∞，f∈A（U），则

引理4 设0＜δ，λ＜＋∞，f∈A（Ω），则

证明： 对任ζ∈∂Ω，考虑f的slice函数fζ，其中fζ（w）＝f（wζ），w∈U，则引理3可得

由定义2，对任ζ∈∂Ω，ωr（δ，fζ，A（U））≤ωr（δ，f，A（Ω）），

2 偏差估计

由定义，知

定理2 对任k－1∈N，f∈H（Ω），有

证明：对任ρ∈（0，1），由引理1得

其中

从而

其中

易知［14－15］，对任0＜η≤1都存在非负常数C（η）满足：对任h∈H和0＜r＜1，有

在式（5）中取h（λ）＝g（λ，z）并结合式（4），得

需要指出定理2对情况0＜η≤1也是成立的，其一般情况也具有其应用价值.

3 Jackson定理

现在给出本文的主要结果（即A（Ω）中的Jackson定理）如下.

定理3 设f∈A（Ω），则对任k－1，r∈N，有

证明： 对任ζ∈∂Ω，由的定义和定理1知

注意到Ik［f］（z）为次数不超过k－1的多项式.再由引理4（取λ＝k｜φ｜和δ＝1／k）可得

故，

得证.

最后给出球代数空间A（Ω）中的一类子空间具体的Jackson不等式.

定义4Lipschitz型空间Lipγ（A（Ω）），0＜γ≤1，包含所有全纯函数f∈A（Ω）且满足

这里L＞0被称为Lipschitz常数.

易知对任f（z）∈A（Ω）和0＜γ≤1，

推论1 设f∈Lipγ（A（Ω）），则对任k－1∈N，r＝1，有

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