考虑材料非线性时压电发电悬臂梁的主共振响应分析

郭抗抗， 曹树谦

（1．天津大学 机械工程学院力学系，天津 300072；2．天津市非线性动力学与混沌控制重点实验室，天津 300072）

近年来，微机电系统（MEMS）的快速发展促使微电源技术的兴起。传统化学电池在使用、寿命及环保等方面的限制促使人们探索如何利用环境能量进行发电。Williams［1］首次提出收集环境中的振动能转化为电能，而微电子设备低功耗的特点使得利用环境振动自供能成为可能。目前振动能量采集器主要有电磁式［2］、静电式［3］和压电式。其中利用压电材料正效应的压电式发电系统优势明显备受关注［4］。其结构简单、绿色环保、能量密度高、无电磁干扰、寿命长，可直接输出较高电压，且易于加工和实现微型化、集成化［5］。d31工作模式下的双晶或单晶悬臂梁是最常用的结构形式［6］。目前国内外针对压电悬臂梁发电特性已开展了大量研究。Roundy等［7］利用等效电路法对端部有集中质量的压电悬臂梁进行了建模分析，并通过实验给出了输出电压、功率与负载电阻的关系；Johnson等［8］则根据热动力平衡方法分析了不同激励下压电梁的结构参数对电能输出的影响；Sodano等［9］针对无附加质量的压电悬臂梁，建立了机电耦合动力学和电学模型，并利用数值方法和实验方法对理论模型进行了验证；DuToit［10］则对带集中质量的悬臂梁进行了分布式建模分析并通过实验予以验证；Erturk等［11］根据弹性理论和Galerkin方法分别对串、并联双晶压电悬臂梁进行了理论建模并给出实验验证。在国内，阚君武等［12］建立了单、双晶压电梁发电能力的仿真分析模型，研究了结构参数对其发电能力的影响规律；袁江波等［13］对悬臂梁压电振子进行了有限元分析，并对其发电性能进行了实验研究；单小彪等［14］通过数值模拟和有限元仿真研究了截面形状对悬臂梁双晶压电振子发电能力的影响；贺学锋等［15］考虑逆压电效应和梁集中质量的影响，给出系统的输出电压表达式并通过实验验证其准确性。

然而上述文献中所有压电材料均假设为线性材料。事实上，非线性是压电材料的本质特征，即使在低场下也有明显的非线性现象［16］，而在压电发电研究中，只有少数文献考虑到压电材料非线性。Stanton等［17－18］考虑压电材料三次非线性本构关系，通过理论建模分析了压电悬臂梁的发电特性，结论表明在较大激励振幅下，线性结果与实验结果相差较大，指出线性结果的局限性。Abdelkefi等［19］考虑材料二次非线性本构关系，建立参数激励下的压电悬臂梁模型并进行了理论分析和数值模拟，同样指出对压电发电系统非线性建模的必要性。

本文以带集中质量的单晶悬臂梁压电发电系统为研究对象，考虑压电材料的二次非线性本构关系，利用广义Hamilton原理及Rayleigh－Ritz法建立其机电耦合模型；随后利用多尺度法求解系统主共振二次近似响应，分析压电材料非线性、外激励参数及负载电阻对系统响应的影响；最后通过数值分析验证了解析解的正确性。

1 压电悬臂梁的机电耦合模型

图1所示为基础激励下有附加质量的单晶悬臂梁压电振子在d31工作模式下的振动示意图。梁长为L，梁厚为t0，其中上层为压电层（厚度为tp），下层为弹性结构层（厚度为ts），极化方向（P方向）沿3方向，x表示轴向坐标（沿1方向），y表示纵向坐标（沿3方向）。

1.1 材料的本构关系

对于弹性金属梁结构而言，其应力－应变具有如下线性关系：

式中：cs11为弹性结构层的刚度系数，T1及S1表示沿1方向的应力、应变。

图1 悬臂式压电发电系统模型Fig．1 The vibrating model of piezoelectric cantilever with base excitation

考虑非线性压电效应，压电材料的非线性本构关系［20－21］可以表示为：

式中：E3和D3表示沿3方向的电场强度和电位移；cE11为压电层的刚度系数；e31为压电系数；εS33为介电常数；γ113为电致弹性系数；β133为电致伸缩系数；CE111为二次非线性刚度系数；ν333为二次非线性介电常数。

