利用导数解决“含参函数的单调区间极值最值”的基本步骤与讨论点

林瑜+李明

【摘要】利用导数解决“含参函数的单调区间、极值、最值”是高中教材的重要知识点，也是近几年高考中函数与导数交汇试题的命题热点.由于此类问题在解答时解题步骤多，往往需要对参数进行多次讨论，因而它是大多数学生学习的难点，要让学生对此类问题认识与理解到位，进而想得到解得出，就必须让学生明确解答此类题目的三个问题：解答的基本步骤是什么？哪些步骤要讨论？每步要讨论什么？

【关键词】导数；单调区间；极值；最值；基本步骤；讨论点

利用导数解决“含参函数的单调区间、极值、最值”是高中教材的重要知识点，也是近几年高考中函数与导数交汇试题的命题热点.由于此类问题在解答时解题步骤多，往往需要对参数进行多次讨论，因而它是大多数学生学习的难点，即便对高考参考答案，也有很多教师认为 “思路不自然”、“学生想不到”、“非通性通法”。笔者认为，要让学生对此类问题认识与理解到位，进而想得到解得出，就必须让学生明确解答此类题目的三个问题：解答的基本步骤是什么？哪些步骤要讨论？每步要讨论什么？

首先应该明确，利用导数研究“含参函数的单调区间、极值、最值”解题的基本步骤为“一定二导三求根；四标五穿六列表”这六个步骤。

“一定”是指：第①步求函数的定义域；

“二导”是指：第②步求函数的导数；

“三求根”是指：第③步令f'(x)=0求出方程的根；

“四标”是指：第④步在数轴上标根；

“五穿”是指：第⑤步在数轴上“穿针引线”；

“六列表”是指：第⑥步列出“当x变化时，f'(x)与f(x)变化情况表”

x … … … … …

f/(x) … … … … …

f(x) … … … … …

最后，根据表格可快速得到函数的单调区间与极值；再比较区间端点的函数值与极值的大小即得函数的最值。这些步骤充分暴露了利用导数研究“含参函数的单调区间、极值、最值”解题的思维过程，使学生明确了解题的大方向，在求解过程中思路更清晰，步骤更明确。

然后必须明确哪一步要讨论？讨论什么？根据以上步骤，易知以下步骤必须讨论：

“第③步——求根”，求导后，令f'(x)=0，考虑是否有实根，从而引起讨论。讨论什么？有三种情况：是几次方程要讨论；对应方程是否有实根要讨论；根的大小要讨论。

“第④步——标根”，不知实根是否落在定义域内，从而引起讨论。讨论什么？讨论根标（落）在定义域内还是标（落）在定义域外。

“第⑤步——穿针引线”，不知导函数图像“开口”方向，从而引起讨论。讨论什么？在“穿针引线”时，因最高次项系数含参，需讨论其正负。当最高次项系数为正时，“从数轴右上方向下穿针引线”；当最高次项系数为负时，“从数轴右下方向上穿针引线”。

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。只要把握以上三个基本讨论点，讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，有时所给的区间还含参，还需要灵活把握。

下面，笔者重点介绍如何按照 “一定二导三求根；四标五穿六列表”这六个步骤来解决有关利用导数研究 “含参函数的单调区间、极值、最值”的问题。

例1：求f'(x)=x3-3bx+3b的单调区间.

分析：由f'(x)=3x2-3b，此时求解f'(x)=0的根，需要对b开二次方根，因此必须讨论b的符号。

讨论点：在“求根”时，因f'(x)含参。所以f'(x)=0是否有解要讨论。

简解：（一定、二导）∵定义域为R,f'(x)=3x2-3b，

（三求根）①当b≤0时，f'(x)≥0⇒f(x)在R上单调递增。

②当b>0时，f'(x)=(x+√b)(x-√b)

令f'(x)=0⇒x1=-√b，x2=√b

（四标，五穿∵a=3 ∴从数轴右上方向下穿针引线 ）

（六列表）“当x变化时，f'(x)与f(x)变化情况表”

x (-∞,-√b) -√b (-√b,√b) √b (√b,+∞)

f'(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

由表可知：函数f(x)在(-√b,√b)↓，(-∞,-√b)↑，(√b,+∞)↑

延伸１：求f(x)=x3-3bx+3b的极值

延伸２：若b=４求f(x)在区间[-3，3]上的最值。

变式１：若f'(x)=ex-b，

此时求解f'(x)=0的根，需要对b取“对数”，因此必须讨论b的符号.

