“四字”方针探究有效讲评之道

陆燕燕

摘要：数学复习的最佳方式无疑是试卷讲评，通过试卷讲评，教师可以有效完成教学相长的目标。科学有效的试卷讲评应突出四个环节，即“析”：教与学的薄弱环节；“讲”：解题的方法和策略；“变”：变式训练提升思维；“思”：积极温故提升总结。教师通过试卷讲评可以及时全面地了解学生掌握知识的情况，再挑出重点难点加以巩固，使学生对过去所学的知识点进行解析、消化、巩固。

关键词：试卷讲评薄弱环节解题方法变式训练提升总结

子曰：“温故而知新，可以为师矣。”而数学复习的最佳方式无疑是试卷讲评，通过试卷讲评，教师可以有效完成教学相长的目标。通过学生所答的试卷，教师可以及时了解学生掌握知识的情况，再通过试卷讲评挑出重点难点加以巩固。但是如何进行科学有效的试卷讲评呢？很多教师在讲评课中并没有仔细思考这个问题，导致讲评课效率低下，学生并没有在讲评课中有所收获。作者在教学实践中，将讲评课提炼为四个字：析、讲、变、思，也就是作者所谓的“讲评之道”。

一、“析”：教与学的薄弱环节

析，顾名思义，是指分析。教师在试卷讲评开展之前，应该对学生的试卷作一个整体和细节上的分析，比如失分点出现在哪里？试卷考查的重点在哪里？哪些方面的知识点需要学生进一步巩固和完善？教师还应该收集卷面信息，对学生的试卷进行全面的分析和统计，比如班级的平均分和及格率、每道题的失分情况等。结合这些具体的分析，全面了解教与学的薄弱环节，并针对这些薄弱环节加以提升。

例如在试卷中，作者发现很多学生在这样一道基础题中经常出现错误。

例：函数f(x)=sin x+2|sinx|,x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是什么？

作者发现不少学生得到的解为[0，3]，分析他们错解的过程：学生一般都会先通过f(x)=3sin x,x∈[0，π]-sin x,x∈[π，2π]得到f(x)的分段表达式，从中得到f(x)的值域为[0，3]，基于f(x)与y=k有交点，所以得到k∈[0，3]。

通过分析，作者发现学生之所以出现错解，原因是对y=f(x)的图象与y=k有两个交点没有完全搞清楚，仅仅考虑到y=f(x)的图象与y=k有交点，并且没想到若k=1，那么这图象中就会产生三个交点了。另外，一些学生对于图象的处理存在问题，把y=-sin x画错了，这里存在一个翻折问题，把x∈[π,2π]时，y=-sin x的图象画在了轴的下方，导致了错误。作者在讲评前看到有接近三分之一的学生在这道题中出现了错误，于是了解到学生对于“三角函数的图象和性质”这一块的知识点和内容并没有完全吃透，所以在讲评中会再次带领学生回顾三角函数的相关知识点，结合其公式同学生一步步进行推理，以达到巩固的目的。

二、“讲”：解题的方法和策略

“讲”是讲评课的重要环节，教师主要针对以上分析的情况，将解题的方法和策略教给学生。“讲”主要包括讲错题和讲方法。

1.讲错题

学生在解答试卷的过程中，难免会出 现一些错误，所以教师要引导学生以正确的心态来对待这些错误，将错题与教材的知识点捆绑、联系起来，让学生从错题中得到收获。

例：以某三甲医院某个病区流行性感冒为例，医生对这个病区的病人规定每人早晚6点准时服药一片，这片药的含药量为220毫克，而基于抗药反应，人体在服用这个药物后，一天24小时会有两次从体内滤出60%的药物，一旦在体内残留的药物超过386毫克，人体就会产生不适。比如有个病人在某天的下午三点第一次服药，到第二天下午三点服药后，他体内残留的药物有多少？对于病人来说，长期服用这类药物是否会产生副作用？

