在“反比例函数”中感悟数学思想

沈璇

一、 数形结合思想

所谓数形结合思想是指利用数量关系与图形的结合，寻求解答的一种解题策略. 其将抽象的数学语言与直观的图形相结合，从而达到以形助数、以数解形的效果.

1. 以“形”助“数”

例1 如图1，点P是反比例函数y=图像上的一点，矩形PAOB的面积为3，则函数解析式为______.

【解析】观察图像，结合k的几何意义得k=3，又因为图像位于二、四象限，所以k<0，所以k=-3，解析式为y=-.

2. 由“数”解“形”

【解析】由解析式知，此函数图像位于一、三象限，在A中，点（1，-3）在第四象限，所以双曲线不经过这个点，选项A错；在C中，此函数在每个象限内都是y随x增大而减小，所以选项C错；在D中，直线y=-x位于二、四象限与双曲线无交点，选项D错. 正确答案选B.

3. 数形结合

【解析】根据两函数的交点坐标E（-1，2），结合图像可知，当y1>y2>0时，x的取值范围是x<-1，再在数轴上表示出来.因此选A.

【点评】例1中，由图形显现k的几何意义，从而确定k值；例2中，通过函数解析式确定函数图像，从而解题；例3中，依据交点坐标，结合图像，得出x的取值范围. 此方法比用代数方法解不等式要简单得多.数形结合是本章重要的思想方法.

二、 转化思想

所谓转化思想就是将未知问题或难以解决的问题，通过观察、分析、类比等途径，转化为已经解决或易于解决的问题，其实质是将“新知识”转化为“旧知识”，从而获得解决的一种策略.

例4 已知一次函数y=x+2与反比例函数y=，其中一次函数y=x+2的图像经过点P（k，5）.

①试确定反比例函数的表达式；

②若点Q是上述一次函数与反比例函数图像在第三象限的交点，求点Q的坐标.

【解析】①因一次函数y=x+2的图像经过点P（k，5），所以得5=k+2，解得k=3，

【点评】解①题的关键在于将点P坐标代入一次函数解析式中，转化为关于k的方程，通过解方程得以求解；解②题的关键在于将求两个函数图像的交点坐标转化为求方程组的解，通过求解方程组得出交点坐标.

三、 整体代入思想

所谓整体代入思想是指在很难求出字母的值或者根本就求不出字母值的时候，将关于该字母的一个代数式进行整体代入，从而得以解题的一种策略.

例5 设函数y=与y=x-1的图像的交点坐标为（a，b），则-的值为______.

【点评】本题无需求出字母a与b的值，根据题意，适当变形后，将其整体代入，从而得以求解.

四、 函数建模思想

所谓函数建模思想是指将错综复杂的实际问题简化、抽象为数学问题，即用数学语言描述实际现象，并通过构建函数模型解决问题的一种策略.

例6 （2013·益阳）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种. 如图3是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线y=的一部分. 请根据图中信息解答下列问题：

①恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？

②求k的值；

③当x=16时，大棚内的温度约为多少度？

【点评】反比例函数是能够刻画现实生活中某些情境的数学模型. 一般先把题目中的实际条件转化为数学条件，确定函数解析式，再利用函数解析式解决实际问题.

（作者单位：江苏省泗阳县实验初级中学）

一、 数形结合思想

所谓数形结合思想是指利用数量关系与图形的结合，寻求解答的一种解题策略. 其将抽象的数学语言与直观的图形相结合，从而达到以形助数、以数解形的效果.

1. 以“形”助“数”

例1 如图1，点P是反比例函数y=图像上的一点，矩形PAOB的面积为3，则函数解析式为______.

【解析】观察图像，结合k的几何意义得k=3，又因为图像位于二、四象限，所以k<0，所以k=-3，解析式为y=-.

2. 由“数”解“形”

【解析】由解析式知，此函数图像位于一、三象限，在A中，点（1，-3）在第四象限，所以双曲线不经过这个点，选项A错；在C中，此函数在每个象限内都是y随x增大而减小，所以选项C错；在D中，直线y=-x位于二、四象限与双曲线无交点，选项D错. 正确答案选B.

3. 数形结合

【解析】根据两函数的交点坐标E（-1，2），结合图像可知，当y1>y2>0时，x的取值范围是x<-1，再在数轴上表示出来.因此选A.

【点评】例1中，由图形显现k的几何意义，从而确定k值；例2中，通过函数解析式确定函数图像，从而解题；例3中，依据交点坐标，结合图像，得出x的取值范围. 此方法比用代数方法解不等式要简单得多.数形结合是本章重要的思想方法.

二、 转化思想

所谓转化思想就是将未知问题或难以解决的问题，通过观察、分析、类比等途径，转化为已经解决或易于解决的问题，其实质是将“新知识”转化为“旧知识”，从而获得解决的一种策略.

