学生在学习万有引力与重力关系后产生的疑惑和悖论

龙辉

在进行万有引力与重力的关系的教学后，笔者发现学生的理解产生了悖论，这值得我们探讨。

一、万有引力与重力关系的教学

由于地球的自转，地球上的物体随地球自转而绕相对应的地轴做圆周运动，如右图1，质量为m的物体绕O′点做半径为r的圆周运动，万有引力F万的一个分力充当自转所需的向心力F1，另一分力就是重力F2，θ角为纬度角，由此我们可以得到如下结论：

任意处：mg=■（其中r=Rcosθ）

1.重力是万有引力的一个分力，另一分力作物体随地球自转的向心力，除两极和赤道外，重力的方向不指向地心，而是与地球的半径方向有个夹角。在纬度θ=45°时重力偏离地球半径方向最大，大约是6′，重力方向称为竖直向下。

2.同一物体重力的大小随物体所在纬度的变化而变化，纬度θ变大，向心力F1=mω■■r变小，重力F2变大，两极点自转所需的向心力为0，因此重力最大等于万有引力，也就是说重力加速度g随纬度的升高而变大。

3.根据地球的半径和自转实际，物体所需自转的向心力较小（角速度ω0较小，向心加速度较小），最大向心加速度a=ω■■r=0.034m/s2，大约为重力加速度的3.5‰。由于mω■■r远小于mg，所以有：mg=■（俗称黄金代换）。

二、学生产生的疑惑和悖论

1.地面上的物体和悬挂的物体所受的支持力和拉力为什么等于重力呢？

2.如果说地面上的物体随地球自转，上面的分析成立，然而空中飞行的小鸟、抛出的石头、加速飞行的火箭等已经不和地球一起转了，上面的分析就应该不成立了。

3.赤道上的物体受到的重力计算式为：■-mω■■R=mg，根据公式，当地球自转速度达到一定的时候，mg=0，也就是说重力消失了。

三、解决疑惑和悖论

问题1：如果我们把图1改为图2，分析问题就好解决了：由受力分析得物体受万有引力F万和支持力N。由于物体随地球自转，做匀速圆周运动需要向心力。万有引力F万的一个分力F向提供，而另一个分力就是mg，即有N=mg。把N改为绳子张力T，即得T=mg。

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悖论2：

（1）对于地球附近空中的物体而言，可以看图3所示，物体在空中的一个分运动与地球自转同步，因此万有引力的一个分力提供物体随地球自转的向心力，而另一个分力就是重力。因为此时没有支撑物，所以物体在竖直方向上的合力就是mg。根据公式mg=■，就好解释g随高度的增加减小。而物体在竖直方向的合力就是mg，由于在地面附近公式■，h相对R很小而且h变化很小，这时可以把g看作恒量，于是物体在竖直方向上做自由落体及平抛运动、斜抛运动、加速运动等。

悖论3：在赤道上的物体如图4所示，由受力分析得物体受万有引力F万和支持力N。万有引力F万分解为重力和向心力，然而重力和向心力在一条直线上，同理有■-mω■■R=mg，有N=mg。

（2）如图5所示：我们从公式■-mω■■R=mg可知，如果地球的自转角速度越来越大，那么重力就会越来越小。当■=mω■■R时，我们说物体将漂起来了。这时的重力消失了吗？我们要知道重力与万有引力有区别是因为地球的自转。当物体不随地球自转时，重力就是万有引力。

如图6所示，高空围绕地球运转的卫星、空间站等所需的向心力就是万有引力提供的。这个状态下，重力就是万有引力。

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在进行万有引力与重力的关系的教学后，笔者发现学生的理解产生了悖论，这值得我们探讨。

一、万有引力与重力关系的教学

由于地球的自转，地球上的物体随地球自转而绕相对应的地轴做圆周运动，如右图1，质量为m的物体绕O′点做半径为r的圆周运动，万有引力F万的一个分力充当自转所需的向心力F1，另一分力就是重力F2，θ角为纬度角，由此我们可以得到如下结论：

任意处：mg=■（其中r=Rcosθ）

1.重力是万有引力的一个分力，另一分力作物体随地球自转的向心力，除两极和赤道外，重力的方向不指向地心，而是与地球的半径方向有个夹角。在纬度θ=45°时重力偏离地球半径方向最大，大约是6′，重力方向称为竖直向下。

2.同一物体重力的大小随物体所在纬度的变化而变化，纬度θ变大，向心力F1=mω■■r变小，重力F2变大，两极点自转所需的向心力为0，因此重力最大等于万有引力，也就是说重力加速度g随纬度的升高而变大。

3.根据地球的半径和自转实际，物体所需自转的向心力较小（角速度ω0较小，向心加速度较小），最大向心加速度a=ω■■r=0.034m/s2，大约为重力加速度的3.5‰。由于mω■■r远小于mg，所以有：mg=■（俗称黄金代换）。

