一种思维规律在高中数学教学中的运用

麻昌义

【摘 要】在高中数学教学中，特殊与一般是相辅相成的，一般中包含着特殊，特殊也常常寓于一般，在求解一个特殊问题时，不要就题论题，应尽可能抓做其结论，或方法作些推广，而在求解一个一眼不能望穿的一般问题时，则常需要从特殊中去寻求方法与思路，对一个问题，既要考虑一般性的方法，以适应解一类题，又要根据问题的具体特点，给出一些简单、巧妙的解法进行这方面训练、思路会更灵活，路会更多样。

【关键词】思维规律 数学教学 特殊与一般

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.05.069

特殊与一般是相辅相成的一种思维规律，一般中包含着特殊，特殊也常常寓于一般，在求解一个特殊问题时，不要就题论题，应尽可能抓做其结论，或方法作些推广，而在求解一个一眼不能望穿的一般问题时，则常需要从特殊中去寻求方法与思路，对一个问题，既要考虑一般性的方法，以适应解一类题，又要根据问题的具体特点，给出一些简单、巧妙的解法进行这方面训练、思路会更灵活，路会更多样。

一、从特殊绝对不能肯定一般吗？

肯定一个全称命题，通常须给予证明，不能采用举例办法，但是否对任何问题都不能用特殊来肯定一般呢？也不是，对选择题，对一般情况正确的结论，对特殊情况必然正确（注意只有一个答案是正确情形）。

例1：数列1， 前n项和等于（ ）

A、 B、 C、 D、2

一般思路是先考虑通项an= ，后用裂项相消，其实只需令n=1便可排除A、C、D而选B。

例2：过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与QF的长度分别是p、q，则 等于（ ）

A、2a B、 C、4a D、

考虑过焦点的一条垂直于对称轴的特殊直线，并由抛物线定义不难解得选C，否则就小题大做了。

例3：已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（ ）

A、b∈（-∞，0） B、b∈（0，1） C、b∈（1，2） D、b∈（2，+∞）

取特殊函数f（x）=x（x-1）（x-2）展开比较得b=-3<0，故选A。

例4：函数f（x）=Msin（wx+φ）（w>0）在区间[a b]是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M则函数g（x）=Mcos（wn+φ）在区间[a b]

A、可以是增函数 B、是减函数

C、可以取得最大值M D、可以取得最小值-M

略析：取w=1，φ=1，则[a，b]可视为[ ， ]，由f（x）=Msinx，g（x）=Mcos，x∈[ ， ]，易得x=0时，g（x）取得最大值M，不可能取得-M，g（x）在此区间既不是增函数，也不是减函数，选C。

二、特殊问题一般化

数学中的（不必数学）许多发现发明都是从特殊问题开始，而后一般化而得到的、学习的时候，应深刻领会概念、定义和定理的本质，尽力弄清它们与周围知识之间的联系，下面举二个事例，作些推广和深化。

例5：已知数列 计算s1，s2，s3，由此推测出Sn的公式，然后用数学归纳法证明这个公式。

我们把这个题改为求和

，大部份学生都采取折项相消得出了结论，本题可否伸展开去呢？

对于圆x2+y2=R2，设P（x0，y0）为坐标面的一点，当点P在圆上时，有x02+y02=R2点P在圆外时，有x02+y02>R2，点P（x0，y0）在圆内有x02+y02

则有（1）点P在椭圆内部时有

（2）点P在椭圆外部时有

（3）点P在椭圆上时有

运用这些结论处理问题就容易了。

三、一般问题从特殊开始

事实上，数学上的许多一般结论都是从一些简单的事实，经过抽象、概括、归纳、推广而得到的。因此，在求解某些问题时常采用先退为进的办法，从特殊事例开始去寻找思路、途径。

例6：如果a1，a2…an都是小于1的函数，而b1，b2…bn是这些数的某一种排列，那么所有的数（1-a1）b1，（1-a2）b2…（1-an）bn，不可能都大于 。

分析：先考虑特殊情况

因乘法满足交换律，故有：

0<（1-a1）b1（1-a2）b2…（1-an）bn=（1-a1）a1（1-a2）a2…（1-an）an≤（ ）n

显然，不可能n个因式都大于 。