单位球上空间到Bloch型空间上的积分复合算子

屈会迎

(江苏师范大学 数学与统计学院,江苏 徐州 221116)

0 引言

Rmf(z)=R(Rm-1)f(z),m∈N{1}.

如果存在正数s和t(0

在[0,1)上单调递减且

则称[0,1)上的连续函数φ是一个正规函数[2,4-6].

设f∈H(B),μ在[0,1)上正规,如果

若f∈H(B)满足

令μ为[0,1)上的正规函数.如果满足

sup{μ(|z|)|Rf(z)|:z∈B}<∞,

则称函数f属于Bμ=Bμ(B)空间.容易验证,Bμ在范数

‖f‖Bμ=|f(0)|+sup{μ(|z|)|Rf(z)|:z∈B}

下是一个Banach空间.令Bμ,0=Bμ,0(B)表示满足

设g∈H(B),φ为B上的全纯自映射,对任意的f∈H(B),积分复合型算子Tg,φ定义为

当φ(z)=z时,其为Cesro算子被广泛研究[9-11],积分复合型算子的有界性和紧性被很多作者研究,例如Bloch空间上,从Hardy空间到Bloch空间[12],从H∞到Zygmund空间(Bloch空间)[13-14],从Bloch到Zygmund空间[15-16],从F(p,q,s)到Bloch型空间[17]积分复合型算子.本文将给出单位球上从空间到Bμ空间的积分复合型算子Tg,φ的有界性和紧性的特征刻画.

本文中,C是一个常数,其取值在不同的地方可以不同.

1 引理

引理1[18-20]假设f,g∈H(B),且g(0)=0,则R(Tg,φf)(z)=f(φ(z))Rg(z).

使用标准的论证方法(见文献[6])可得下列Schwartz型引理.

假设g∈H(B),g(0)=0.

(1)

μ(|z|)|R(Tg,φf)(z)| =μ(|z|)|f(φ(z))Rg(z)|

给定ω∈B,取检验函数

(2)

从而由(2)式可知,(1)式成立.

(3)

(4)

因此由(4)知,fk在B的紧子集上一致收敛于0.由Tg,φ是紧算子及引理2,得到

(5)

又

≥μ(|zk|)|fk(φ(zk))Rg(zk)|

(6)

从而由(5)～(6)式可得

(7)

(8)

且{fk}在B的紧子集上一致收敛于0.由(3)式可知,对于任意的ε>0,存在δ∈(0,1),使得当δ<φ(z)<1时,有

(9)

由g∈Bμ,可得

(10)

由(8)～(10)式及fk在B的紧子集上的一致收敛性知,对充分大的k,有

(11)

故由(11)式可得

(12)

证充分性.假设(12)式成立,则对任意的ε>0,存在γ∈(0,1),当γ<|z|<1时,有

(13)

又当|z|≤γ时,由有界闭集上连续函数的有界性知:

(14)

μ(|z|)|R(Tg,φf)(z)| =μ(|z|)|f(φ(z))Rg(z)|

(15)

(16)

(17)

(18)

由(18)式知,对任意的ε>0,存在δ∈(0,1),当δ<|φ(z)|<1时,有

(19)

由(17)式知,对上述ε,存在τ∈(0,1),当τ<|z|<1时,有

(20)

因此,当τ<|z|<1且δ<|φ(z)|<1时,由(19)可得

(21)

当τ<|z|<1且|φ(z)|≤δ时,由(20)可得

(22)

故由(21)～(22)知,(12)式成立,证毕.

感谢审稿人所提出的修改意见,同时感谢刘永民教授的指导.

参考文献:

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[2] Hu Zhangjian.Extended Cesro operators on mixed norm spaces[J].Proc Amer Math Soc,2003,131(7):2171.

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[6] Zhang Xuejun,Xiao Jianbin,Hu Zhangjian.The multipliers between the mixed norm spaces inCn[J].J Math Anal Appl,2005,311(2):664.

[7] Girela D,Peláez J,Pérez-González F,et al.Carleson measures for the Bloch space[J].Integr Equ Oper Theory,2008,61:511.

[8] Li Songxiao.Fractional derivatives of Bloch-type functions[J].Siberian Math J,2005,46(2):308.

[9] Lv Xiaofen,Tang Xiaomin.Extended Cesro operators fromF(p,q,s) spaces to Bloch-type spaces in the unit ball[J].Commun Korean Math Soc,2009,24(1):57.

[10] Tang Xiaomin.Extended Cesro operators between Bloch-type spaces in the unit ball ofCn[J].J Math Anal Appl,2007,326(2):1199.

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[17] Lü Xiaofen,Ying Shaohong.Composition-integral type operators fromF(p,q,s) spaces to Bloch-type spaces[J].Chin Quart J of Math,2012,27(3):352.