1.2 压电梁机电耦合模型

基础激励下，压电悬臂梁存在机械能和电能的转换，利用机电耦合系统的广义Hamilton变分原理［10］

式中：Tk为系统动能；U为系统势能；We为压电陶瓷的电能；δW为外力做功的变分。分别表示如下：

式中：ρ表示材料密度；V表示体积；下标s和p分别为对应梁的弹性金属层和压电层；u（x，t）为梁的横向相对位移；m0为悬臂梁端部集中质量；φ表示标量电势；q表示电荷量。

为了表示基础激励下悬臂梁产生的惯性载荷，假设梁沿轴向均匀，单位长度质量用m表示，从而将惯性载荷表示是有

考虑梁的一阶模态，并将压电元件上下表面两金属电极看作一个电极对，应用 Rayleigh-Ritz法，Euler-Bernoulli梁理论及压电元件恒定电场假设如下：

式中：ψr（x）表示悬臂梁的一阶弯曲模态振型函数；r（t）表示梁横向振动位移模态坐标；ψv（x）表示电势分布函数；v（t）表示广义电压模态坐标。

对于带有集中质量的悬臂梁，其一阶模态振型函数为

式中：β值及待定常数因子c可根据梁的边界条件确定。

对于自由端附加集中质量的悬臂梁，其边界条件为

式中：EI为悬臂梁的弯曲刚度，ω1为悬臂梁一阶固有频率。

将式（8）～式（10）及式（1）、式（2）代入式（4）～式（7），并将重写后的式（4）～式（7）代入式（3）可得如下两个方程：

式中：M和K分别是层合梁振子的模态质量和模态刚度，表示如下：

式中：θ和Cp分别是机电耦合系数和压电元件的电容，定义如下：

式中：N1、N2及N3则是方程非线性项的系数，定义为

外部激励项系数为

1．3 方程的化简与无量纲化

设外加基础激励

式中：Ze是加速度幅值；Ωe是激励频率。假设负载电阻为纯电阻RL时，电压可表示为于是（15）、

式中：为阻尼比。

为了对上述动力学方程进行无量纲化处理，定义特征时间、特征长度、特征电压分别为

于是有 r＝xcx，v＝vcu，t＝tcτ，其中 x、u、τ为无量纲量。代入方程（26）、（27）后得到无量纲化的动力学方程

2 压电层合梁的主共振响应

2.1 主共振的二次近似解

利用多尺度法求解系统主共振响应的二阶近似解，设解如下

式中：Tj＝εjτ，（j＝0，1，2）。

考虑共振情况，对于方程（32）、（33），由于耦合项的存在使派生系统的固有频率不再为1，引入调谐参数σ，令

式中：Λ为方程对应派生系统的固有频率。将式（33）代入（31）、（32），令 ε同次幂系数相等，从而得到

方程组（36）由两个耦合的常系数线性微分方程组成，故可令

代入（36）中，得

对于非平凡解，式（40）中的系数行列式必须为零，于是得

方程（41）根的判别式

式中：cc表示共轭。

从式（47）第一式中消去产生永年项的那些项，要求 eiΛT0的系数为零得

或

于是（47）式化为

设式（50）的解为

代入式（50），由对应系数相等可解出 E1、E2、F1，整理并简写如下：

式中：系数详见附录 1。将式（45）、（51）代入式（38）中的第一式，并考虑 D1C2＝0得

2.2 响应定常解及其稳定性

随着T2的增加，方程（55）中的a和γ在经历一小段时间的振荡后将趋向于定常值。为了考察系统的稳态运动，令 D2a＝0，D2γ＝0，得定常解振幅 a～和相位 γ～满足方程

相频响应方程为

从而绘出系统主共振幅频响应曲线如图2所示。由图可见，系统在共振点附近响应幅值较大，为了提高系统发电量，期望系统能工作在该区域内，称为系统的工作区域。对于固定的激励频率（亦即σ），主共振可能是唯一的，也可能有三种。为了分析主共振的稳定性及其实现条件，将方程（55）在（a～，γ～）处线性化，形成关于扰动量Δa和Δγ的自治微分方程

