数学实验:放大了的数学课堂

李连昌

［摘要］ 数学实验教学是再现数学发现过程的有效途径，它为学生提供了主动参与、积极探索、大胆实践、勇于创新的学习环境，提供了一条解决数学问题的全新思路. 通过数学实验这种教与学的方式，致力于影响学生数学认知结构的建构，帮助学生本质地理解数学，培养数学精神和发现、创造的能力.

［关键词］ 数学实验；数学；课堂；能力

近段时间，笔者对“数学实验”在初中课堂中的有效开展作了自己的思考，本文试从这几个片段教学的案例来分析数学实验是如何放大我们的数学课堂的．

当我用百度搜索“数学实验”时，有近49 500 000个结果，但初中数学实验却只有不到40个，这说明这项活动在全国范围内作为实践实施还处于初级阶段．

百度文库是这样定义数学实验的：数学实验是计算机技术和数学软件引入教学后出现的新事物. 数学实验的目的是提高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识，并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力. 不同于传统的数学学习方式，它强调以学生动手为主的数学学习方式. 在数学实验中，计算机的引入和数学软件包的应用为数学的思想与方法注入了更多、更广泛的内容，使学生摆脱了繁重的、乏味的数学演算和数值计算，促进了数学同其他学科之间的结合，使得学生有时间去做更多的创造性工作．

谈到实验教学，往往容易联想到物理实验、化学实验、生物实验等；谈到学数学，自然会联想到做数学题，题海战术几乎成为数学学科的代名词. 难道数学也可以做实验？著名的数学家欧拉认为：“数学这门科学需要观察，也需要实验. ”数学家和数学教育家G·波利亚也曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面，它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学. ”在新课改实施的今天，教师的角色不再是传统意义上的“传道、授业、解惑者”，而是作为学生学习的组织者，其中一个非常重要的任务就是为学生提供自主学习、合作探究的时间和空间. 学生迷路时教师不是轻易地告诉方向，而是引导他辨明方向；教师不必把各种概念、法则、性质、公理、定理灌输给学生，而是创造合适的条件，让学生通过实验自主探索，自己“再创造”出各种数学知识．

■ 几则案例

实例1?摇 “数学实验”在创设问题情境中会激发学生兴趣，学生在这种情境中会有探究的欲望.

俗话说，“良好的开端，成功的一半. ”在上课刚开始的几分钟里，教师要遵循“强动机、浓兴趣”的原则，启迪学生的智慧，激发他们的求知欲，唤起他们的学习热情，点燃他们思维的火花，让每个学生主动参与，让每个学生真正动手. 在许多课堂的引入中，可以采用“实验引入法”. 实验引入法最大的特点就是直观形象、生动活泼，且富有启发性和趣味性，便于唤起学生的注意力，使他们仔细地观察和认真地思考. 例如，教学全等三角形的判定公理（SAS）引入时，就可以设计一个操作性的实验教学：

（1）①将班级第一到第四小组的同学划分为同一组，每人按要求画一个三角形．

②任意画∠AOB=45°，分别在射线OA，OB上截取OC=5 cm，OD=4 cm．

③将△COD剪下，把同组同学剪下的三角形叠放在一起，让学生们观察，看看发现了什么现象. （所有的三角形都能重合）

④在教师引导下，小组讨论、合作、交流，能得到怎样的数学结论呢？

（2）①将班级第五到第八小组的同学划分为同一组，每人按要求画一个三角形．

②任意画∠AOB=45°，在射线OA上截取OC=5 cm．

③运用圆规，以点A为圆心、4 cm长为半径画圆，交射线OB于点D．

④将△COD剪下，把同组同学剪下的三角形叠放在一起，再让学生们观察，会发现什么现象？（不是所有的三角形都能重合）

⑤与上面一样，两个三角形同样都有一个角为45°，有两条边分别为5 cm和4 cm，但为什么第一实验组的同学得到的三角形都重合，而第二实验组的同学得到的三角形却不能全部重合？带着问题，小组讨论、交流，又能得到怎样的数学结论？

面对全等三角形判定的第一课时——SAS公理的教学，学生对于三角形全等的条件还不清楚，像这样的引入，学生带着疑问，充分动手、动口、动脑，在实验操作中学习，探究究竟是怎么回事，应该说，让整堂课顺利地拉开了序幕．

实例2 ?摇“数学实验”将学生的学习过程从教师的口中转换到学生的手上，“数学实验”揭开了神秘数学结论的“面纱”，学生会情不自禁地喊出：我发现了……

如：无理数的概念教学

1． 实验准备：课前准备一把剪刀、两张同样大小的正方形纸片（边长视为“1”）、计算器．

2． 实验要求：

（1）让学生利用这些工具剪拼出面积为2的正方形.

