浅谈大学数学教学严谨性上的几个问题

(天津市建筑工程职工大学，天津 300074)

数学源自人类早期的生产活动，古希腊、古埃及、古印度及古代中国都对数学有所研究。数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学，具有独特的公式结构、严密的符号体系、形象的图像语言等，对学生逻辑思维的培养具有无可替代的作用。同时，数学具有严密的逻辑性，严谨是学习数学的基本要求，任何数学结论必须借助于严密的逻辑方法证明来实现。笔者在教学过程中在严谨性方面思考了一些问题，在此提出，供大家思索讨论之用，以利寻求解决问题的办法。

1 数学的严谨性

数学语言对初学者而言是感到非常困难的，如何使这些名词在思维里建立比日常更精确的意思，也困扰着初学者，如“开放”、“域”等词在数学里有同日常使用更精确的意思。数学术语还包括“微分”及“可积性”等专有名词，使用这些特别符号和专有术语是因为数学需要比日常生活用语更多的精确性。严谨是数学学习和证明中很重要且基本的一部分，数学家们要使他们的定理以系统化的推理被推论下去，这是为了避免依靠不可靠的直观感觉，从而得出错误的或不准确的“定理”或“证明”，因为这种依靠直观的情形在历史上曾出现过的例子确实很多。在数学中严谨程度也因时代而不同，就连牛顿的时代，所使用的方法也较不严谨，牛顿为了解决问题所作的定义，也直到十九世纪才得以用严谨的推理来证明。到现在当大量的计算难以被验证时，数学家们则在争论电脑辅助证明的严谨度，其证明也是很难确定的。

2 学生的严谨性

学生对数学的严谨性要有一个逐步适应的过程。比如刚升入中学的学生，由于他们认知上的局限以及小学阶段的数学训练，对一些精确的数学语言，如“任意非零整数”、“唯一”、“存在”、“仅当”等，往往缺乏足够的理解和熟练的运用，对一些定义、法则再不能精确背诵和分析，解题时长期模仿范例解题，因此学生对法则的使用范围和具体要求必然考虑不够，在综合运用时经常互相混淆而出错，更谈不上灵活运用了。对于严谨的推证，学生更是不适应。笔者就曾在大学阶段习惯于不完全归纳法，从个别实例中归纳一般结论，并习惯于直接套用结论，而认识不到论证的必要性。中学的学生甚至大学生如果教学过程中没有进行足够的训练，并使学生逐步掌握到教材的严谨性，那么到了高中或大学他们会经常用感念的一些常识性、直观性理解来代替精确定义，也会毫无根据地把一些数学结论用到不适当的场合。例如把函数理解为随着别的数改变而变化的数、把极限理解为近似、把分配率用到loga(α+β)=loga∂+logaβ上等错误。对于这种现象，我们一方面应当认识到由于年龄特点，学生对于严谨性的要求确实有不适应的地方，而另一方面也应该看到，这往往是教学中缺乏基本训练的结果。

3 教材严谨性的问题

学生的解法无可非议，这不得不引起笔者的思考。原来“过曲线上点p的切线”与“曲线在点p的切线”一般情况下是不同的。曲线在点p处的切线是指曲线上以该点为切点的直线，它是唯一的；而过曲线上点p的切线，除了包括以点p为切点的切线外，还有可能出现以其它点为切点的切线。教材中的解法正是忽略了“过曲线上点p的切线”与“曲线在点p处的切线”之间的这种区别，而造成了误解。

因此，教材的严谨性问题也应引起教师们的注意。比如上述问题，如果仅想做简单化处理，应将原题改为“求在点p处的切线”；如果想让学生体会“二次”与“三次”曲线的不同，那就应改变原题的解法。

4 科研与教学的问题

现阶段普通强调学术科研，相对忽视教学科研，对教学科研投入的经费较少；平常教师的教学任务繁重，科研时间相对不足；由于教师考核的标准问题，使得教师在教学中不愿投入大量精力，科研水平高的教师更不愿参与教学研究；也有些教师只顾教学，不搞科研，不努力提高自己。由于不做科研，无法真正教导学生发现问题、分析问题的能力，更不用说创新能力的培养。要给学生一瓢水，老师就得有一缸水，不能有一说一或说一有一，若教师在教学中不敢多说一句话，那时教师该如何教学？由于现在不管提职、岗位聘任、岗位考核还是社会评价，总把科学研究视为硬指标，视教学为软任务，所以不少教师尤其是年轻教师不愿在教学上投入过多精力，在教学上不下真功夫，不苦练基本功，对课程体系、教学内容和教学方法不做深入研究，教学效果自然就达不到要求。我们的目标应该是以研促教，以教学为基础、科研为先导，在教与研双方面取得优异成绩。

5 课程建设与教师梯队建设的问题

数学课程的建设存在两个较突出的问题。其一，课程建设的研究不够深入，有时流于课程名称的堆砌，课程之间的衔接未经认真的推敲，衔接不够紧密，层次不够强，内容有时重复设置或脱节，造成浪费学时或资源利用不充分。经常有学习一门课的时候遇见还没学过的知识或应该学习的内容没有时间开设课程，导致学生学习上不系统，时而迷惑，效果不佳。其二，教师队伍的建设还有待加强。现阶段经常出现教师教学水平不高，未经专业训练而直接上讲台，非本专业出身教师上课等现象，造成教育资源流失。教师的传帮带过程、综合素质、职业道德、责任心、教学交流等方面仍需提高注重程度。

参考文献：

[1]刘武.关于数学的严谨性[DB/OL].百度文库，2012-04-03.

[2]孙洪祥.大学数学教学中的若干问题的思考[DB/OL].百度文库，2011-10-17.

[3]王元明.数学是什么[M].南京：东南大学出版社，2003.