①当b≤0时，f'(x)≥0⇒f(x)在R上单调递增。

②当b>0时，x=lnb

变式２：若f'(x)=ax-1其中a∈R

此时求解f'(x)=0的根，需要“除以a”，因此必须讨论a是否为零。

①当a=0时，f'(x)=-1<0⇒f(x)在上R单调递减。

②当a≠0时,令f'(x)=0⇒x= 1-a ⇒…

变式３：若f'(x)=2x2+ax+3(其中x>0)

此时求解f'(x)=0的根，即“求二次方程的根”，因此必须从“判别式”入手展开讨论。

①当△=0时，即a=±2√6时，f'(x)>0，∴f(x)在上(0,+∞)单调递增；

②当△<0时，即-2√60，∴f(x)在上(0,+∞)单调递增；

③当△>0时，即a>2√6时，f'(x)>0，∴f(x)在上(0,+∞)单调递增;

当a>2√6时，不妨设两根为x1,x2且x1

则函数f(x)在(0,x1)↑，(x1,x2)↓，(x2,+∞)↑

例2：已知函数f(x)=kx3-3x2+1，求函数的单调区间。

分析：∵f'(x)=3kx2-6x，对应方程是几次方程要讨论；是否有实根要讨论；方程f'(x)=0的根为x1=0，x2= 2-k ，必须讨论两根的大小。

讨论点：在“标根”时，因“根含参”大小不确定；在“穿针引线”时，因“最高次项系数含参数k”都要展开相应的讨论。

简解：∵f'(x)=3kx2-6x

①当k=0时，f'(x)=-6x，令f'(x)=0⇒x=0 ∴(-∞,0)↑，(0,+∞)↓

②当k≠0时，令f'(x)=0⇒x1=0,x2= 2-k

1°.若k>0，则 2-k >0,如图∴(-∞,0)↑，(0,2-k )↓,( 2-k,+∞)↑

2°.若k<0，则 2-k <0，如图∴(-∞,2-k )↓，( 2-k ,0)↑,(0,+∞)↓

此时因为“最高次项系数含参数k”,在“穿针引线”时，因最高次项系数含参，需讨论其正负。当最高次项系数为正时，“从数轴右上方向下穿针引线”，当最高次项系数为负时，“从数轴右下方向上穿针引线”。

例３： 已知函数f(x)=2lnx+x2-a2x(x>0，a∈R)．

(1)是否存在实数a，使f'(1)是f(x)的极小值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

(2)当a>0时，若函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的最小值；

(3)当a=√5时，f(x)在区间(k- 1-2 ,k)上为单调函数，求实数k的取值范围。

分析：这是一道利用导数解决“含参函数的单调区间、极值、最值”的综合题。

讨论点：第（３）问中所研究的“区间”含参时，需依据“根”是否落在“区间”内而展开讨论。

简解：(1) f'(x)= 2-x +2x-a2，由f'(1)=2+2-a2=0⇒a=±2，

⇒f'(x)= 2-x +2x-4=≥0⇒ f(x)在定义域上递增，

⇒f(x)没有极小值．因此不存在实数a满足条件．

(2)依题意f'(x)= 2-x +2x-a2≤0即a2≥ 2-x +2x在区间[1，2]上恒成立，

∴a2≥( 2-x +2x)max.当x=2时， 2-x +2x在区间[1，2]上取得最大值5.

∴a2≥5∵a>0∴a≥5，即a的最小值为5.

(3)当a=√5时，定义域(0,+∞)

f'(x)= 2-x +2x-5=(2x-1)x(x-2).

令 f'(x)=0⇒x1=2,x2= 1-2 （列表略）

当x∈(0，1-2)∪(2，＋∞)时 f'(x)>0⇒f(x)在 (0，1-2)，(2，＋∞)上递增．

当x∈(1-2，2)时， f'(x)<0⇒f(x)在 (1-2，2)上递减．

要使f(x)在区间(k- 1-2，k)上为单调函数，则 k- 1-2≥0

①当 { k ≤0时⇒k= 1-2

⇒f(x)在 (k- 1-2,k)上递增，合题意；

k- 1-2≥1-2

②当 {k ≤2,时⇒k∈[1,2]

⇒f(x)在 (k- 1-2，k)上递减，合题意；

③当 k-1-2≥2时⇒k∈[5-2,+∞)

⇒f(x)在 (k- 1-2，k)上递增，合题意．

综上，实数k的取值范围是{1-2}∪[1,2]∪

[5-2,+∞).

