探究解方程(组)的检验问题

宋扬

［摘要］ 解方程包含着“解方程”和“检验”两个步骤，并且缺一不可，无论解哪类方程（组）都是如此，本文就解方程（组）的检验问题进行一些研讨.

［关键词］ 解方程（组）；检验；恒等变形；同解原理

解方程（组）是从已知探求未知的重要途径，它在中学尤其是初中教学里所占比重较大. 尽管在方程（组）的教学中，无论对概念、解法还是应用似乎感到问题不大，但从理论上讲还有许多问题需要加以研究. 本文就解方程（组）的检验问题进行一些研讨.

在解一元一次方程时，初中课本对“检验”有不同的提法：先提出“检验”的步骤，这时是把检验作为解方程的步骤之一；然后提出“自己检验最好用口算”，这里对检验好像还作要求，只不过对检验方式作了改进；最后连检验提都不提了. 那么究竟要不要检验？在解二元一次方程组时，有的写了检验，有的不写；对三元一次方程组又说“检验一般不必写出”；在解一元二次方程和简单的高次方程时，对“检验”只字不提. 这一系列的处理是否妥当？回答是肯定的. 一言蔽之：凡是解整式方程（组）不必检验！如果真要检验，其作用也只是为验算正确与否，故这种检验可以省略.

解分式方程或无理方程时情况就大不相同了. 解分式方程时，课本对检验是这样要求的：“用同一个整式（各公式的最简公分母）去乘分式方程的两边，约去分母，化为整式方程时，最简公分母有可能为零，产生增根，所以必须检验. 为了简便起见，通常把求得的整式方程的根，逐一代入变形时所乘的整式（最简公分母）进行检验：如果不使所乘的整式为零，就是原方程的根；如果使所乘的整式为零，就是增根，必须舍去.” 在解无理方程时，课本对检验是这样要求的：“为了把无理方程变形为有理方程，需要将方程的两边都乘方相同的次数，这样就有产生增根的可能. 因此解无理方程时，必须把变形后得到的有理方程的根逐一代入原方程进行检验. 如果适合，就是原方程的根；如果不适合，就是增根.” 那么，不禁要问：①对这两种情况为什么必须检验？②可能产生增根的原因何在？③检验时，分式方程和无理方程在提法上又为什么不一样？

我们都有这样的经验：一元一次方程的求解，是经过一系列变形将其化为最简方程ax=b（a≠0)而解决的；一元二次方程（以及一些特殊的高次方程）是通过因式分解把它降次化为一元一次方程来求解的；分式方程是通过去分母化为整式方程来求解的；无理方程是经过方程两边同乘方相同的次数后，化为有理方程来求解的；二元（多元）一次方程组是通过代入消元或加减消元，将其化为一元一次方程求解；其他方程（组）是通过降次、消元化为一元一次方程求解. 总之，在解各类方程（组）的过程中，总要通过各种变形，最后化归为一元一次方程求解. 所用的变形有下述两大类型：

（1）在方程两边同加减一个数或一个整式；同乘一个不等于零的数或式子；同乘方若干次；代入消元或加减消元等，这类变形称为等式变形.

（2）在方程的一边（或两边各自）进行的如去括号、合并同类项、约分、通分、分解因式以及利用公式■·■=■，lga 2=2lga等变形，这类变形称为恒等变形（在方程的定义域内）.

这两类变形对所要解的方程的解到底会不会发生影响？这就是我们要解决的问题. 研究了方程（组）的同解理论后，对前面的若干问题就会有令人满意的答案.

先看两个实例：

例1?摇 解方程：2x+3=1.

方程两边同加-3，有2x=-2；方程两边同乘■，得x=-1. 于是我们认为x=-1是方程的解. 似乎原方程经过变形后，所得方程的解就一定是原方程的解. 其实这种理解是不完全正确的.

例2?摇 解方程：■=－2.

方程两边平方，得2x+1=4；方程两边同加-1，得2x=3. 方程两边同乘■，得x=■. 显然，该解并不是原方程的解. 因此，不能认为原方程经过变形后，所得方程的解就一定是原方程的解.

从逻辑上讲，原命题“若a则b”正确，未必其逆命题“若b则a”正确. 落实在例1和例2上，就是这个道理. 就例2而言，第一步推导过程：■=－2?圯2x+1=4?圯2x=3?圯 x=■；第二步推导过程：x=■?圯2x=3?圯2x+1=4，得不出原来的■=－2. 由于不是每一步推导都可逆，于是x=■也不是原方程的解. ?摇?摇

所谓解方程，包含“解方程”和“检验”两个步骤，并且缺一不可，无论解哪类方程（组）都是如此. 如果解了方程就认为，得出的结果就是原方程的解，那么实际上就是用“若a则b”正确同时代替了“若b则a”也正确. 对于“推导的每一步都可逆”这种可逆性（一种等价关系），取个名称，叫做同解.