（2）利用计算器探求■的小数部分．

实验说明：考虑到本节课的特点和随着学生年龄的增长，他们的思维水平也在不断提高，为此直接提出富有挑战性的数学问题“拼得的正方形的面积是多少？”“它的边长是多少？”“估计■的值在哪两个整数之间？”“能用分数表示吗？”引导学生进行数学实验与探索，发展抽象思维能力. 在探索了以上几个问题的基础上，学生真实体会到了面积为2的正方形的边长不能用有理数表示，但它确实存在，切身感受到了除有理数外还有一类数——点出概念“无理数”．

实验结果：拼图对学生来说易如反掌，通过动手操作、班级交流，全班一致认为最容易、最美观的拼图如图1.

■

因为已经学习了算术平方根的概念，学生马上就说出了大正方形的边长是■，但接下来的“用计算器探求■的小数部分”就有点困难了，教师提示：（1）输入大于1小于2的数，平方的结果比2大了，怎样调整？结果比2小呢？（2）我们能否找到一个有限小数，使得它的平方刚好等于2？（3）大家有没有发现1．4142…出现循环？那你认为在省略号的背后，有没有可能出现循环？从而引导学生体验到：事实上，■=1.4142…是一个无限不循环小数．

在动手操作实验和展示结果的过程中，增强学生的感性认识，培养合作精神，并从中体验成功的喜悦，当然，也加深了学生对概念的理解．

■ 活动后的思考

首先，“数学实验”使学生从“听”数学的学习方式改变成在教师的指导下“做”数学，对那些持怀疑态度的问题以及学生理解有困难的问题，在实验中得以确认. 过去被动地接收“现成”的数学知识，而现在像“研究者”一样去发现、探索知识. 实践表明，通过数学实验，学生对有关知识的印象比过去死记硬背深刻得多，尤其是理性化的认识能力和理解能力均得到了提高. 同时，由于学生通过实验、观察、猜想、验证、归纳、表述等活动，他们不仅形成了对数学新的理解，而且学习能力，特别是信息化时代的信息化生存能力得到了提高. 笔者曾搞过一个调查，调查毕业20年后你学的数学知识还记得什么？其中的一项“在课堂中我自己发现的知识点”，学生印象深刻. 如本次活动中王磊老师在克服“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一教学难点时，通过如下几个步骤，学生便自己发现了这一很抽象的问题.

步骤一，通过网格中两条线的关系，让学生找找是否垂直，有哪些方法.

步骤二，通过网格中过一直线上一点作直线的垂线，在透明纸上作，作出后全班同学放一起，并在实物展示台上进行展示，你发现了什么？

步骤三，抛开网格，大家用直角三角板过直线外一点作已知直线的垂线，同组的及全班的作品放在一起比较，发现了什么？用语言描述一下.

endprint

学生通过这样的动手实验，通过自己的操作发现问题，这比老师直接教印象深刻，也记得牢.

其次，数学实验缩短了学生和数学之间的距离，数学变得可爱亲近，好玩了. 如本次活动中李老师的授课“七巧板”，让学生在愉快的环境中进行了一次“玩”数学的体验. 人们普遍认为数学之所以难学，是因为数学的“抽象性”与“严谨性”，而这正是数学的优势. 正由于数学的抽象性，它才能高度概括事物的本质，也才能在广泛的领域得到应用；正由于数学语言和推理的严谨，不管自然科学还是社会科学，当从定性研究进入定量研究时都求助于数学，那么数学就非得板起严肃的面孔使人敬而远之吗？数学就不能深入浅出，使一般人容易理解吗？现在，计算机创设的数学实验似乎开辟了这样一条新路：通过“问题—探究—交流—总结—提高与回顾”这种新的学习模式，学生可以理解问题的来龙去脉，它的发现及完善过程，从感觉到理解，从意会到表述，从具体到抽象，从说明到证明，一切都在他眼前发生，抽象得易于理解，严谨得合情合理．

当然，数学并非一切都要通过学生自己做实验，有的可以通过演绎推导，有的还是通过听教师讲解才能领会得更深. 哪些适宜学生自己上机实验，哪些只需看教师的演示实验就可以了，哪些根本无需实验，这些都需要认真研究. 但现在普遍存在的问题是：许多事实都是教师“讲”出来的，有的连教师自己都没有经过必要的实验，可以设想，学生怎么能接收这些强加给他的结论呢？

