行列式与等式证明

吴捷云

摘 要： 行列式是一个重要的数学工具，在众多的科学技术领域内有十分广泛的应用.本文介绍行列式在等式证明中的若干应用.

关键词： 行列式 等式证明 应用

行列式是一个重要的数学工具，在众多的科学技术领域内有十分广泛的应用.本文主要介绍行列式在等式证明中的应用.等式证明在初等代数中占有一定的地位，利用行列式的性质解决某些等式证明问题，能达到事半功倍的效果.

一个元素含有字母x■，x■，…，x■的行列式可以看做是x■，x■，…，x■的多项式.反过来，一个多项式f（x■，x■，…，x■）可以写成元素含有字母x■，x■，…，x■的行列式.利用行列式的性质，对行列式进行恒等变形（不改变行列式的值），即可以导出多项式f（x■，x■，…，x■）的一个恒等变形，从而完成等式的证明.

例1：已知a+b+c=0，证明a■+b■+c■=3abc.

证：a■+b■+c■-3abc=a？摇？摇？摇b？摇？摇？摇cc？摇？摇？摇a？摇？摇？摇bb？摇？摇？摇c？摇？摇？摇ar■+r■=r■+r■a+b+c？摇？摇？摇a+b+c？摇？摇？摇a+b+c？摇 c？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇a？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇b？摇？摇？摇？摇？摇b？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇c？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇a？摇=0？摇？摇？摇0？摇？摇？摇0c？摇？摇？摇a？摇？摇？摇bb？摇？摇？摇c？摇？摇？摇a=0.

故a■+b■+c■=3abc.

例2：已知ax+bz+cy=1，ay+bx+cz=2，az+by+cy=3，证明（a■+b■+c■-3abc）（x■+y■+z■-3xyz）=18.

证：（a■+b■+c■-3abc）（x■+y■+z■-3xyz）

=a？摇？摇？摇b？摇？摇？摇cc？摇？摇？摇a？摇？摇？摇bb？摇？摇？摇c？摇？摇？摇ax？摇？摇？摇y？摇？摇？摇zz？摇？摇？摇x？摇？摇？摇yy？摇？摇？摇z？摇？摇？摇x=a？摇？摇？摇b？摇？摇？摇cc？摇？摇？摇a？摇？摇？摇bb？摇？摇？摇c？摇？摇？摇ax？摇？摇？摇y？摇？摇？摇zz？摇？摇？摇x？摇？摇？摇yy？摇？摇？摇z？摇？摇？摇x

=ax+bz+cy？摇？摇？摇ay+bx+cz？摇？摇？摇az+by+cxaz+by+cx？摇？摇？摇ax+bz+cy？摇？摇？摇ay+bx+czay+bx+cz？摇？摇？摇az+by+cx？摇？摇？摇ax+bz+cy

=1？摇？摇？摇2？摇？摇？摇33？摇？摇？摇1？摇？摇？摇22？摇？摇？摇3？摇？摇？摇1=18.

例3：已知ax+by=1，bx+cy=1，cx+ay=1，证明ab+bc+ca=a■+b■+c■.

证：ab+bc+ca-（a■+b■+c■）

=a？摇？摇？摇b？摇？摇？摇-1c？摇？摇？摇a？摇？摇？摇-1b？摇？摇？摇c？摇？摇？摇-1c■+xc■=C■+yc■a？摇？摇？摇b？摇？摇？摇ax+by-1c？摇？摇？摇a？摇？摇？摇cx+ay-1b？摇？摇？摇c？摇？摇？摇bx+cy-1=a？摇？摇？摇b？摇？摇？摇0c？摇？摇？摇a？摇？摇？摇0b？摇？摇？摇c？摇？摇？摇0=0.

故ab+bc+ca=a■+b■+c■.

例4：若（z-x）■-4（x-y）（y-z）=0，求证：x，y，z成等差数列.

证：由（z-x）■-4（x-y）（y-z）=0，有

？摇？摇z-x？摇？摇？摇？摇2x-2y2y-2z？摇？摇？摇？摇？摇z-x=？摇？摇？摇？摇z+x-2y？摇？摇？摇？摇？摇2x-2y-（z+x-2y）？摇？摇？摇？摇z-x=（z+x-2y）？摇1？摇？摇？摇2x-2y-1？摇？摇？摇？摇z-x

=（z+x-2y）■=0.

可得

z+x-2y=0.

即

z+x=2y.

所以x，y，z成等差数列.

例5：已知ax■+bx+c=0，px■+qx+r=0，证明（cp-ra）■=（br-qc）（aq-pb）.

证：根据已知条件，c=-ax■-bx，r=-px■-qx，有

cp-ra？摇？摇？摇？摇？摇aq-pbbr-qc？摇？摇？摇？摇？摇cp-ra

=-apx■-bpx+pax■+qax？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇aq-pb-bpx■-bqx+aqx■+bqx？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇-apx■-bpx+pax■+qax

=？摇x（aq-pb）？摇？摇？摇？摇？摇？摇aq-pbx■（aq-pb）？摇？摇？摇？摇x（aq-pb）=0.

则

（cp-ra）■-（aq-pb）（br-qc）=0.

即

（cp-ra）■=（aq-pb）（br-qc）.

参考文献：

[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M]（第五版）.北京：高等教育出版社，2007：100-102.

[2]周立仁.行列式在初等数学中的几个应用[J].湖南理工学院学报.自然科学版，2008（04）：17-19.

[3]梁波.例谈行列式的几个应用[J].毕节学院学报，2006（04）：27-29.endprint