一种特殊的布拉格型声子晶体杆振动带隙研究

舒海生，张 法，刘少刚，高恩武，李世丹，董立强

（哈尔滨工程大学 机电工程学院702所，哈尔滨 150001）

周期结构被广泛地应用在工程结构中，与之相关的减振降噪研究受到了众多研究者的关注。在对周期结构振动研究中发现，其特有的“天然”振动带隙特性为振动隔离提供了一种新思路。类似地，近年来提出的声子晶体本质上也是一种周期结构，一般是指弹性常数及密度周期分布的材料［1］，对声子晶体的研究主要集中在带隙形成机理和计算方法等领域，研究对象主要为杆、板、壳以及旋转类结构等［2－7］，这些研究对象相对简单，对于工程中常见的组合式结构研究较少［8－9］。建筑和桥梁工程中常见钢结构往往是通过组合式的杆或梁来承载的，其基本单元一般可简化为双联角杆或三联T型杆；机械结构中也常常采用组合杆，例如T型助力机械手，此外医用救护车担架的支架、汽车保险杠、飞机尾翼中也常常见到组合杆结构。振动在该类结构中的传播特性与单杆显然是不同的。在我们前期对基于声子晶体思想的双联角杆与T型杆的振动特性的研究基础上［10－11］，本文进一步针对布拉格型声子晶体T形杆，将不同弹性常数的两种材料周期交替地连接在一起，通过传递矩阵法构造波传播模型，推导了有限周期T形杆的振动传递函数；同时利用有限元法仿真分析了振动传输特性，并对理论和仿真结果进行了对比，面内和面外振动分析结果表明，声子晶体T形杆对振动波的衰减能力优于单一材料杆，具有明显的多维宽频减振特性，从而为工程中的组合杆支撑结构的减振问题提供了一种新的设计思路。

1 布拉格型声子晶体T形杆

如图1（a）所示为布拉格型T形杆示意图，材料A、B周期交替联接，该组合杆可视为由三根单杆通过连接块组合而成，将三杆编号为a、b、c，并在其起始端分别构建坐标系。a＝a1＋a2为晶格常数，a1、a2分别表示两种材料的长度；周期数为n。杆的横截面为矩形，长宽分别设为b、h。

图1 布拉格型声子晶体T形杆振动分析Fig．1 PCT vibration analysis

如图1（b）所示，当在T形杆a端施加垂直纸面的弯曲振动激扰时，振动波会沿a杆通过连接块传递到b和c杆，当其通过连接块时弯曲波会发生弯扭耦合效应。如图中A向所示，当垂直于纸面的弯曲振动传播到连接块与材料B接触的截面时，会对连接块截面微元产生弯矩，使截面产生微小形变，这种形变会对b杆产生一定的扭转角，a杆上传递弯曲形变对b杆起始端产生了扭转变形，a杆所受弯矩转变为b杆的扭矩。

2 T形杆面外振动分析

在a端施加z向的振动激励，则面外弯曲波沿杆方向传播，在三杆的结合处由弹性波的连续传播性可以得到2个条件：杆a末端位移＝杆b始端位移、杆a末端剪力＝杆b始端剪力；同时根据这种耦合传播效应，在连接处会得到以下4个协调条件：杆a末端转角＝杆b始端扭转角、杆a末端的扭转角＝杆b始端转角、杆a末端弯矩＝杆b始端扭矩、由于T形杆的对称性杆a末端的扭矩＝2倍的杆b始端弯矩，上述协调关系可用矩阵形式表为：

式中：

其中脚标第一个字母表示周期数，第二个字母表示材料种类1表示材料A，2表示材料B，上标表示杆。E为杨氏模量，G为剪切模量，I为截面惯性矩，Ip为截面极惯性矩，α＝ω／c，c为扭转振动波在某种介质中的传播速度 c2＝G／ρ，λ4＝ρAω2／EI，A为截面面积，ω为角频率，j为虚数单位。其中：

