折叠中的数学思想“三步曲”

陈燕飞

摘 要： 折叠以“形”的变化，藏有“数”的问题，是近年中考多出现的内容，也是学生比较困难的部分.如何突破该难点？教师在学生初识折叠——八年级时多琢磨、多尝试，培养学生良好的思维习惯.本文着重探讨折叠问题中的数学思想，引导学生感受其中的“变”与“不变”，找到解决这类问题的常规策略.

关键词： 折叠 数形结合思想 建模思想 方程思想

折叠是近年中考重点考查的内容，也是学生一直比较困难的习题，这是因为学生不能认识折叠的本质，综合应用知识解决问题.将突破点前移至八年级数学中《勾股定理》、《四边形》等章节成为有益的尝试，目的在于让学生在初识折叠时就养成良好的思维习惯，找到解决这类问题的常规策略.本文着重探讨在八年级折叠问题中的数学思想，从中抽象出基本图形的基本规律，引导学生感受其中的“变”与“不变”，灵活地解决问题.

一、初识折叠：直角三角形中的折叠问题

【分析】此问是帮助学生理解题意，关键在于：

1.在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系.

2.折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换.折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

3.学生重点体会“数形结合”的思想，在“形”的变化中发现“数”的关系，为后面进一步解决问题奠定基础.

设问2：要求的线段CD设为x，与之相关的线段有几条？我们可以选择哪个三角形，利用什么知识解决？渗透了什么数学思想？

【分析】将已知的、所求的线段表示在图形中，根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，学生会发现Rt△BDE，利用勾股定理解决问题.

關键在于：学生是否能从图形中抽象出几何图形，建立“直角三角形”这个重要的模型，在此，建模思想起到了至关重要的作用.

设问3：请你求出线段CD的长.

【分析】在适当的直角三角形中，运用勾股定理列出方程求解，方程思想帮助我们最后得到答案.

“数形结合的思想—建模思想—方程思想”，这“三步曲”帮助学生解决了问题，使学生掌握了对此类问题解决的常规方法.当然，随着学习内容的增加，数量关系、数学模型也越来越多，需要学生多加体会.

二、应用折叠：矩形中的折叠问题

关键在于：学生在建模思想的指引下，应用折叠中“形”的变化引起的“数”量关系，通过两次折叠完成边的等量代换，分别应用折叠中轴对称、全等形这两个很重要的本质，先后得到等腰三角形、等边三角形.学生在探索过程中，进一步感受到了折叠中的数学思想，经历了在数学思想的指导下解决问题的奇妙过程.

折叠是综合性的问题，随着学生知识的增加，蕴藏的数学问题越多，在数学思想的指引下，思路清晰，目标明确，问题会迎刃而解.当然，数形结合思想、建模思想、方程思想这三者在折叠中不是固定的、僵化的，也不需死记硬背，而是学生在思考问题、解决问题的过程中领会、验证、归纳而得到的深切感受.这三种思想方法使得折叠问题不再枯燥，而是以灵动的姿态出现在学生的脑海中，演绎出数学奇妙的乐章.

参考文献：

[1]刘光杰.初中数学中的折叠问题.百度文献.

[2]数学活动.义务教育教科书《数学》.人教版.