按照 “一定二导三求根；四标五穿六列表”这六个步骤来解决有关利用导数研究 “含参函数的单调区间、极值、最值”的问题，显得自然、流畅，解题时能够做到纵观全局，逐一分析；应注意在“求根、标根、穿针引线”及“区间”含参时需讨论，从而使得讨论时能够做到不慌不乱、不重不漏，具有很好的实用性与高效性。

在导数与函数知识交汇的教学中，要特别注重分类讨论思想和建模能力的培养，我们要以生为本，把提高课堂教学效率的对策付诸到教学活动之中。

【摘要】利用导数解决“含参函数的单调区间、极值、最值”是高中教材的重要知识点，也是近几年高考中函数与导数交汇试题的命题热点.由于此类问题在解答时解题步骤多，往往需要对参数进行多次讨论，因而它是大多数学生学习的难点，要让学生对此类问题认识与理解到位，进而想得到解得出，就必须让学生明确解答此类题目的三个问题：解答的基本步骤是什么？哪些步骤要讨论？每步要讨论什么？

【关键词】导数；单调区间；极值；最值；基本步骤；讨论点

利用导数解决“含参函数的单调区间、极值、最值”是高中教材的重要知识点，也是近几年高考中函数与导数交汇试题的命题热点.由于此类问题在解答时解题步骤多，往往需要对参数进行多次讨论，因而它是大多数学生学习的难点，即便对高考参考答案，也有很多教师认为 “思路不自然”、“学生想不到”、“非通性通法”。笔者认为，要让学生对此类问题认识与理解到位，进而想得到解得出，就必须让学生明确解答此类题目的三个问题：解答的基本步骤是什么？哪些步骤要讨论？每步要讨论什么？

首先应该明确，利用导数研究“含参函数的单调区间、极值、最值”解题的基本步骤为“一定二导三求根；四标五穿六列表”这六个步骤。

“一定”是指：第①步求函数的定义域；

“二导”是指：第②步求函数的导数；

“三求根”是指：第③步令f'(x)=0求出方程的根；

“四标”是指：第④步在数轴上标根；

“五穿”是指：第⑤步在数轴上“穿针引线”；

“六列表”是指：第⑥步列出“当x变化时，f'(x)与f(x)变化情况表”

x … … … … …

f/(x) … … … … …

f(x) … … … … …

最后，根据表格可快速得到函数的单调区间与极值；再比较区间端点的函数值与极值的大小即得函数的最值。这些步骤充分暴露了利用导数研究“含参函数的单调区间、极值、最值”解题的思维过程，使学生明确了解题的大方向，在求解过程中思路更清晰，步骤更明确。

然后必须明确哪一步要讨论？讨论什么？根据以上步骤，易知以下步骤必须讨论：

“第③步——求根”，求导后，令f'(x)=0，考虑是否有实根，从而引起讨论。讨论什么？有三种情况：是几次方程要讨论；对应方程是否有实根要讨论；根的大小要讨论。

“第④步——标根”，不知实根是否落在定义域内，从而引起讨论。讨论什么？讨论根标（落）在定义域内还是标（落）在定义域外。

“第⑤步——穿针引线”，不知导函数图像“开口”方向，从而引起讨论。讨论什么？在“穿针引线”时，因最高次项系数含参，需讨论其正负。当最高次项系数为正时，“从数轴右上方向下穿针引线”；当最高次项系数为负时，“从数轴右下方向上穿针引线”。

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。只要把握以上三个基本讨论点，讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，有时所给的区间还含参，还需要灵活把握。

下面，笔者重点介绍如何按照 “一定二导三求根；四标五穿六列表”这六个步骤来解决有关利用导数研究 “含参函数的单调区间、极值、最值”的问题。

例1：求f'(x)=x3-3bx+3b的单调区间.