在这道题中，不少学生出现了错解。有的学生是对这样冗长的文字题无法把握，不知所措，而有的学生做错的原因是没有建立数列模型。在讲评中，作者引导学生根据题意建立了数列模型，写出相邻两项an与an-1的关系式，以此求出取值范围。

2.讲方法

数学解题方法多种多样，有一些题目还有多种解题方法，学生在答题的时候为了争取答题时间，不会去尝试每一种解题方法，教师在讲评过程中可以跟学生一起探索多种解题方法，以提高学生今后的解题效率。

例如集合的概念比较复杂，具有较强的逻辑性和抽象性，学生在解集合题目的时候，不容易发现题目中的隐含条件，最后造成错解。所以，很多学生会提出这样的疑问：明明感觉自己已经深入理解了集合的相关概念，但是为什么还会频频出错？此时教师就要教会学生解题的方法，其实解集合题的关键在于读懂题目，而且是读懂题目中的隐藏条件。

例：设全集U={6，9，3a2+6a-9}，A={|6a-3|，6}，CUA={15}，实数a的值是多少？

学生的错解是：由CU A={15}，可知15∈U，15?埸A，因此，3a2+6a-9=15，|6a-3|≠15，解得：a=-4或a=2。学生错解的原因在于：学生在解题时没有注意到题目中隐含的条件——全集U包含了集合A的所有元素，如果a=-4，集合A={6,27}，U={6,9,15}，很明显这和全集的概念是不符的。所以正确的解法应该是通过3a2+6a-9=15，|6a-3|≠15解出a后，还要检验此时的a是否满足A?哿U，所以解得：a=2。

三、“变”：变式训练提升思维

数学是一门灵活性较强的学科，如果仅仅将试卷的错误题目讲述一遍，学生很可能对这一道题会做了，但是还没有学会做这一类题。怎样才能让学生通过做一道题掌握一类题呢？作者认为变式训练是一个很好的思路，也有助于学生提升思维的深度和广度。

变式训练在讲评课中应用较多，也比较容易巩固学生的试卷答题能力。比如在排列组合的知识点讲评中，不少学生对于教师所讲的题目自认为已经完全理解了，这时候，教师可以通过变式训练来检验讲评效果。

例：如图所示，给一幅画的5个区域着色，要求相邻区域不能涂同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有多少种？

学生典型的错误是：从区域①出发有4色可选，接着涂区域②有3色可选，区域③的颜色不同于①②，有2色可选，区域④不同于①③，有2色可选，区域⑤不同于①②④，有1色可选，就会列出4×3×2×2×1=48种。

分析：学生的错误是没有分析到本题中②④可以同色，同理③⑤也可以同色。

当②④同色时，按①-②-③-④-⑤顺序涂色，有4×3×2×2×1=48种；

当②④不同色时，按①-②-③-④-⑤顺序涂色，有4×3×2×1×1=24种

由加法原理可知48+24=72种。学生出现错误主要是分类标准不明确造成的，为了进一步巩固学生对于知识点的把握，作者变换了数据，甚至将同类型的题目呈现出来，检验学生是否可以避免“两次犯同一个错误”。

四、“思”：积极温故提升总结

思，是数学讲评课的最终目标，通过讲评，我们要有所收获、有所启发、有所成长。那么就需要学生在讲评课结束之后积极复习并总结提升。为此，作者建议学生每人准备一个错题集，将每次讲评课后有代表性的习题记录下来，写下详细的解题过程和具体方法，并在旁边注明错因等。

对于错题集的整理，作者建议学生可以“自由发挥”，结合自己的学习习惯进行整理，并且鼓励学生之间相互分享错题集，以促进学生之间的合作学习。

总之，高中数学讲评课并不是“炒冷饭”，而是对学生过去所学的知识点进行解析、消化、巩固的过程。作为教师，应该鼓励学生养成良好的解题思路，养成及时温习的好习惯。同时，作者也鼓励学生利用业余时间与教师共同探讨，形成和谐的师生关系，也为教与学拓宽思路。

