例析中考中的开放探究型试题

玉荣参

随着课程改革的全面推进，运用数学开放性试题来培养学生的创新意识和能力，已成为教改的热点，近几年的中考试卷中，出现了大量符合学生的年龄特点和认知水平、设计优美、个性独特的开放题，此类试题越来越备受命题者的青睐，对同学们的综合素质要求也比较高，可以基础性试题，也有综合性的试题，在中考中所占比例在9%左右。为了突破这一障碍，笔者经过多年教学实践与研究，现结合中考命题的经验，以中考试题为例，对开放探究型试题进行剖析，以求对教学有所启迪和帮助。

一、条件开放型问题

【例1】 如图1，点B、F、C、E在同一条直线上，并且BF=CE，∠B=∠E。

（1）请你添加一个条件（不再添加辅助线），使ΔABC≌ΔDEF，你添加的条件是 。

（2）添加了条件后，证明ΔABC≌ΔDEF。

（2011年广西壮族自治区南宁市中考题）

评析：在ΔABC和ΔDEF中，已有BF=CE，∠B=∠E。若根据“SAS”判定，则可添加AB=DE；若根据“ASA”判定，则可添加∠ACB=∠DFE；若根据“AAS”判定，则可添加∠A=∠D。

解题思路点拨：在本题中，需要注意的是，三角形的判定条件中没有“边边角”，所以不能添加AC=DF。

对于本例这类“添加条件”型开放题，要根据相关的定义、定理等，结合已给出的条件，寻求应添加的条件。解决这样的问题的一般思路是从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件，或把可能产生结论的条件一一列出，逐个解析。

【例2】 在同一个平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是。（写出一个符合条件的即可）

评析：反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点，也就是由反比例函数与一次函数组成的方程组无解。

解题思路点拔：求两个函数图象的交点问题时，往往将这两个函数的解析式构成方程组进行求解。

二、结论开放型问题

【例3】抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图2所示，请写出两个与抛物线的解析式或图象相关的正确结论： ，。（对称轴，图象与x轴正半轴、y轴交点坐标除外）

评析：我们可以从求bb，c的值，顶点坐标，与x轴负半轴的交点，抛物线的增减性，二次函数与一元二次方程的联系等方面去寻找结论。

解题思路点拔：解答这类结论开放探究型问题时，要全面审视图形所呈现的信息，并从图象的特征及性质出发进行思考与探索，同时，要注意所得结论应符合题目的要求。

【例4】图3、图4是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上。

（1）在图3中画出ΔABC（点C在小正方形的顶点上），使ΔABC为直角三角形。（画一个即可）

（2）在图4中画出ΔABD（点D在小正方形的顶点上），使ΔABD为等腰三角形。（画一个即可）

评析：答案不唯一。

（1）因为横、竖网格线是互相垂直，所以沿着过点A、B的网格线画边长即可，所画直角三角形如图5、图6，任意一个即可。

根据勾股定理，得AB=5，所以可根据勾股定理的逆定理，找一组对应边长画直角三角形。因为52=()2+()2，所以另两边长可画成和，所画三角形如图7、图8。

（2）因为AB=5，所以再画一条长为5的边即可得到等腰三角形，所画三角形如图9至图12，任意画一个即可。

解题思路点拨：本题是方案设计类开放题，这类试题答案往往不唯一，相同边长的正方形网格，是研究图形性质的很好的载体，如果线段在网格上，可以通过数网格得到线段的长度，如果线段不在网格线上，还需要结合勾股定理解决问题。画格点三角形的关键是画格点线段，要先根据已知条件运用勾股定理得出三角形各边的长。

三、存在性探索型问题

【例5】如图13，已各抛物线经过点A（-2，0）、B（-3，3）及原点O，顶点为C。

（1）求抛物线的函数解析式。

（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，以点A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，且以AO为边，求点D的坐标。

（3）P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与ΔBOC相似？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由。

评析：（1）由于抛物线经过A（-2，0）、B（-3，3）及原点O，用待定系数法即可求出抛物线的解析式。

（2）根据平行四边形 “对边平行且相等” 的性质，讨论点D在对称轴x=-1左右两侧的两种情况，可以求出点D的坐标。

（3）假设存在使ΔPMA与ΔBOC相似的点P。事先说明ΔBOC是直角三角形，再分两种情况讨论，①ΔAMP∽ ΔBOC，②ΔPMA∽ΔBOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标。

解题思路点拨：对于存在性探索型问题，解题的思路通常是先假设存在，然后按照题意进行合情推理或计算，最后看能得出合理的结论还是矛盾的结果。若是合理的结论，则说明存在；若是矛盾的结果，则说明不存在。

四、结束语

综上所述，中考中的开放探究型试题，不仅涉及的知识点丰富，形式多样，难度也不尽相同，既有基础性试题，也有综合性的试题。同时，又能让学生明晰一类题型的解题思路、方法和技巧，也提升了教师自身研题和教学的能力。我们虽然反对“题海战术”，但不应轻视数学解题研究，尤其是对学生困惑问题的研究，我们要把解题上升到研题、编题，培养学生的建模能力，让学生知其然，知其所以然。