分析：由f'(x)=3x2-3b，此时求解f'(x)=0的根，需要对b开二次方根，因此必须讨论b的符号。

讨论点：在“求根”时，因f'(x)含参。所以f'(x)=0是否有解要讨论。

简解：（一定、二导）∵定义域为R,f'(x)=3x2-3b，

（三求根）①当b≤0时，f'(x)≥0⇒f(x)在R上单调递增。

②当b>0时，f'(x)=(x+√b)(x-√b)

令f'(x)=0⇒x1=-√b，x2=√b

（四标，五穿∵a=3 ∴从数轴右上方向下穿针引线 ）

（六列表）“当x变化时，f'(x)与f(x)变化情况表”

x (-∞,-√b) -√b (-√b,√b) √b (√b,+∞)

f'(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

由表可知：函数f(x)在(-√b,√b)↓，(-∞,-√b)↑，(√b,+∞)↑

延伸１：求f(x)=x3-3bx+3b的极值

延伸２：若b=４求f(x)在区间[-3，3]上的最值。

变式１：若f'(x)=ex-b，

此时求解f'(x)=0的根，需要对b取“对数”，因此必须讨论b的符号.

①当b≤0时，f'(x)≥0⇒f(x)在R上单调递增。

②当b>0时，x=lnb

变式２：若f'(x)=ax-1其中a∈R

此时求解f'(x)=0的根，需要“除以a”，因此必须讨论a是否为零。

①当a=0时，f'(x)=-1<0⇒f(x)在上R单调递减。

②当a≠0时,令f'(x)=0⇒x= 1-a ⇒…

变式３：若f'(x)=2x2+ax+3(其中x>0)

此时求解f'(x)=0的根，即“求二次方程的根”，因此必须从“判别式”入手展开讨论。

①当△=0时，即a=±2√6时，f'(x)>0，∴f(x)在上(0,+∞)单调递增；

②当△<0时，即-2√60，∴f(x)在上(0,+∞)单调递增；

③当△>0时，即a>2√6时，f'(x)>0，∴f(x)在上(0,+∞)单调递增;

当a>2√6时，不妨设两根为x1,x2且x1

则函数f(x)在(0,x1)↑，(x1,x2)↓，(x2,+∞)↑

例2：已知函数f(x)=kx3-3x2+1，求函数的单调区间。

分析：∵f'(x)=3kx2-6x，对应方程是几次方程要讨论；是否有实根要讨论；方程f'(x)=0的根为x1=0，x2= 2-k ，必须讨论两根的大小。

讨论点：在“标根”时，因“根含参”大小不确定；在“穿针引线”时，因“最高次项系数含参数k”都要展开相应的讨论。

简解：∵f'(x)=3kx2-6x

①当k=0时，f'(x)=-6x，令f'(x)=0⇒x=0 ∴(-∞,0)↑，(0,+∞)↓

②当k≠0时，令f'(x)=0⇒x1=0,x2= 2-k

1°.若k>0，则 2-k >0,如图∴(-∞,0)↑，(0,2-k )↓,( 2-k,+∞)↑

2°.若k<0，则 2-k <0，如图∴(-∞,2-k )↓，( 2-k ,0)↑,(0,+∞)↓

此时因为“最高次项系数含参数k”,在“穿针引线”时，因最高次项系数含参，需讨论其正负。当最高次项系数为正时，“从数轴右上方向下穿针引线”，当最高次项系数为负时，“从数轴右下方向上穿针引线”。

例３： 已知函数f(x)=2lnx+x2-a2x(x>0，a∈R)．

(1)是否存在实数a，使f'(1)是f(x)的极小值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

(2)当a>0时，若函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的最小值；

(3)当a=√5时，f(x)在区间(k- 1-2 ,k)上为单调函数，求实数k的取值范围。

分析：这是一道利用导数解决“含参函数的单调区间、极值、最值”的综合题。

讨论点：第（３）问中所研究的“区间”含参时，需依据“根”是否落在“区间”内而展开讨论。

简解：(1) f'(x)= 2-x +2x-a2，由f'(1)=2+2-a2=0⇒a=±2，

⇒f'(x)= 2-x +2x-4=≥0⇒ f(x)在定义域上递增，

⇒f(x)没有极小值．因此不存在实数a满足条件．

(2)依题意f'(x)= 2-x +2x-a2≤0即a2≥ 2-x +2x在区间[1，2]上恒成立，

∴a2≥( 2-x +2x)max.当x=2时， 2-x +2x在区间[1，2]上取得最大值5.

∴a2≥5∵a>0∴a≥5，即a的最小值为5.

(3)当a=√5时，定义域(0,+∞)

f'(x)= 2-x +2x-5=(2x-1)x(x-2).