根据式（62）可画出主共振二次近似定常解的失稳域，如图2所示阴影区域。显然，失稳域对应幅频响应曲线有多解时的中间解支。

图3给出取σ＝－4时，由式（55）自不同的（a，γ）出发的相轨线，图中的P1、P2、P3是三个奇点，对应图2中σ为－4处的三个响应解。其中，P1、P3是稳定焦点，对应上下两个稳定解；P2是鞍点，对应中间落在失稳域中的不稳定解。系统状态最终被吸引到哪个奇点取决于系统的初始状态。只有恰好位于两区域分界线上的初始状态才可能被吸引到P2，且一旦受到小扰动，便会偏离原轨道被吸引到P1或P3。对于压电发电结构而言，通过选取合适的初始条件，使其工作在上解支，此时对应较大的响应幅值，从而提高发电量。

图2 稳态主共振的幅频响应及失稳域（阴影部分：不稳定）Fig．2 Proximate response of the primary resonance and its stability（shadow：unstable）

图3 主共振响应解的吸引域（σ＝－4）Fig．3 Domain of attraction of primary resonance solution（σ＝－4）

图4 α4变化时稳态主共振的幅频响应曲线Fig．4 Amplitude-frequency response of the primary resonance with differentα4

2．3 定常解响应分析

图4给出主共振响应随非线性刚度系数α4的变化曲线，当置方程二次非线性刚度系数α4＝0时，主共振只存在唯一解，且σ取0值附近时响应幅值较大（右边阴影区域）；当α4不为0时，对于固定的σ，主共振存在多解现象；无论α4符号如何，近似解的共振峰总是左偏，呈现软特性的非线性性质；随着α4的增大，近似解的共振峰偏移增大，共振点对应频率减小，且响应幅值随频率变化的速率变缓，这意味着在多值区域内，若能控制系统的响应解落在上解支，则系统的工作频带（左边阴影区域）将明显加宽。分析表明，压电结构固有的材料非线性特性能有效降低结构的共振频率，拓宽共振频带，这一点更有利于结构适应具有宽、低频特点的环境振动。非线性是压电材料的固有特性，在对压电结构的设计中忽略这一特性，会导致结构的工作频带与环境振动频带的吻合性较差，发电效率降低。

取α4＝3．2，即考虑压电材料非线性的影响，当激励频率调谐参数σ取不同值时，绘出激励幅值f与响应幅值的关系曲线如图5所示。当σ≥0时，不同的激励振幅f对应唯一的响应幅值；而σ＜0时，当f取值较小时，a～出现多解和跳跃现象，随着f的增大，a～恢复单解情况。因此，适当的增大外激励幅值可避开多解区域，并有利于压电结构发生较大的形变，从而提高发电量。

图5 激励幅值与稳态响应幅值的关系Fig．5 Steady state response-Excitation amplitude curves

图6 非线性刚度系数对稳态响应的影响Fig．6 The influence of nonlinear stiffness coefficients on the steady state response

图7 α3取不同值时系统的主共振响应Fig．7 Response of the primary resonance with differentα3

图6则给出了激励频率调谐参数σ取不同值时，非线性刚度系数α4与响应幅值的关系曲线。从该图可以看出，当外激励频率大于等于固有频率，即σ≥0时，非线性的增强导致响应幅值减小；当σ＜0时，系统响应的峰值不再对应α4等于0处，而是发生偏移，随着非线性的增强响应幅值先增后降。由此看出，当外激励频率大于系统固有频率时，压电材料非线性对系统响应起负面作用，而当外激励频率小于系统固有频率时，二次非线性刚度系数α4取某特定值时系统响应最大。因此根据不同的应用场合选择合适的压电材料有利于提高发电量。

系数α3是与负载电阻成反比的参数，图7给出了α3取不同值时系统的频率响应曲线，图8则给出了激励频率调谐参数σ取不同值时，负载电阻与系统输出功率的关系。从图中可以看出，随着α3的增大，即负载电阻的减小，响应近似解的共振峰峰值减小，输出功率则随着负载电阻的增大先增后降，在60～100 kΩ时对应功率较大。分析表明，压电发电系统存在一个最佳负载范围，对应输出功率较大，能量转化效率较高。