再次，引入数学实验并不等于削弱教师的主导作用. 教与学的关系还是那句老话：学生是主体，教师是主导，所以只提数学实验是不够的，还必须强调“交流”，在实验基础上的交流. 最终，学生要从感性认识到达理性认识，从理解到应用，这就必须把数学作为语言符号化地存储在自己的大脑中. 因此，“口头”与“笔头”的表达与交流必不可少. 我们不同意“现在是告别黑板粉笔的时候了”的提法，不同意不用文字课本、不用纸笔只敲电脑键盘学数学的作法. 在交流的过程中，容易组织起不同意见的讨论甚至争辩，教师也可以利用这个机会启发诱导. 教师对问题的深刻阐述、机智的解题策略设计、对学生规律性错误的分析、对数学美的诠释都是宝贵的，这些并没有被数学实验所取代，但只是在交流中这些才成为学生的需要，也才能在数学教学中发挥作用. 在这种教学模式里，实验与交流的完美结合凸显了数学知识形成的完整过程，这里既有教学的个别化、小组的相互促进协作学习，又有利用全班集体环境的优势. 在这个模式中，从实验到交流的各个环节，教师的主导作用都十分突出，只不过对教师提出了更高的要求，因为过去的一切都可以按事先自己准备的讲就可以了，而现在则需要组织起有效的吸引学生的数学活动. 在我们的教学实践中，教师开始时常常抓不着上课的感觉，但实践表明，教学模式的改革跨出这一步，数学教学就会出现一种前所未有的、生动活泼的新气象．

当然，练习对于学好数学、巩固和应用数学知识，同样绝不可少. 一个开放性的题库便于教师灵活组织，最适合学生当前水平的练习，能极大地提高工作效率，使教育资源做到可重复使用. 教育技术可以实现对学生练习的及时反馈与科学评估，能更好地发挥每一次练习的作用. 回顾则要求学生在学过一个段落之后对所学知识点、所用的数学思想方法进行反思与总结. 我们设想，如果学生的数学学习经历了这样一个过程，那他不仅学到了相关的数学知识，而且学到了学习数学的方法．

endprint

学生通过这样的动手实验，通过自己的操作发现问题，这比老师直接教印象深刻，也记得牢.

其次，数学实验缩短了学生和数学之间的距离，数学变得可爱亲近，好玩了. 如本次活动中李老师的授课“七巧板”，让学生在愉快的环境中进行了一次“玩”数学的体验. 人们普遍认为数学之所以难学，是因为数学的“抽象性”与“严谨性”，而这正是数学的优势. 正由于数学的抽象性，它才能高度概括事物的本质，也才能在广泛的领域得到应用；正由于数学语言和推理的严谨，不管自然科学还是社会科学，当从定性研究进入定量研究时都求助于数学，那么数学就非得板起严肃的面孔使人敬而远之吗？数学就不能深入浅出，使一般人容易理解吗？现在，计算机创设的数学实验似乎开辟了这样一条新路：通过“问题—探究—交流—总结—提高与回顾”这种新的学习模式，学生可以理解问题的来龙去脉，它的发现及完善过程，从感觉到理解，从意会到表述，从具体到抽象，从说明到证明，一切都在他眼前发生，抽象得易于理解，严谨得合情合理．

当然，数学并非一切都要通过学生自己做实验，有的可以通过演绎推导，有的还是通过听教师讲解才能领会得更深. 哪些适宜学生自己上机实验，哪些只需看教师的演示实验就可以了，哪些根本无需实验，这些都需要认真研究. 但现在普遍存在的问题是：许多事实都是教师“讲”出来的，有的连教师自己都没有经过必要的实验，可以设想，学生怎么能接收这些强加给他的结论呢？

再次，引入数学实验并不等于削弱教师的主导作用. 教与学的关系还是那句老话：学生是主体，教师是主导，所以只提数学实验是不够的，还必须强调“交流”，在实验基础上的交流. 最终，学生要从感性认识到达理性认识，从理解到应用，这就必须把数学作为语言符号化地存储在自己的大脑中. 因此，“口头”与“笔头”的表达与交流必不可少. 我们不同意“现在是告别黑板粉笔的时候了”的提法，不同意不用文字课本、不用纸笔只敲电脑键盘学数学的作法. 在交流的过程中，容易组织起不同意见的讨论甚至争辩，教师也可以利用这个机会启发诱导. 教师对问题的深刻阐述、机智的解题策略设计、对学生规律性错误的分析、对数学美的诠释都是宝贵的，这些并没有被数学实验所取代，但只是在交流中这些才成为学生的需要，也才能在数学教学中发挥作用. 在这种教学模式里，实验与交流的完美结合凸显了数学知识形成的完整过程，这里既有教学的个别化、小组的相互促进协作学习，又有利用全班集体环境的优势. 在这个模式中，从实验到交流的各个环节，教师的主导作用都十分突出，只不过对教师提出了更高的要求，因为过去的一切都可以按事先自己准备的讲就可以了，而现在则需要组织起有效的吸引学生的数学活动. 在我们的教学实践中，教师开始时常常抓不着上课的感觉，但实践表明，教学模式的改革跨出这一步，数学教学就会出现一种前所未有的、生动活泼的新气象．