摘要：数学复习的最佳方式无疑是试卷讲评，通过试卷讲评，教师可以有效完成教学相长的目标。科学有效的试卷讲评应突出四个环节，即“析”：教与学的薄弱环节；“讲”：解题的方法和策略；“变”：变式训练提升思维；“思”：积极温故提升总结。教师通过试卷讲评可以及时全面地了解学生掌握知识的情况，再挑出重点难点加以巩固，使学生对过去所学的知识点进行解析、消化、巩固。

关键词：试卷讲评薄弱环节解题方法变式训练提升总结

子曰：“温故而知新，可以为师矣。”而数学复习的最佳方式无疑是试卷讲评，通过试卷讲评，教师可以有效完成教学相长的目标。通过学生所答的试卷，教师可以及时了解学生掌握知识的情况，再通过试卷讲评挑出重点难点加以巩固。但是如何进行科学有效的试卷讲评呢？很多教师在讲评课中并没有仔细思考这个问题，导致讲评课效率低下，学生并没有在讲评课中有所收获。作者在教学实践中，将讲评课提炼为四个字：析、讲、变、思，也就是作者所谓的“讲评之道”。

一、“析”：教与学的薄弱环节

析，顾名思义，是指分析。教师在试卷讲评开展之前，应该对学生的试卷作一个整体和细节上的分析，比如失分点出现在哪里？试卷考查的重点在哪里？哪些方面的知识点需要学生进一步巩固和完善？教师还应该收集卷面信息，对学生的试卷进行全面的分析和统计，比如班级的平均分和及格率、每道题的失分情况等。结合这些具体的分析，全面了解教与学的薄弱环节，并针对这些薄弱环节加以提升。

例如在试卷中，作者发现很多学生在这样一道基础题中经常出现错误。

例：函数f(x)=sin x+2|sinx|,x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是什么？

作者发现不少学生得到的解为[0，3]，分析他们错解的过程：学生一般都会先通过f(x)=3sin x,x∈[0，π]-sin x,x∈[π，2π]得到f(x)的分段表达式，从中得到f(x)的值域为[0，3]，基于f(x)与y=k有交点，所以得到k∈[0，3]。

通过分析，作者发现学生之所以出现错解，原因是对y=f(x)的图象与y=k有两个交点没有完全搞清楚，仅仅考虑到y=f(x)的图象与y=k有交点，并且没想到若k=1，那么这图象中就会产生三个交点了。另外，一些学生对于图象的处理存在问题，把y=-sin x画错了，这里存在一个翻折问题，把x∈[π,2π]时，y=-sin x的图象画在了轴的下方，导致了错误。作者在讲评前看到有接近三分之一的学生在这道题中出现了错误，于是了解到学生对于“三角函数的图象和性质”这一块的知识点和内容并没有完全吃透，所以在讲评中会再次带领学生回顾三角函数的相关知识点，结合其公式同学生一步步进行推理，以达到巩固的目的。

二、“讲”：解题的方法和策略

“讲”是讲评课的重要环节，教师主要针对以上分析的情况，将解题的方法和策略教给学生。“讲”主要包括讲错题和讲方法。

1.讲错题

学生在解答试卷的过程中，难免会出 现一些错误，所以教师要引导学生以正确的心态来对待这些错误，将错题与教材的知识点捆绑、联系起来，让学生从错题中得到收获。

例：以某三甲医院某个病区流行性感冒为例，医生对这个病区的病人规定每人早晚6点准时服药一片，这片药的含药量为220毫克，而基于抗药反应，人体在服用这个药物后，一天24小时会有两次从体内滤出60%的药物，一旦在体内残留的药物超过386毫克，人体就会产生不适。比如有个病人在某天的下午三点第一次服药，到第二天下午三点服药后，他体内残留的药物有多少？对于病人来说，长期服用这类药物是否会产生副作用？