图8 负载电阻与功率的关系曲线Fig．8 Power out-Load resistance curves

3 数值模拟验证

通过数值方法验证上述解析分析结论。取ε＝0．1，κ＝0．1，ζm＝1，α1＝1，α2＝1，α3＝0．1，α4＝3．2，α5＝1，f＝2．5，σ＝－4，对原方程（32）、（33）进行数值积分，得到系统稳态解的时间历程图并与求解所得的二次近似解（56）进行对比，如图9所示。从图上可以看出二次近似解析解与数值模拟的结果吻合较好。

图9 近似解与数值解对比（x（0），x·（0），u（0），u·（0））＝（1．5，0．5，0，0）Fig．9 Comparison of the approximate solution and numerical solution

图10 系统主共振的跳跃现象（α1＝α2＝α5＝1，α4＝3．2）Fig．10 The jumping phenomenon of the primary resonance

图11 对应线性系统的主共振幅频响应（α1＝α2＝α4＝α5＝0）Fig．11 Amplitude-frequency response of the primary resonance for linear system

为了验证系统响应的多解及跳跃现象，搞清不同解支的稳定性，通过数值的方法对原方程（32）、（33）分别进行升、降频扫描模拟，如图10所示。从该图可以看出，数值模拟的结果与解析分析的结果吻合较好。升频扫描下系统响应在σ＝－3．737时向上跳跃；降频扫描下则在σ＝－6．162处向下跳跃。在－3．737到－6．162区间内系统出现多解现象，上下两个解支对应两个稳定焦点，对于该区间内的某一固定σ而言，响应解落在上解支还是下解支取决于初始条件的选取。该结论与解析分析的结果一致。

图12 负载电阻与功率的关系曲线Fig．12 Power out-Load resistance curves

图11给出了对应线性系统，即不考虑材料非线性影响时系统的主共振幅频响应曲线，对比可以看出，正是由于压电材料非线性的影响，系统主共振的幅频响应曲线出现了共振峰偏移以及共振点附近的多解和跳跃现象，同时共振频带也明显拓宽。由于压电发电系统收集的是具有宽、低频及随机特点的周围环境振动，拓宽共振频带有利于系统工作在近共振状态，通过控制结构振动的初始条件，如加一个脉冲控制电路等方式使压电结构在多解区域内的响应落在上解支，此时对应较大的响应幅值，从而提高发电量。

图12给出了输出功率随负载电阻的变化曲线，如图表明输出功率随负载电阻的增大先增后降，负载电阻在60－100 kΩ区间范围内时输出功率较大，具有较高的能量转化效率，该结论与解析分析结论同样一致。

4 结 论

本文考虑压电材料的二次非线性本构关系，建立了带有集中质量的悬臂式压电发电结构的非线性动力学模型。利用多尺度法研究了系统的二次主共振响应，分析了系统的非线性项系数、外激励参数及负载电阻对系统响应的影响规律，并通过数值分析对解析分析的结论进行了验证，得到如下结论：

（1）压电结构在主共振状态下具有较大的振动幅值，可从外界提取更多的能量。此时压电材料固有的非线性特性对结构主共振响应的影响较为突出，会导致系统的响应共振峰向左偏移，对应外激励频率小于系统的固有频率。

（2）当外激励频率取不同值时，对应主共振响应解可能是唯一的，也可能是3个，分别对应2个稳定焦点和1个不稳定鞍点，由此解释了外激励频率变化时响应振幅发生跳跃现象的原因；主共振响应解的真正实现取决于解的稳定性条件及初始条件的选取，通过控制系统工作的初始条件，使其工作在对应较大响应幅值的稳定解附近可提高发电量。

（3）压电发电系统存在一个最佳负载电阻阻值范围，对应输出功率较大，能量转化效率较高。

本文结论为深入研究压电悬臂式发电系统的非线性动力学机理奠定一定的理论基础，为结构设计中参数的选择及发电性能的优化提供一定的理论依据。下一步将通过现场实验测试，与解析和数值仿真的结果进行比较，并针对不同的振动环境，优化压电悬臂梁的结构，以提高压电发电系统的能量转换效率。

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附录