一个折叠问题的再解

李玉荣

［摘要］ 本文对一道折叠问题在《宁静致远 另辟蹊径》一文的基础上进行直接、有效的再解，感悟“通法”的解题价值，培养学生的多元思维能力.

［关键词］ 折叠；周长：解题；思维

题目?摇 如图1所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点E，F分别在AB，DC上，将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在点M处，点C落在点N处，MN交DC于点P，随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A，D重合），试求△PDM的周长．

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《中学数学》（初中版）2013年第7期朱记松老师的文章《宁静致远，另辟蹊径》给出了这个折叠问题的三种解法，其中解法1、2并不新鲜，源于下面两道中考题及其标准答案（限于篇幅，答案略）.

题1（2010江苏徐州）如图2所示，将边长为4 cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E，F分别在边AB，CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连结EP．

（1）如图3所示，若M为AD的中点，则：

①△AEM的周长=______?摇cm；

②求证：EP=AE+DP.

（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A，D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．

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题2（2012山东德州）如图4所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连结BP，BH．

（1）求证：∠APB＝∠BPH.

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？证明你的结论.

（3）设AP的长为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式. 试问：S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

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朱老师文中提供的解法3是解析法，似乎还用到高中的“斜率”知识，用解析法处理几何难题一般比较简洁，但朱老师的解法3冗长烦琐，教师读来也感觉疲惫，不耐心根本看不懂、想不到、算不出，可见，其教学参考价值不大，更谈不上培养初中生的发散思维能力. 笔者对此题很感兴趣，也曾有过研究，现将另两种解法与读者分享．

解法1?摇 如图5所示，延长DC至点G，使CG=AM，连结BG，GM，显然△BAM≌△BCG，所以BG=BM，∠AMB=∠CGB. 又因为∠AMB=∠MBC=∠BMN，所以∠BMN=∠CGB. 因为BG=BM，所以∠BGM=∠BMG. 所以∠PMG=∠PGM. 所以PM=PG，即PM=MA+CP. 所以△PDM的周长为PD＋PM＋DM＝PD＋MA＋CP＋DM＝AD＋CD＝8．

解法2?摇 如图6所示，延长DA至点G，使GM=PM，连结BG，因为∠GMB=∠MBC=∠BMP，MB=MB，所以△BMP≌△BMG. 所以BP=BG. 又BA=BC，所以Rt△BGA≌Rt△BPC. 所以GA=CP. 所以PM=MA+CP. 所以△PDM的周长为PD＋PM＋DM＝PD＋MA＋CP＋DM＝AD＋CD＝8．

评注?摇 将正方形的一边适当延长以构造全等三角形，是解决和正方形相关的几何题常用的有效方法，以上两种解法都很简洁．

波利亚的名言：掌握数学就意味着善于解题. 在数学教学中，解题活动是最基本的活动形式；学习数学，关键之一是学会解题，解题教学是教师的基本功. 学生在数学学习上的成长主要是通过解题水平来体现的，《义务教育数学课程标准》（2011版）在第三学段（7～9年级）的“学段目标”中提出：经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法. 教师通过采撷典型中考题，多角度探索考题的不同解法，并且引导学生体会各种解法的特点和优劣，深入挖掘考题的解题思路，发挥考题的最大效益，使之有效服务于教学，提高教学效率，促使学生积累良好的基本活动经验，这才是教师真功夫的体现．