在这道题中，不少学生出现了错解。有的学生是对这样冗长的文字题无法把握，不知所措，而有的学生做错的原因是没有建立数列模型。在讲评中，作者引导学生根据题意建立了数列模型，写出相邻两项an与an-1的关系式，以此求出取值范围。

2.讲方法

数学解题方法多种多样，有一些题目还有多种解题方法，学生在答题的时候为了争取答题时间，不会去尝试每一种解题方法，教师在讲评过程中可以跟学生一起探索多种解题方法，以提高学生今后的解题效率。

例如集合的概念比较复杂，具有较强的逻辑性和抽象性，学生在解集合题目的时候，不容易发现题目中的隐含条件，最后造成错解。所以，很多学生会提出这样的疑问：明明感觉自己已经深入理解了集合的相关概念，但是为什么还会频频出错？此时教师就要教会学生解题的方法，其实解集合题的关键在于读懂题目，而且是读懂题目中的隐藏条件。

例：设全集U={6，9，3a2+6a-9}，A={|6a-3|，6}，CUA={15}，实数a的值是多少？

学生的错解是：由CU A={15}，可知15∈U，15?埸A，因此，3a2+6a-9=15，|6a-3|≠15，解得：a=-4或a=2。学生错解的原因在于：学生在解题时没有注意到题目中隐含的条件——全集U包含了集合A的所有元素，如果a=-4，集合A={6,27}，U={6,9,15}，很明显这和全集的概念是不符的。所以正确的解法应该是通过3a2+6a-9=15，|6a-3|≠15解出a后，还要检验此时的a是否满足A?哿U，所以解得：a=2。

三、“变”：变式训练提升思维

数学是一门灵活性较强的学科，如果仅仅将试卷的错误题目讲述一遍，学生很可能对这一道题会做了，但是还没有学会做这一类题。怎样才能让学生通过做一道题掌握一类题呢？作者认为变式训练是一个很好的思路，也有助于学生提升思维的深度和广度。

变式训练在讲评课中应用较多，也比较容易巩固学生的试卷答题能力。比如在排列组合的知识点讲评中，不少学生对于教师所讲的题目自认为已经完全理解了，这时候，教师可以通过变式训练来检验讲评效果。

例：如图所示，给一幅画的5个区域着色，要求相邻区域不能涂同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有多少种？

学生典型的错误是：从区域①出发有4色可选，接着涂区域②有3色可选，区域③的颜色不同于①②，有2色可选，区域④不同于①③，有2色可选，区域⑤不同于①②④，有1色可选，就会列出4×3×2×2×1=48种。

分析：学生的错误是没有分析到本题中②④可以同色，同理③⑤也可以同色。

当②④同色时，按①-②-③-④-⑤顺序涂色，有4×3×2×2×1=48种；

当②④不同色时，按①-②-③-④-⑤顺序涂色，有4×3×2×1×1=24种

由加法原理可知48+24=72种。学生出现错误主要是分类标准不明确造成的，为了进一步巩固学生对于知识点的把握，作者变换了数据，甚至将同类型的题目呈现出来，检验学生是否可以避免“两次犯同一个错误”。

四、“思”：积极温故提升总结

思，是数学讲评课的最终目标，通过讲评，我们要有所收获、有所启发、有所成长。那么就需要学生在讲评课结束之后积极复习并总结提升。为此，作者建议学生每人准备一个错题集，将每次讲评课后有代表性的习题记录下来，写下详细的解题过程和具体方法，并在旁边注明错因等。

对于错题集的整理，作者建议学生可以“自由发挥”，结合自己的学习习惯进行整理，并且鼓励学生之间相互分享错题集，以促进学生之间的合作学习。

总之，高中数学讲评课并不是“炒冷饭”，而是对学生过去所学的知识点进行解析、消化、巩固的过程。作为教师，应该鼓励学生养成良好的解题思路，养成及时温习的好习惯。同时，作者也鼓励学生利用业余时间与教师共同探讨，形成和谐的师生关系，也为教与学拓宽思路。