当然，练习对于学好数学、巩固和应用数学知识，同样绝不可少. 一个开放性的题库便于教师灵活组织，最适合学生当前水平的练习，能极大地提高工作效率，使教育资源做到可重复使用. 教育技术可以实现对学生练习的及时反馈与科学评估，能更好地发挥每一次练习的作用. 回顾则要求学生在学过一个段落之后对所学知识点、所用的数学思想方法进行反思与总结. 我们设想，如果学生的数学学习经历了这样一个过程，那他不仅学到了相关的数学知识，而且学到了学习数学的方法．

endprint

学生通过这样的动手实验，通过自己的操作发现问题，这比老师直接教印象深刻，也记得牢.

其次，数学实验缩短了学生和数学之间的距离，数学变得可爱亲近，好玩了. 如本次活动中李老师的授课“七巧板”，让学生在愉快的环境中进行了一次“玩”数学的体验. 人们普遍认为数学之所以难学，是因为数学的“抽象性”与“严谨性”，而这正是数学的优势. 正由于数学的抽象性，它才能高度概括事物的本质，也才能在广泛的领域得到应用；正由于数学语言和推理的严谨，不管自然科学还是社会科学，当从定性研究进入定量研究时都求助于数学，那么数学就非得板起严肃的面孔使人敬而远之吗？数学就不能深入浅出，使一般人容易理解吗？现在，计算机创设的数学实验似乎开辟了这样一条新路：通过“问题—探究—交流—总结—提高与回顾”这种新的学习模式，学生可以理解问题的来龙去脉，它的发现及完善过程，从感觉到理解，从意会到表述，从具体到抽象，从说明到证明，一切都在他眼前发生，抽象得易于理解，严谨得合情合理．

当然，数学并非一切都要通过学生自己做实验，有的可以通过演绎推导，有的还是通过听教师讲解才能领会得更深. 哪些适宜学生自己上机实验，哪些只需看教师的演示实验就可以了，哪些根本无需实验，这些都需要认真研究. 但现在普遍存在的问题是：许多事实都是教师“讲”出来的，有的连教师自己都没有经过必要的实验，可以设想，学生怎么能接收这些强加给他的结论呢？

再次，引入数学实验并不等于削弱教师的主导作用. 教与学的关系还是那句老话：学生是主体，教师是主导，所以只提数学实验是不够的，还必须强调“交流”，在实验基础上的交流. 最终，学生要从感性认识到达理性认识，从理解到应用，这就必须把数学作为语言符号化地存储在自己的大脑中. 因此，“口头”与“笔头”的表达与交流必不可少. 我们不同意“现在是告别黑板粉笔的时候了”的提法，不同意不用文字课本、不用纸笔只敲电脑键盘学数学的作法. 在交流的过程中，容易组织起不同意见的讨论甚至争辩，教师也可以利用这个机会启发诱导. 教师对问题的深刻阐述、机智的解题策略设计、对学生规律性错误的分析、对数学美的诠释都是宝贵的，这些并没有被数学实验所取代，但只是在交流中这些才成为学生的需要，也才能在数学教学中发挥作用. 在这种教学模式里，实验与交流的完美结合凸显了数学知识形成的完整过程，这里既有教学的个别化、小组的相互促进协作学习，又有利用全班集体环境的优势. 在这个模式中，从实验到交流的各个环节，教师的主导作用都十分突出，只不过对教师提出了更高的要求，因为过去的一切都可以按事先自己准备的讲就可以了，而现在则需要组织起有效的吸引学生的数学活动. 在我们的教学实践中，教师开始时常常抓不着上课的感觉，但实践表明，教学模式的改革跨出这一步，数学教学就会出现一种前所未有的、生动活泼的新气象．

当然，练习对于学好数学、巩固和应用数学知识，同样绝不可少. 一个开放性的题库便于教师灵活组织，最适合学生当前水平的练习，能极大地提高工作效率，使教育资源做到可重复使用. 教育技术可以实现对学生练习的及时反馈与科学评估，能更好地发挥每一次练习的作用. 回顾则要求学生在学过一个段落之后对所学知识点、所用的数学思想方法进行反思与总结. 我们设想，如果学生的数学学习经历了这样一个过程，那他不仅学到了相关的数学知识，而且学到了学习数学的方法．

endprint