同理，当弯曲波在杆中传播到第n周期材料A与材料 B交界面时，x＝（n－1）a＋a1，即 x′＝a1，由结合处的连续性可得位移、转角、弯矩、剪力、扭角及扭矩的

传递矩阵：

式中各参数含义同上，其中：

同理，在第n－1周期与第n周期交界面，即在x＝（n－1）a处，对于第n－1周期的材料B来说，x′＝a，对于第n周期的材料A来说x′＝0，类似地，传递矩阵可表为：

其中：

由式（2）、（3）可得弯曲波第n周期和第n－1周期之间的传递关系：

式中 T′＝（K2）－1H2（H1）－1K1为单杆传递矩阵。

由式（1）、（2）及式（4）可得：

式中T形杆的总传递矩阵为：

T＝（H1）－1K1（T′）n－1（K0）－1H0（H1）－1K1（T′）n－1，其中n为T形杆周期数。

当在a杆的下端加载振幅为u0的宽频激励，b杆末端为自由时，其边界条件可写为：a杆始端位移＝μ0、a杆始端转角＝0、a杆始端扭转角＝0、b杆末端弯矩＝0、b杆末端剪力＝0、b杆末端扭矩＝0。以矩阵形式可表为式（6）、（7）：

将式（5）代入到式（7），并将所得矩阵与式（6）合并，可得：

式中：

b杆的末端振动幅值可表示为：

将式（5）代入上式，可得：

以分贝表示的振动衰减量即可写为：

根据以上推导过程，分别在MATLAB和ANSYS环境下进行了数值分析和仿真计算，其中材料A设定为有机玻璃，材料B设为铝，其它参数参见表1。

在a端施加垂直T型杆平面的弯曲振动激励，其传输特性如图2所示，其中（a）为数值计算所得频响函数曲线图，（b）为仿真计算所得频响函数曲线，实线和虚线分别表示声子晶体T形杆和单一材料T形杆对面外弯曲振动的衰减值，点划线表示输入激扰。从图（b）中可以看出，实线所表示的布拉格型声子晶体T形杆对于输入激扰振动的衰减性能明显优于单一材料构成的T形杆。

对比（a）和（b）两图可以发现数值计算结果与仿真计算结果基本吻合，在0～8 000 Hz范围内出现了多个振动带隙，其中存在两个较大的振动带隙即衰减区域，第一个带隙的起止频率为1 520～3 260 Hz，最大衰减值达60 dB；第二个带隙的起止频率为4 580～6 780 Hz，最大衰减值达44 dB，带隙最大跨度可达2 200 Hz。同时在0～1 500 Hz范围内出现三个较窄的衰减区域，平均衰减值为20 dB左右，因此T形杆对于中低频段的振动也具有一定的减振性能。

表1 T形杆材料和结构参数Tab．1 The Material and Structural parameters of T－type rod

图2 布拉格型T形杆面外振动频率响应函数曲线Fig．2 The Bragg T rod frequency response function of out-of-plane vibration

图3 布拉格型T形杆竖直振动频率响应函数曲线Fig．3 The Bragg T rod frequency response function of vertical vibration

图4 布拉格型T形端水平振动频率响应函数曲线Fig．4 The Bragg T rod frequency response function of horizontal vibration

3 T形杆面内振动分析

类似的，如图1（b）所示，当a杆下端受到沿y轴面内弯曲振动激扰时，振动会沿a杆通过连接块传递到b、c杆上，当传播至结合处（图中黑色处）时会发生弯纵耦合效应。假设将连接块看作为一个集中质量点，当振动波传播至该点时，会使其产生一个沿b杆轴线方向的振动，波型发生转化，从而使b杆发生纵振，进而导致弯纵耦合，a杆所受剪力转变为b杆所受纵向力；同理，当a杆下端受到沿轴线方向的面内振动（纵振）时，通过连接块a杆的纵振会使b杆作弯曲振动，此时a杆所受纵向力转变为b杆所受剪力。