摘要：数学复习的最佳方式无疑是试卷讲评，通过试卷讲评，教师可以有效完成教学相长的目标。科学有效的试卷讲评应突出四个环节，即“析”：教与学的薄弱环节；“讲”：解题的方法和策略；“变”：变式训练提升思维；“思”：积极温故提升总结。教师通过试卷讲评可以及时全面地了解学生掌握知识的情况，再挑出重点难点加以巩固，使学生对过去所学的知识点进行解析、消化、巩固。

关键词：试卷讲评薄弱环节解题方法变式训练提升总结

子曰：“温故而知新，可以为师矣。”而数学复习的最佳方式无疑是试卷讲评，通过试卷讲评，教师可以有效完成教学相长的目标。通过学生所答的试卷，教师可以及时了解学生掌握知识的情况，再通过试卷讲评挑出重点难点加以巩固。但是如何进行科学有效的试卷讲评呢？很多教师在讲评课中并没有仔细思考这个问题，导致讲评课效率低下，学生并没有在讲评课中有所收获。作者在教学实践中，将讲评课提炼为四个字：析、讲、变、思，也就是作者所谓的“讲评之道”。

一、“析”：教与学的薄弱环节

析，顾名思义，是指分析。教师在试卷讲评开展之前，应该对学生的试卷作一个整体和细节上的分析，比如失分点出现在哪里？试卷考查的重点在哪里？哪些方面的知识点需要学生进一步巩固和完善？教师还应该收集卷面信息，对学生的试卷进行全面的分析和统计，比如班级的平均分和及格率、每道题的失分情况等。结合这些具体的分析，全面了解教与学的薄弱环节，并针对这些薄弱环节加以提升。

例如在试卷中，作者发现很多学生在这样一道基础题中经常出现错误。

例：函数f(x)=sin x+2|sinx|,x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是什么？

作者发现不少学生得到的解为[0，3]，分析他们错解的过程：学生一般都会先通过f(x)=3sin x,x∈[0，π]-sin x,x∈[π，2π]得到f(x)的分段表达式，从中得到f(x)的值域为[0，3]，基于f(x)与y=k有交点，所以得到k∈[0，3]。

通过分析，作者发现学生之所以出现错解，原因是对y=f(x)的图象与y=k有两个交点没有完全搞清楚，仅仅考虑到y=f(x)的图象与y=k有交点，并且没想到若k=1，那么这图象中就会产生三个交点了。另外，一些学生对于图象的处理存在问题，把y=-sin x画错了，这里存在一个翻折问题，把x∈[π,2π]时，y=-sin x的图象画在了轴的下方，导致了错误。作者在讲评前看到有接近三分之一的学生在这道题中出现了错误，于是了解到学生对于“三角函数的图象和性质”这一块的知识点和内容并没有完全吃透，所以在讲评中会再次带领学生回顾三角函数的相关知识点，结合其公式同学生一步步进行推理，以达到巩固的目的。

二、“讲”：解题的方法和策略

“讲”是讲评课的重要环节，教师主要针对以上分析的情况，将解题的方法和策略教给学生。“讲”主要包括讲错题和讲方法。

1.讲错题

学生在解答试卷的过程中，难免会出 现一些错误，所以教师要引导学生以正确的心态来对待这些错误，将错题与教材的知识点捆绑、联系起来，让学生从错题中得到收获。

例：以某三甲医院某个病区流行性感冒为例，医生对这个病区的病人规定每人早晚6点准时服药一片，这片药的含药量为220毫克，而基于抗药反应，人体在服用这个药物后，一天24小时会有两次从体内滤出60%的药物，一旦在体内残留的药物超过386毫克，人体就会产生不适。比如有个病人在某天的下午三点第一次服药，到第二天下午三点服药后，他体内残留的药物有多少？对于病人来说，长期服用这类药物是否会产生副作用？

