填空题的解题策略

唐榕

填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题类型一般分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题，绝大多数数学填空题是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断，求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”“快”上下功夫.

一、填空题的特点

填空题缺少选择性的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上，但填空题既不用说明理由，又无需书写过程、因而解选择题的有关策略、方法有时也适用于填空题，填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟悉的题目或基本题型、填空题不需写过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误，填空题题小、跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生的准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精确与粗算相结合等计算能力，要想又快又好地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法.

二、填空题的类型

根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：

1. 定量型.要求考生填写数值、数集或数量关系；如，方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段的长度、角度的大小等等；由于填空题和选择题相比，缺少选择性的信息，所以高考中多数是以定量型问题出现.

2.定性型.要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质.如，给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等，近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.

三、填空题解题的原则及方法

解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高，更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”，为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.

常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法、构造法、特征分析法、创新型的填空题解法等.

四、范例分析

1 .直接法

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.

2.特殊化法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊点、图形特殊位置、特殊方程、特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论，这样可以大大地简化推理、论证的过程.

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果，数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来，这种思想是近年来高考热点之一，也是解决数学填空题的一种重要策略.

4.等价转化法

通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”，将问题等价转化成便于解决的问题，从现时得出正确的结果.

例4.如果关于 的方程 的正实数解有且仅有一个，则实数 的取值范围是________________；

解：方程 可化成 ，令 ，即方程 在 上有且只有一解，因而作出函数 ，使得 与 图象有且仅有一个交点，由 得 ，可知函数在 为增函数，在 为减函数，作出图象易得 或

5.构造法

根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.

例5.已知函数 是定义在R上的奇函数， 有 成立， ，则不等式 的解集为_____________；

解：因为 ，构造函数 ，因为 ，所以 在 上为偶函数，

由于 时有 ，即 在 为减函数，所以 在 为增函数，由 得： ，不等式 即是 ，也就是 ，所以所求解集是

6. 特征分析法

根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.

例6.如果函数 ，

则 =_______；

解：易求 ，分别对 赋值为1，2，3，4即可得结果为 .

7. 几种创新题型

例7.教师给出一个函数 ，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的性质：甲：对于 ，都有 ；乙：在 为单调减函数；丙：在 为单调增函数；丁： 不是函数的最小值，如果其中恰有三个说得正确，请写出一个这样的函数___________；

解：比如 ；

例8.定义一种运算“ ”，对于正整数 满足以下运算性质： ，则 用 的代数式表示为__________；

解：记 则 ， 即

[江西省樟树市樟树中学 （331200）]