两个严格的加权Ostrowski型不等式

时统业， 吴 涵， 周国辉

(海军指挥学院 信息系，江苏 南京 211800)

1 引 言

设f∶[a，b]→是(a，b)上的四阶连续可微函数，且则有

上述不等式称为Simpson不等式[1].

设f∶I⊂→是I°上的可微函数，a，b∈I°，a

上述不等式称为Ostrowski不等式[2].

文[3]给出Simpson不等式的如下改进：

定理A[3]设f∶[a，b]→为连续函数，且f′∈L2(a，b)，则

(1)

文[4]给出不等式(1)的带有一个参数的推广. 文[5]将不等式(1)推广到高阶可微函数，文[6-7]对有界变差函数给出加权的Simpson型不等式.已有许多文献给出Ostrowski不等式的推广和改进，这里仅推荐对作者启发较大的文献[3，8-10].

本文给出一个新的严格的加权Ostrowski型不等式，在特殊情况下，由本文的结果可得定理A的一个加权推广.

引理1设f∶[a，b]→为连续函数，且f′∈L1(a，b)，g(t)是[a，b]上正的可积函数，则对任意x∈[a，(a+b)/2]，有

(2)

其中

证由分部积分法得

(3)

(4)

(5)

式(3)，(4)，(5)相加得式(2).

引理2[11](Grüss不等式的变式) 设h，g∶[a，b]→是两个可积函数，存在常数φ和Φ使得对任意x∈[a，b]有φ≤g(x)≤Φ，则有

2 主要结果

定理1设f∶[a，b]→为连续函数，且f′∈L2(a，b)，g(t)是[a，b]上正的可积函数，且关于t=(a+b)/2对称，则对任意x∈[a，(a+b)/2]有

(6)

其中

对于给定的区间[a，b]和给定的满足定理1条件的函数g(t)，常数I是最佳的，即不能被更小的常数代替.

证由h(t)的定义、分部积分法及g(t)的对称性得

故有

(7)

由Cauchy积分不等式得

(8)

由h(t)的定义得

=I+Δ.

(9)

在式(9)的推导中使用了下面事实：

由式(2)，(7)，(8)，(9)得式(6).

下面证明对于给定的区间[a，b]和满足定理1条件的函数g(t)，常数I是最佳的.假设常数C使得对于满足定理1条件的任意函数f(t)和任意x∈[a，(a+b)/2]，都有

(10)

取函数

则f(t)在[a，b]连续且分段可导. 利用g(t)的对称性得

f(a)=f(b)=0，

(11)

(12)

易知

(13)

由f(t)的定义，经过计算得

(14)

其中式(14)的推导使用了下面事实：

于是使用式(11-14)得

推论1.1设f∶[a，b]→为连续函数，且f′∈L2(a，b)，则对任意x∈[a，(a+b)/2]，有

(15)

证在定理1中取g(t)≡1，则计算可得

由式(6)得到式(15).下面证明常数1/108是最佳的.假设常数C使得不等式

(16)

对于任意满足推论1条件的f(t)和任意x∈[a，(a+b)/2]都成立.取函数

则f(t)在[a，b]上连续，且分段可导，并且

又由定理1的证明可知式(16)的右端等于

所以式(16)也即

由此得C≥1/108，即常数1/108是最佳的.

推论1.2在定理1中，取x=(a+b)/2得

其中

常数I是最佳的，即不能被更小的常数代替.

特别地，当g(t)≡1时I=(b-a)3/36，Γ=0，由推论2得到定理A.

推论1.3在定理1中取x=a得

其中

定理2设f∶[a，b]→为连续函数，且f′∈L2(a，b)，g(t)是[a，b]上正的可积函数，且关于t=c对称，x∈[a，c]，φ(t)=g(τ)dτ，t∈[a，b].若存在常数γ和Γ使得对任意t∈[a，b]有γ≤f′(t)≤Γ，则有

(17)

证由引理2得

(18)

其中用到下面事实

不妨设

则有

(19)

(20)

当x∈[a，μ]时，

(21)

当x∈(μ，c]时，

(22)

综合式(18-22)得式(17).

下面说明不等式(17)是严格的.事实上，当x∈[a，μ]时，取函数

则f(t)满足定理2条件，且式(17)的等号成立.当x∈(μ，c]时，取函数

则f(t)满足定理2条件，且式(17)的等号成立.

推论2.1设f∶[a，b]→为连续函数，且f′∈L2(a，b)，g(t)是[a，b]上正的可积函数，且关于t=(a+b)/2对称.若存在常数γ和Γ使得对任意t∈[a，b]有γ≤f′(t)≤Γ，则有

(17)

式(17)在x=(2a+b)/3时取得最好结果：

证在定理2中取g(t)≡1得证.

推论2.2在定理2的条件下有

(17)

证在定理2中取x=c得证.

[参 考 文 献]

[1] Dragomir S S，Agarwal R P，Cerone P.On Simpson′s inequality and applications[J]. J.of Inequal.Appl.，2000, 5(6)：533-579.

[2] Ostrowski A.Über die Absolutabweichung einer differentiierbaren Funktion von ihrem Integralmittelwert[J]. Comment. Math.Helv.，1938，10(1): 226-227.

[4] Liu Z.Note on a paper by N. Ujevi[J].Applied Mathematics Letters，2007,20(6)：659-663.

[5] Shi Y X， Liu Z. Some sharp Simpson type inequalities and applications[J].Applied Mathematics E-Notes，2009,9(7)：205-215.

[6] Tseng K L，Yang G S, Dragomir S S.On weighted Simpson type inequalities and applications[J].J.Math Inequal.，2007，1(1)：13-22.

[8] Tseng K L，Hwang S R，Dragomir S S.Generalizations of weighted Ostrowski type inequalities for mapping of bounded variation and their applications[J].Computers and Mathematics with Applications，2008, 55(8)：1785-1793.

[9] Tseng K L，Hwang S R，Yang G S，etal.Weighted Ostrowski integral inequality for mappings of bounded variation[J].Taiwanese Journal of Mathematics，2011，15(2)：573-585.

[10] Alomari M W.A companion of Dragomir′s generalization of Ostrowski′s inequality and applications in numerical integration[J].RGMIA Res.Rep.Coll., 2011(14), Article 50.

[11] Cheng X L，Sun J. A note on the perturbed trapezoid inequality[J].J.Inequal.Pure Appl. Math.，2002，3(2)，Article 29.