在这道题中，不少学生出现了错解。有的学生是对这样冗长的文字题无法把握，不知所措，而有的学生做错的原因是没有建立数列模型。在讲评中，作者引导学生根据题意建立了数列模型，写出相邻两项an与an-1的关系式，以此求出取值范围。

2.讲方法

数学解题方法多种多样，有一些题目还有多种解题方法，学生在答题的时候为了争取答题时间，不会去尝试每一种解题方法，教师在讲评过程中可以跟学生一起探索多种解题方法，以提高学生今后的解题效率。

例如集合的概念比较复杂，具有较强的逻辑性和抽象性，学生在解集合题目的时候，不容易发现题目中的隐含条件，最后造成错解。所以，很多学生会提出这样的疑问：明明感觉自己已经深入理解了集合的相关概念，但是为什么还会频频出错？此时教师就要教会学生解题的方法，其实解集合题的关键在于读懂题目，而且是读懂题目中的隐藏条件。

例：设全集U={6，9，3a2+6a-9}，A={|6a-3|，6}，CUA={15}，实数a的值是多少？

学生的错解是：由CU A={15}，可知15∈U，15?埸A，因此，3a2+6a-9=15，|6a-3|≠15，解得：a=-4或a=2。学生错解的原因在于：学生在解题时没有注意到题目中隐含的条件——全集U包含了集合A的所有元素，如果a=-4，集合A={6,27}，U={6,9,15}，很明显这和全集的概念是不符的。所以正确的解法应该是通过3a2+6a-9=15，|6a-3|≠15解出a后，还要检验此时的a是否满足A?哿U，所以解得：a=2。

三、“变”：变式训练提升思维

数学是一门灵活性较强的学科，如果仅仅将试卷的错误题目讲述一遍，学生很可能对这一道题会做了，但是还没有学会做这一类题。怎样才能让学生通过做一道题掌握一类题呢？作者认为变式训练是一个很好的思路，也有助于学生提升思维的深度和广度。

变式训练在讲评课中应用较多，也比较容易巩固学生的试卷答题能力。比如在排列组合的知识点讲评中，不少学生对于教师所讲的题目自认为已经完全理解了，这时候，教师可以通过变式训练来检验讲评效果。

例：如图所示，给一幅画的5个区域着色，要求相邻区域不能涂同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有多少种？

学生典型的错误是：从区域①出发有4色可选，接着涂区域②有3色可选，区域③的颜色不同于①②，有2色可选，区域④不同于①③，有2色可选，区域⑤不同于①②④，有1色可选，就会列出4×3×2×2×1=48种。

分析：学生的错误是没有分析到本题中②④可以同色，同理③⑤也可以同色。

当②④同色时，按①-②-③-④-⑤顺序涂色，有4×3×2×2×1=48种；

当②④不同色时，按①-②-③-④-⑤顺序涂色，有4×3×2×1×1=24种

由加法原理可知48+24=72种。学生出现错误主要是分类标准不明确造成的，为了进一步巩固学生对于知识点的把握，作者变换了数据，甚至将同类型的题目呈现出来，检验学生是否可以避免“两次犯同一个错误”。

四、“思”：积极温故提升总结

思，是数学讲评课的最终目标，通过讲评，我们要有所收获、有所启发、有所成长。那么就需要学生在讲评课结束之后积极复习并总结提升。为此，作者建议学生每人准备一个错题集，将每次讲评课后有代表性的习题记录下来，写下详细的解题过程和具体方法，并在旁边注明错因等。

对于错题集的整理，作者建议学生可以“自由发挥”，结合自己的学习习惯进行整理，并且鼓励学生之间相互分享错题集，以促进学生之间的合作学习。

总之，高中数学讲评课并不是“炒冷饭”，而是对学生过去所学的知识点进行解析、消化、巩固的过程。作为教师，应该鼓励学生养成良好的解题思路，养成及时温习的好习惯。同时，作者也鼓励学生利用业余时间与教师共同探讨，形成和谐的师生关系，也为教与学拓宽思路。