谈高中函数中的奇偶性和对称性

汤珠峰

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是高中数学的基础.函数的性质是高考的重点与热点，函数的性质中奇偶性、对称性则是函数的两个基本性质，也是学生学习的重点.大家知道，函数的奇偶性具有对称关系，而对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.

在苏教版的教材中，关于函数对称性的介绍是通过函数的奇偶性来引入的.这也是在研究这类问题时，要有机地将两者结合起来的原因.因此诸如函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b等类似的结论都不能直接使用.所以在教学及解题中，就应当引导学生从函数的奇偶性出发，去判断一个函数是否能关于某个点或是某条直线对称，帮助学生正确面对问题，找到解决问题的有效途径.

【例题】（2013年上海市春季高考数学试题）已知真命题：“函数y=f（x）的图像关于点P（a、b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”.

（1）将函数g（x）=x3-3x2的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图像对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数y=f（x）的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）.

分析：函数图像的平移，对于学生来说是从初中认识二次函数的图像就已经掌握的一个重要知识点.结合奇函数关于原点对称的特点，学生应该很容易理解题设的正确性.

解析：（1）通过平移容易得到所求函数的解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2.

由题设可知，对称中心的研究可以归结为研究原来函数是否为奇函数或者是如何将原函数看做某个奇函数通过适当的平移变换得到的.这就要求学生对于一些常见的奇函数的例子必须清楚，如仅含奇数次的多项式函数、正弦函数、正切函数等.由题发现，研究的对象是一个多项式函数，要使其成为奇函数，就必须只留下奇数次的项.

因此，假设g（x）=x3-3x2经过适当平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b.

由以上讨论可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2.从而g（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称.

由上面的证明方法，我们可以得到一个关于三次函数的重要结论：

三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是关于点对称，且对称中心为点（-b13a，f（-b13a））.

（2）同（1），假定经过适当平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此时要求该函数为一奇函数.由不等式2x+2a14-a-x>0的解集关于原点对称，得a=2.此时f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）.任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标是（2，1）.

（3）此命题是假命题.

举反例说明.因为函数f（x）=x的图像关于直线y=-x成轴对称图像，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数.

修改后的真命题“函数y=f（x）的图像关于直线x=a成轴对称图像”的充要条件是“函数y=（x+a）是偶函数”.

接着，我们回到一开始给出的常用结论，函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b，这个结论可以用上面的方法加以证明.

分析：只需构造函数y=f（x+a）-b，说明它是一个奇函数.

证明：由条件可知，f（x+a）+f（2a-x-a）=2b，即（f（x+a）-b）+（f（a-x）-b）=0，由奇函数的定义可知，函数f（x+a）-b为奇函数.于是函数y=f（x）关于点A（a，b）对称.

关于函数对称性问题的考查，在2013年的各省市高考试题中出现很多，应该引起大家重视.

【例1】（2013年高考新课标1（理））若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是.

解析：因为函数的图像关于直线对称，所以函数为偶函数为偶函数，因为函数，

所以为偶函数，所以，所以，从而，所以.令，得或或，根据单调性可得当时，取到最大值为.

【例2】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数，下列结论中错误的是：

A.的图像关于中心对称

B.的图像关于直线对称

C.的最大值为

D.既奇函数，又是周期函数.

解析：对于选项（A）：，显然是个奇函数，所以的图像关于中心对称；对于选项（B）：是偶函数，所以的图像关于直线对称.

（责任编辑黄桂坚）endprint

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是高中数学的基础.函数的性质是高考的重点与热点，函数的性质中奇偶性、对称性则是函数的两个基本性质，也是学生学习的重点.大家知道，函数的奇偶性具有对称关系，而对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.

在苏教版的教材中，关于函数对称性的介绍是通过函数的奇偶性来引入的.这也是在研究这类问题时，要有机地将两者结合起来的原因.因此诸如函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b等类似的结论都不能直接使用.所以在教学及解题中，就应当引导学生从函数的奇偶性出发，去判断一个函数是否能关于某个点或是某条直线对称，帮助学生正确面对问题，找到解决问题的有效途径.

【例题】（2013年上海市春季高考数学试题）已知真命题：“函数y=f（x）的图像关于点P（a、b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”.

（1）将函数g（x）=x3-3x2的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图像对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数y=f（x）的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）.

分析：函数图像的平移，对于学生来说是从初中认识二次函数的图像就已经掌握的一个重要知识点.结合奇函数关于原点对称的特点，学生应该很容易理解题设的正确性.

解析：（1）通过平移容易得到所求函数的解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2.

由题设可知，对称中心的研究可以归结为研究原来函数是否为奇函数或者是如何将原函数看做某个奇函数通过适当的平移变换得到的.这就要求学生对于一些常见的奇函数的例子必须清楚，如仅含奇数次的多项式函数、正弦函数、正切函数等.由题发现，研究的对象是一个多项式函数，要使其成为奇函数，就必须只留下奇数次的项.

因此，假设g（x）=x3-3x2经过适当平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b.

由以上讨论可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2.从而g（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称.

