基于抗体浓度和混沌粒子群的投资收益仿真

杨 晔

（淮安信息职业技术学院 计算机与通信工程学院，江苏 淮安223003）

0 引 言

针对金融投资收益问题，近年来的研究热点是利用种群进化方法来获得最优投资比。群体智能进化计算方法［1］的最大的优点是具有较快地搜索速度，解决复杂函数问题时具有明显的优势。由于其具有较好的寻优性能，粒子群算法及其改进算法目前大量应用于各种工程优化。目前粒子群优化算法收敛性的严格数学证明仅通过简化的差分方程和递归方程得出，部分算法在实际应用中被有效推广。最近几年，混沌粒子群算法被研究［2］，这种方法是混合粒子群算法，基于基本的粒子群算法，保留了重要的速度和位置更新公式，引入了混沌算法做局部搜索，从而提高整个算法的搜索精度。粒子群算法和混沌算法有机结合的算法称为混沌粒子群算法，算法整个过程分为粒子群优化和混沌优化两个关键部分［3］。利用基准测试函数进行实验，混沌粒子群算法减小了时间复杂度和粒子群算法在进化后期容易早熟的问题。近年来，混沌粒子群算法得到了广泛的应用和不断的改进。混沌粒子群算法被应用于大规模非线性方程组求解，机器学习的聚类算法和Ostu算法结合应用于医学图像分割［3，4］，以及电力系统的无功最优潮流计算等。新的混沌粒子群算法主要通过引入自适应方法，通过改变惯性权重，来避免混沌粒子群算法随机性较重，容易陷入局部最优解的问题。

但是，混沌粒子群算法和相应的改进算法，都存在着种群局部搜索随机性偏大的问题［5］，使得算法精度不高。本文利用免疫因子的抗体浓度来提高低适应度粒子更新概率，以混沌决策作为最优解搜索机制，有效地减小了混沌算法随机选择粒子的问题，提高了搜索精度，并通过实验和仿真验证了本文算法的有效性。

1 基于抗体浓度和混沌决策粒子群算法

1.1 带有惯性权重的粒子群算法

粒子群算法，通过种群的进化找到最优解。种群迭代过程中，粒子通过自身性和社会性可以来改变目前的位置和速度。局部最优解是当前粒子找到的最优解，另一个极值被称为全局最优值，是当前种群找到的最优解。粒子根据全局最优值和局部最优值，利用如下的公式来改变自己的速度和现在的位置

在式 （1）和式 （2）中，pi，j表示局部最优值，pg表示全局最优值。C1和C2代表学习因子。w代表惯性权重。

1.2 基于抗体浓度和混沌决策粒子群算法

粒子群算法从改进上来讲，主要是针对求解的粒子根据一定的决策标准来获得具有最优适应度值的候选粒子。本文从粒子的适应度计算及随机计算的概率出发，利用免疫算法对适应度低的粒子赋予较高的选择概率，增强粒子的社会搜索能力，同时利用混沌算法对粒子的局部最优搜索解进行决策。

免疫系统中包括两类淋巴细胞，一类产生抗体，另一类负责记忆抗原。部分细胞还负责一些调节免疫的功能。文献 ［6］说明生物免疫系统具有诸多优势，能对各种外来刺激做出对应的反应、免疫环节结束后可以产生对应的记忆功能。免疫系统还具有很多特点，例如抗体具有记忆功能、调节功能、多样性等，免疫细胞的特性引起了很多学者的关注，大量文献把免疫学特征应用到进化计算，群体智能等相关领域。生物信息学中，也把免疫系统的这些特点作为信息处理的重要方法和手段。

种群进化更新过程中，理想状态下应该尽可能保留适应度较高的个体，但是适应度高的个体集中后，部分种群十分密集，则个体的多样性会遭到一定程度的破坏，这也是算法陷入局部最优的重要原因，适应度较差的一些个体可能具有在下个进化阶段中较好的进化趋势。因此，多选择多种群，不同浓度进化的机制，可以使得下一代个体拥有各个适应度不同范围的粒子，十分有利于提高后期种群进化的多样性。

一个粒子的浓度定义为

与其中一个粒子相关的抗体数量越多，说明该粒子将不会被下一次进化中所利用。反之，抗体越少，粒子被选中的概率就会增加。使得低适应度的粒子也能够参与进化，保持种群的多样性。基于抗体浓度个体选择理论有效避免了后期容易出现的成熟现象。