二、学生产生的疑惑和悖论

1.地面上的物体和悬挂的物体所受的支持力和拉力为什么等于重力呢？

2.如果说地面上的物体随地球自转，上面的分析成立，然而空中飞行的小鸟、抛出的石头、加速飞行的火箭等已经不和地球一起转了，上面的分析就应该不成立了。

3.赤道上的物体受到的重力计算式为：■-mω■■R=mg，根据公式，当地球自转速度达到一定的时候，mg=0，也就是说重力消失了。

三、解决疑惑和悖论

问题1：如果我们把图1改为图2，分析问题就好解决了：由受力分析得物体受万有引力F万和支持力N。由于物体随地球自转，做匀速圆周运动需要向心力。万有引力F万的一个分力F向提供，而另一个分力就是mg，即有N=mg。把N改为绳子张力T，即得T=mg。

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悖论2：

（1）对于地球附近空中的物体而言，可以看图3所示，物体在空中的一个分运动与地球自转同步，因此万有引力的一个分力提供物体随地球自转的向心力，而另一个分力就是重力。因为此时没有支撑物，所以物体在竖直方向上的合力就是mg。根据公式mg=■，就好解释g随高度的增加减小。而物体在竖直方向的合力就是mg，由于在地面附近公式■，h相对R很小而且h变化很小，这时可以把g看作恒量，于是物体在竖直方向上做自由落体及平抛运动、斜抛运动、加速运动等。

悖论3：在赤道上的物体如图4所示，由受力分析得物体受万有引力F万和支持力N。万有引力F万分解为重力和向心力，然而重力和向心力在一条直线上，同理有■-mω■■R=mg，有N=mg。

（2）如图5所示：我们从公式■-mω■■R=mg可知，如果地球的自转角速度越来越大，那么重力就会越来越小。当■=mω■■R时，我们说物体将漂起来了。这时的重力消失了吗？我们要知道重力与万有引力有区别是因为地球的自转。当物体不随地球自转时，重力就是万有引力。

如图6所示，高空围绕地球运转的卫星、空间站等所需的向心力就是万有引力提供的。这个状态下，重力就是万有引力。

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在进行万有引力与重力的关系的教学后，笔者发现学生的理解产生了悖论，这值得我们探讨。

一、万有引力与重力关系的教学

由于地球的自转，地球上的物体随地球自转而绕相对应的地轴做圆周运动，如右图1，质量为m的物体绕O′点做半径为r的圆周运动，万有引力F万的一个分力充当自转所需的向心力F1，另一分力就是重力F2，θ角为纬度角，由此我们可以得到如下结论：

任意处：mg=■（其中r=Rcosθ）

1.重力是万有引力的一个分力，另一分力作物体随地球自转的向心力，除两极和赤道外，重力的方向不指向地心，而是与地球的半径方向有个夹角。在纬度θ=45°时重力偏离地球半径方向最大，大约是6′，重力方向称为竖直向下。

2.同一物体重力的大小随物体所在纬度的变化而变化，纬度θ变大，向心力F1=mω■■r变小，重力F2变大，两极点自转所需的向心力为0，因此重力最大等于万有引力，也就是说重力加速度g随纬度的升高而变大。

3.根据地球的半径和自转实际，物体所需自转的向心力较小（角速度ω0较小，向心加速度较小），最大向心加速度a=ω■■r=0.034m/s2，大约为重力加速度的3.5‰。由于mω■■r远小于mg，所以有：mg=■（俗称黄金代换）。

二、学生产生的疑惑和悖论

1.地面上的物体和悬挂的物体所受的支持力和拉力为什么等于重力呢？

2.如果说地面上的物体随地球自转，上面的分析成立，然而空中飞行的小鸟、抛出的石头、加速飞行的火箭等已经不和地球一起转了，上面的分析就应该不成立了。

3.赤道上的物体受到的重力计算式为：■-mω■■R=mg，根据公式，当地球自转速度达到一定的时候，mg=0，也就是说重力消失了。

三、解决疑惑和悖论

问题1：如果我们把图1改为图2，分析问题就好解决了：由受力分析得物体受万有引力F万和支持力N。由于物体随地球自转，做匀速圆周运动需要向心力。万有引力F万的一个分力F向提供，而另一个分力就是mg，即有N=mg。把N改为绳子张力T，即得T=mg。

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悖论2：

（1）对于地球附近空中的物体而言，可以看图3所示，物体在空中的一个分运动与地球自转同步，因此万有引力的一个分力提供物体随地球自转的向心力，而另一个分力就是重力。因为此时没有支撑物，所以物体在竖直方向上的合力就是mg。根据公式mg=■，就好解释g随高度的增加减小。而物体在竖直方向的合力就是mg，由于在地面附近公式■，h相对R很小而且h变化很小，这时可以把g看作恒量，于是物体在竖直方向上做自由落体及平抛运动、斜抛运动、加速运动等。

悖论3：在赤道上的物体如图4所示，由受力分析得物体受万有引力F万和支持力N。万有引力F万分解为重力和向心力，然而重力和向心力在一条直线上，同理有■-mω■■R=mg，有N=mg。

（2）如图5所示：我们从公式■-mω■■R=mg可知，如果地球的自转角速度越来越大，那么重力就会越来越小。当■=mω■■R时，我们说物体将漂起来了。这时的重力消失了吗？我们要知道重力与万有引力有区别是因为地球的自转。当物体不随地球自转时，重力就是万有引力。

如图6所示，高空围绕地球运转的卫星、空间站等所需的向心力就是万有引力提供的。这个状态下，重力就是万有引力。

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