由上面的证明方法，我们可以得到一个关于三次函数的重要结论：

三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是关于点对称，且对称中心为点（-b13a，f（-b13a））.

（2）同（1），假定经过适当平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此时要求该函数为一奇函数.由不等式2x+2a14-a-x>0的解集关于原点对称，得a=2.此时f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）.任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标是（2，1）.

（3）此命题是假命题.

举反例说明.因为函数f（x）=x的图像关于直线y=-x成轴对称图像，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数.

修改后的真命题“函数y=f（x）的图像关于直线x=a成轴对称图像”的充要条件是“函数y=（x+a）是偶函数”.

接着，我们回到一开始给出的常用结论，函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b，这个结论可以用上面的方法加以证明.

分析：只需构造函数y=f（x+a）-b，说明它是一个奇函数.

证明：由条件可知，f（x+a）+f（2a-x-a）=2b，即（f（x+a）-b）+（f（a-x）-b）=0，由奇函数的定义可知，函数f（x+a）-b为奇函数.于是函数y=f（x）关于点A（a，b）对称.

关于函数对称性问题的考查，在2013年的各省市高考试题中出现很多，应该引起大家重视.

【例1】（2013年高考新课标1（理））若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是.

解析：因为函数的图像关于直线对称，所以函数为偶函数为偶函数，因为函数，

所以为偶函数，所以，所以，从而，所以.令，得或或，根据单调性可得当时，取到最大值为.

【例2】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数，下列结论中错误的是：

A.的图像关于中心对称

B.的图像关于直线对称

C.的最大值为

D.既奇函数，又是周期函数.

解析：对于选项（A）：，显然是个奇函数，所以的图像关于中心对称；对于选项（B）：是偶函数，所以的图像关于直线对称.

（责任编辑黄桂坚）endprint

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是高中数学的基础.函数的性质是高考的重点与热点，函数的性质中奇偶性、对称性则是函数的两个基本性质，也是学生学习的重点.大家知道，函数的奇偶性具有对称关系，而对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.

在苏教版的教材中，关于函数对称性的介绍是通过函数的奇偶性来引入的.这也是在研究这类问题时，要有机地将两者结合起来的原因.因此诸如函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b等类似的结论都不能直接使用.所以在教学及解题中，就应当引导学生从函数的奇偶性出发，去判断一个函数是否能关于某个点或是某条直线对称，帮助学生正确面对问题，找到解决问题的有效途径.

【例题】（2013年上海市春季高考数学试题）已知真命题：“函数y=f（x）的图像关于点P（a、b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”.

（1）将函数g（x）=x3-3x2的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图像对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数y=f（x）的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）.

分析：函数图像的平移，对于学生来说是从初中认识二次函数的图像就已经掌握的一个重要知识点.结合奇函数关于原点对称的特点，学生应该很容易理解题设的正确性.

解析：（1）通过平移容易得到所求函数的解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2.

由题设可知，对称中心的研究可以归结为研究原来函数是否为奇函数或者是如何将原函数看做某个奇函数通过适当的平移变换得到的.这就要求学生对于一些常见的奇函数的例子必须清楚，如仅含奇数次的多项式函数、正弦函数、正切函数等.由题发现，研究的对象是一个多项式函数，要使其成为奇函数，就必须只留下奇数次的项.

因此，假设g（x）=x3-3x2经过适当平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b.

由以上讨论可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2.从而g（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称.

由上面的证明方法，我们可以得到一个关于三次函数的重要结论：

三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是关于点对称，且对称中心为点（-b13a，f（-b13a））.

（2）同（1），假定经过适当平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此时要求该函数为一奇函数.由不等式2x+2a14-a-x>0的解集关于原点对称，得a=2.此时f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）.任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标是（2，1）.

（3）此命题是假命题.

举反例说明.因为函数f（x）=x的图像关于直线y=-x成轴对称图像，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数.

修改后的真命题“函数y=f（x）的图像关于直线x=a成轴对称图像”的充要条件是“函数y=（x+a）是偶函数”.

接着，我们回到一开始给出的常用结论，函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b，这个结论可以用上面的方法加以证明.

分析：只需构造函数y=f（x+a）-b，说明它是一个奇函数.

证明：由条件可知，f（x+a）+f（2a-x-a）=2b，即（f（x+a）-b）+（f（a-x）-b）=0，由奇函数的定义可知，函数f（x+a）-b为奇函数.于是函数y=f（x）关于点A（a，b）对称.

关于函数对称性问题的考查，在2013年的各省市高考试题中出现很多，应该引起大家重视.

【例1】（2013年高考新课标1（理））若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是.

解析：因为函数的图像关于直线对称，所以函数为偶函数为偶函数，因为函数，

所以为偶函数，所以，所以，从而，所以.令，得或或，根据单调性可得当时，取到最大值为.

【例2】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数，下列结论中错误的是：

A.的图像关于中心对称

B.的图像关于直线对称

C.的最大值为

D.既奇函数，又是周期函数.

解析：对于选项（A）：，显然是个奇函数，所以的图像关于中心对称；对于选项（B）：是偶函数，所以的图像关于直线对称.

（责任编辑黄桂坚）endprint