对于粒子局部解的搜索利用混沌算法，将决策变量引入到映射为 ［0，1］之间的混沌变量中，映射公式为

产生混沌变量之后，需要在迭代过程中不断更新混沌变量，公式如下

混沌迭代后，需要将混沌变量转化为决策变量，利用公式如下

为了减小混沌搜索的时间复杂度，引入了区域压缩公式

式 （8）和式 （9）中xg，j表示决策变量当前全局最优值，r为压缩因子。上述公式可以在进行混沌搜索过程中不断减小收缩范围为，减小了时间复杂度，但是同时也破坏了粒子的多样性，使得粒子社会性减弱，从而影响搜索精度。

1.3 算法步骤

具体的算法步骤见表1。

表1 算法步骤

2 仿真实验

2.1 测试函数和环境

测试函数选用最新的6个测试函数［7］，测试环境为：Matlab R2009，Windows XP。硬件为Core i3 3.3GHz，2GB DDR3 1.6GHz.

测试函数见表2。

表2 测试函数

选择CLSPSO和本文算法进行对比测试。CLSPSO具有较好的精度和收敛速度，并且CLSPSO由2004年提出，得到广泛应用和改进。和算法CLSPSO比较，可以证明异步变化学习因子对粒子社会性和自身学习性能的调节。

测试函数的搜索区间见表3。

表3 测试函数搜索区间

2.2 测试结果

搜索精度对比见表4。

表4 搜索精度对比

搜索时间对比见表5。

表5 搜索时间对比

两种算法在F1上的测试结果如图1所示。

图1 两种算法在F1上的测试结果

两种算法在F2上的测试结果如图2所示。

图2 两种算法在F2上的测试结果

从图3中可以看出，本文算法在函数F3上的时间复杂度略高。但从整体收敛趋势来看，本文算法在第三个函数中收敛速度最快。

图3 两种算法在F3上的测试结果

两种算法在F4上的测试结果如图4所示。

图4 两种算法在F4上的测试结果

从图1～图4可以看出，基本混沌算法的收敛在迭代初期呈渐进收敛状态，而本文算法的收敛曲线收敛速度较快。

图5表明两种算法收敛速度几乎相同，新算法的精度较高。

图5 两种算法在F5上的测试结果

两种算法在F6上的测试结果如图6所示。

图6 两种算法在F6上的测试结果

从数值仿真中可以看出，本文算法在6个函数上的精度均高于CLSPSO。新算法的时间比CLSPSO略高。分析其原因，可能是本文算法引入了免疫因子和免疫因子浓度的计算，选择增加了进化过程中的时间复杂度。

2.3 实例仿真

在禁止融券的均值方差组合模型和无风险借贷假设下，投资者需要在有效边界上做出组合方案。一般情况下，投资人会把从一定收益水平下方差最小的投资组合作为最优方案［8，10］。马克维兹资产组合使得投资组合风险最小化。多样化投资意味着投资人还应该挑选相关系数偏低的证券，其中还隐含资金投资于不同企业。

根据证券的期望回报率，回报率方差和证券三者的相互关系，分析其中的信息，利用最优化方法，就可以辨识出最优化投资组合。在2012年，上海大众，上海通用和广汽丰田的资产收益率年均值分别为0.12，0.09，0.06。3种资产关系的协方差矩阵为

为了使得求出最小风险组合，而且同时要求预期收益为0.1，可以得到如下最优化模型

最小风险资产组合模型为优化式 （11）中的参数，同时需要满足式 （12）的约束条件。

问题转化为求解3个变量带有约束条件的函数最优值，利用本文算法求解，并对比分析其性能。

股票投资比例标称值见表6。

表6 股票投资比例标称值

CLSPSO计算结果见表7。

表7 CLSPSO计算结果

本文算法计算结果见表8。

表8 本文算法计算结果

两种算法求解问题的性能如图7所示。

图7 两种方法的收敛曲线

从表7和表8可以看出，本文算法可以获得更优的投资比，并且从图7可以看出，本文算法对于相同规模问题进行求解时，收敛速度较快，具有更好的适用性。

3 结束语

本文提出了基于抗体浓度和混沌决策粒子群算法，基于混沌算法和免疫因子浓度的概念，在迭代过程中，根据免疫因子中根据抗体对抗原的筛选操作，在保留适应度较高的粒子的同时，加强了各个粒子的社会性和保持了粒子的多样性，增强了粒子群的全局搜索能力和搜索进度。将其算法用于投资比的求解中同样也得到了较好的优化解，且计算的速度较快，应用性强。

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