例4 已知一次函数y=x+2与反比例函数y=，其中一次函数y=x+2的图像经过点P（k，5）.

①试确定反比例函数的表达式；

②若点Q是上述一次函数与反比例函数图像在第三象限的交点，求点Q的坐标.

【解析】①因一次函数y=x+2的图像经过点P（k，5），所以得5=k+2，解得k=3，

【点评】解①题的关键在于将点P坐标代入一次函数解析式中，转化为关于k的方程，通过解方程得以求解；解②题的关键在于将求两个函数图像的交点坐标转化为求方程组的解，通过求解方程组得出交点坐标.

三、 整体代入思想

所谓整体代入思想是指在很难求出字母的值或者根本就求不出字母值的时候，将关于该字母的一个代数式进行整体代入，从而得以解题的一种策略.

例5 设函数y=与y=x-1的图像的交点坐标为（a，b），则-的值为______.

【点评】本题无需求出字母a与b的值，根据题意，适当变形后，将其整体代入，从而得以求解.

四、 函数建模思想

所谓函数建模思想是指将错综复杂的实际问题简化、抽象为数学问题，即用数学语言描述实际现象，并通过构建函数模型解决问题的一种策略.

例6 （2013·益阳）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种. 如图3是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线y=的一部分. 请根据图中信息解答下列问题：

①恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？

②求k的值；

③当x=16时，大棚内的温度约为多少度？

【点评】反比例函数是能够刻画现实生活中某些情境的数学模型. 一般先把题目中的实际条件转化为数学条件，确定函数解析式，再利用函数解析式解决实际问题.

（作者单位：江苏省泗阳县实验初级中学）

一、 数形结合思想

所谓数形结合思想是指利用数量关系与图形的结合，寻求解答的一种解题策略. 其将抽象的数学语言与直观的图形相结合，从而达到以形助数、以数解形的效果.

1. 以“形”助“数”

例1 如图1，点P是反比例函数y=图像上的一点，矩形PAOB的面积为3，则函数解析式为______.

【解析】观察图像，结合k的几何意义得k=3，又因为图像位于二、四象限，所以k<0，所以k=-3，解析式为y=-.

2. 由“数”解“形”

【解析】由解析式知，此函数图像位于一、三象限，在A中，点（1，-3）在第四象限，所以双曲线不经过这个点，选项A错；在C中，此函数在每个象限内都是y随x增大而减小，所以选项C错；在D中，直线y=-x位于二、四象限与双曲线无交点，选项D错. 正确答案选B.

3. 数形结合

【解析】根据两函数的交点坐标E（-1，2），结合图像可知，当y1>y2>0时，x的取值范围是x<-1，再在数轴上表示出来.因此选A.

【点评】例1中，由图形显现k的几何意义，从而确定k值；例2中，通过函数解析式确定函数图像，从而解题；例3中，依据交点坐标，结合图像，得出x的取值范围. 此方法比用代数方法解不等式要简单得多.数形结合是本章重要的思想方法.

二、 转化思想

所谓转化思想就是将未知问题或难以解决的问题，通过观察、分析、类比等途径，转化为已经解决或易于解决的问题，其实质是将“新知识”转化为“旧知识”，从而获得解决的一种策略.

例4 已知一次函数y=x+2与反比例函数y=，其中一次函数y=x+2的图像经过点P（k，5）.

①试确定反比例函数的表达式；

②若点Q是上述一次函数与反比例函数图像在第三象限的交点，求点Q的坐标.

【解析】①因一次函数y=x+2的图像经过点P（k，5），所以得5=k+2，解得k=3，

【点评】解①题的关键在于将点P坐标代入一次函数解析式中，转化为关于k的方程，通过解方程得以求解；解②题的关键在于将求两个函数图像的交点坐标转化为求方程组的解，通过求解方程组得出交点坐标.

三、 整体代入思想

所谓整体代入思想是指在很难求出字母的值或者根本就求不出字母值的时候，将关于该字母的一个代数式进行整体代入，从而得以解题的一种策略.

例5 设函数y=与y=x-1的图像的交点坐标为（a，b），则-的值为______.

【点评】本题无需求出字母a与b的值，根据题意，适当变形后，将其整体代入，从而得以求解.

四、 函数建模思想

所谓函数建模思想是指将错综复杂的实际问题简化、抽象为数学问题，即用数学语言描述实际现象，并通过构建函数模型解决问题的一种策略.

例6 （2013·益阳）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种. 如图3是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线y=的一部分. 请根据图中信息解答下列问题：

①恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？

②求k的值；

③当x=16时，大棚内的温度约为多少度？

【点评】反比例函数是能够刻画现实生活中某些情境的数学模型. 一般先把题目中的实际条件转化为数学条件，确定函数解析式，再利用函数解析式解决实际问题.

（作者单位：江苏省泗阳县实验初级中学）