根据循序渐进的教学原则，又涉及学生的知识面的局限性和可接受性，在初中要阐述较多的同解性理论是不符合实际的，课本在具体处理上做到了恰到好处. 对于一元一次方程的解法，课本总结了五个步骤：（1）去分母，（2）去括号，（3）移项，（4）合并同类项，（5）系数化为1，而这五个步骤均是方程的同解变形，所有的“检验”步骤可以省略，如果检验，作用只是为了验算计算正确与否. 理解了这个道理，就不难理解课本在解一元一次方程时，对检验的三种处理办法：要求详细检验；简略检验（用口算）；不检验.

对于一元二次方程的解题方法，课本上介绍了四种，它们的每一个步骤都是同解变形，也就没有提出检验的必要，整式方程（含一元高次方程）都是如此. 然而，在解其他类型的方程（如分式方程、无理方程等）时，未必步步都可逆，出现了非同解变形.

先看一个分式方程的例子，解方程■+■－■=1 ，解得x■=2，x■=1. 当x=2时，原方程的分母为零，显然不可能是原方程的根，它是增根. 增根产生于何处？按照上述解分式方程的一般步骤，所有的增根（如果有的话）都在去分母时所乘最简公分母等于零的那些值上，所以检验时只需将所求的根逐个代入原分式的最简公分母看是否为零. 假如使分式方程有意义而方程的两端不相等，那么一定是计算错误.

由此可见，解分式方程可能产生增根有两种观点：一种是用一个可能等于零的式子去乘以原方程的两边，就没有同解定理作保证；另一种是由分式方程变为整式方程时，对方程的两侧进行恒等变形，使定义域发生了改变而引起的.

再看一个无理方程的例子，解方程■=7－x，解得x■=5，x■=10，易知x=10是原方程的增根. 无理方程产生增根的原因之一，是在原方程有理化过程中使所乘式子（此式是由相应的乘方而得到的）得零而引起的. 但这是不是无理方程产生增根的唯一原因呢？答案是否定的. 例如，解方程■·■=■①，通过恒等变形，得到■=■②，解得x■=3，x■=-2，经检验，x=-2是原方程的增根. 方程①的定义域是x∈［1，+∞），而方程②的定义域是x∈［－5，－1］∪［1，+∞），比较方程①②的定义域，方程②的定义域比方程①的定义域扩大了［-5，-1］部分，而增根x=-2恰好就在进行恒等变形时，定义域扩大的那一部分中，这就是解无理方程可能产生增根的第二个原因.

由此可见，解无理方程可能产生增根的原因有两个：一个是由于乘方运算，把共轭因式的根带进去了，这时把最后的解代入原方程，表现为左端≠右端；另一个是在进行根式变形时，定义域的扩大所引起的，这时把最后的解代入原方程时，表现为使某个根式无意义. 因而无理方程检验的方法和作用都与分式方程不一样. 在检验方法上，分式方程可简单地代入所乘的最简公分母，看其是否等于零来判断是否为增根；而无理方程必须代入原方程检验.

非同解变形可能产生增根，但方程的非同解变形也可能引起失根（也称丢根、减根）. 对于由于方程定义域的变化，而引起根的增减可以总结为：方程两端进行恒等变形时，若定义域扩大，则可能产生增根，其增根必在定义域扩大的那一部分里；若定义域缩小，则可能产生失根，所失的根一定在定义域被缩掉的那部分里.

可以以解对数方程和三角方程为例来分析增减根的情况，其原因往往是在解方程中不可避免地要进行一些恒等变形，随之引起方程定义域的变化所造成的. 例如lgx2=lg9， lg（x2-4）-lg（x+2）=1，解这类方程，往往不是失根，就是增根，但有时候也可以避免. 如lgx2=lg9，若推出2lgx=2lg3，得到x=3，就将x=-3这一个根丢了；若推出x 2=9，得到x=±3，这就避免了丢根的情况. 至于解三角函数，也同样如此.

同解原理是解方程的理论基础，所以，不管是初中阶段的整式方程、分式方程、无理方程，还是高中阶段的对数方程、三角方程，个人认为解方程（组）的两个步骤缺一不可，特别是“检验”的步骤至关重要.