对于T形杆面内振动的数值推导部分，由于纵振与扭振的波动方程解相似，只需对某些参数进行替换即可，因而此处的推导不再赘述。

需要指出的是，由于面内任意方向的激扰均可分解为沿x与y轴（即竖直和水平）方向，因此本文将分别对沿a端坐标方向施加位移激扰进行计算，振幅均设为 u0。

图3给出了对a端施加面内竖直方向振动激励时，T形杆的频响函数曲线，其中（b）为仿真计算所得频响结果，实线和虚线分别表示声子晶体T形杆和单一材料T形杆对面外弯曲振动的衰减值，点划线表示输入激扰。对比（a）、（b）两图可知，数值计算结果与仿真计算结果基本吻合，存在多个振动衰减区域，尤其是在4 280～8 000 Hz频率范围内除少许共振峰外，其余频率范围均处在衰减区域，平均衰减值可达20 dB以上。

图4给出了对a端施加面内水平方向振动激励时，T形杆的频响函数曲线。可以发现图中存在两个较大带隙，起止频率分别为1 540～3 310 Hz和4 620～6 660 Hz，其最大衰减值可达50 dB。从仿真结果上可以看出，声子晶体T形杆对共振峰值也有良好的抑制效果。

4 结 论

针对布拉格型声子晶体T形杆进行了振动特性研究，分别采用传递矩阵法和有限元仿真进行了数值和仿真分析，分析结果表明：

（1）通过对比布拉格型声子晶体T形杆和单一材料的T形杆的振动传输特性曲线，可知声子晶体T形杆对空间任意方向振动激扰的减振能力均明显优于单一材料杆，因而更适合于工程中的多维减振需求；

（2）该声子晶体T形杆能够实现振动波型的转化，在一种振动的传递率等式中均包含着两种波的传递矩阵，这种振动波形的转化使其产生了带隙叠加的效果，从而有利于杆件对不同类型振动激扰的抑制；

（3）不同方向振动激扰的频响函数结果表明布拉格型声子晶体T形杆具有多维宽频减振的能力，但这种宽频的减振带隙多出现于中高频范围，为此可以进一步引入压电材料加以主动调节，从而使得该带隙向低频移动，这也是我们的下一步工作重点。

［1］温熙森，温激鸿，郁殿龙，等．声子晶体［M］．北京：国防工业出版社，2009．

［2］Diaz-de-Anda A．，Pimentel A，Flores J． et al． Locally periodic Timoshenko rod：experiment and theory［J］．Journal of the Acoustical Society of America，2005，117（5）：2814－2819．

［3］Alakebanga T N T．Finite element and experimental analysis of wave propagation in conical periodic structures［D］．Washington DC：The Catholic University of America，2003．

［4］Toso M．Wave propagation in rods shell and rotating shafts with non-uniform geometry［D］．Washington DC：University of Maryland，2004．

［5］Jeong S M．Analysis of vibration of 2－D periodic cellular structures［D］．Atlanta：Georgia Institute of Technology，2005．

［6］Chen Sheng-bing，Wen Ji-hong，Yu Dian-long，et al．Band gap control of phononic beam with negative capacitance piezoelectric shunt［J］．Chin．Phys．B．2011，20（1）：14301．

［7］Martinsson PG，Movchan A B．Vibrations of lattice structures and phononic band gaps［J］．Q．J．Mech．Appl．Math．，2003，56：45－64．

［8］沈惠杰，郁殿龙，温激鸿，等．平面周期管系对轴向波与弯曲波的隔离特性［J］．振动与冲击，2011，30（3）：42－46．SHEN Hui-jie，YU Dian-long，WEN Ji-hong，et al．Transfer properties of longitudinal vibration wave and flexural vibration wave in Bragg periodic L-shaped pipe［J］．Journal of vibration and shock，2011，30（3）：42－46．

［9］Asiri S，Baz A，Pines D．Active periodic struts for a gearbox support system［J］．Smart Materials and Structures，2006（15）：1707－1714．

［10］ Shu Hai-sheng，Li Shi-dan，Dong Li-qiang，et al．A sonic crystal angular rod with ability of multi-dimensional and broadband vibration reduction［J］．Noise Control Engineering Journal，2013，60（1）：2042－2056．

［11］Shu Hai-sheng，Liu Shao-gang，Zhao Dan，et al．A combined sonic crystal rod of Bragg type with ability of vibration reduction in broad frequency band［J］．Noise Control Engineering Journal，2012，60（1）：42－61．