令 f'(x)=0⇒x1=2,x2= 1-2 （列表略）

当x∈(0，1-2)∪(2，＋∞)时 f'(x)>0⇒f(x)在 (0，1-2)，(2，＋∞)上递增．

当x∈(1-2，2)时， f'(x)<0⇒f(x)在 (1-2，2)上递减．

要使f(x)在区间(k- 1-2，k)上为单调函数，则 k- 1-2≥0

①当 { k ≤0时⇒k= 1-2

⇒f(x)在 (k- 1-2,k)上递增，合题意；

k- 1-2≥1-2

②当 {k ≤2,时⇒k∈[1,2]

⇒f(x)在 (k- 1-2，k)上递减，合题意；

③当 k-1-2≥2时⇒k∈[5-2,+∞)

⇒f(x)在 (k- 1-2，k)上递增，合题意．

综上，实数k的取值范围是{1-2}∪[1,2]∪

[5-2,+∞).

按照 “一定二导三求根；四标五穿六列表”这六个步骤来解决有关利用导数研究 “含参函数的单调区间、极值、最值”的问题，显得自然、流畅，解题时能够做到纵观全局，逐一分析；应注意在“求根、标根、穿针引线”及“区间”含参时需讨论，从而使得讨论时能够做到不慌不乱、不重不漏，具有很好的实用性与高效性。

在导数与函数知识交汇的教学中，要特别注重分类讨论思想和建模能力的培养，我们要以生为本，把提高课堂教学效率的对策付诸到教学活动之中。

【摘要】利用导数解决“含参函数的单调区间、极值、最值”是高中教材的重要知识点，也是近几年高考中函数与导数交汇试题的命题热点.由于此类问题在解答时解题步骤多，往往需要对参数进行多次讨论，因而它是大多数学生学习的难点，要让学生对此类问题认识与理解到位，进而想得到解得出，就必须让学生明确解答此类题目的三个问题：解答的基本步骤是什么？哪些步骤要讨论？每步要讨论什么？

【关键词】导数；单调区间；极值；最值；基本步骤；讨论点

利用导数解决“含参函数的单调区间、极值、最值”是高中教材的重要知识点，也是近几年高考中函数与导数交汇试题的命题热点.由于此类问题在解答时解题步骤多，往往需要对参数进行多次讨论，因而它是大多数学生学习的难点，即便对高考参考答案，也有很多教师认为 “思路不自然”、“学生想不到”、“非通性通法”。笔者认为，要让学生对此类问题认识与理解到位，进而想得到解得出，就必须让学生明确解答此类题目的三个问题：解答的基本步骤是什么？哪些步骤要讨论？每步要讨论什么？

首先应该明确，利用导数研究“含参函数的单调区间、极值、最值”解题的基本步骤为“一定二导三求根；四标五穿六列表”这六个步骤。

“一定”是指：第①步求函数的定义域；

“二导”是指：第②步求函数的导数；

“三求根”是指：第③步令f'(x)=0求出方程的根；

“四标”是指：第④步在数轴上标根；

“五穿”是指：第⑤步在数轴上“穿针引线”；

“六列表”是指：第⑥步列出“当x变化时，f'(x)与f(x)变化情况表”

x … … … … …

f/(x) … … … … …

f(x) … … … … …

最后，根据表格可快速得到函数的单调区间与极值；再比较区间端点的函数值与极值的大小即得函数的最值。这些步骤充分暴露了利用导数研究“含参函数的单调区间、极值、最值”解题的思维过程，使学生明确了解题的大方向，在求解过程中思路更清晰，步骤更明确。

然后必须明确哪一步要讨论？讨论什么？根据以上步骤，易知以下步骤必须讨论：

“第③步——求根”，求导后，令f'(x)=0，考虑是否有实根，从而引起讨论。讨论什么？有三种情况：是几次方程要讨论；对应方程是否有实根要讨论；根的大小要讨论。

“第④步——标根”，不知实根是否落在定义域内，从而引起讨论。讨论什么？讨论根标（落）在定义域内还是标（落）在定义域外。

“第⑤步——穿针引线”，不知导函数图像“开口”方向，从而引起讨论。讨论什么？在“穿针引线”时，因最高次项系数含参，需讨论其正负。当最高次项系数为正时，“从数轴右上方向下穿针引线”；当最高次项系数为负时，“从数轴右下方向上穿针引线”。

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。只要把握以上三个基本讨论点，讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，有时所给的区间还含参，还需要灵活把握。

下面，笔者重点介绍如何按照 “一定二导三求根；四标五穿六列表”这六个步骤来解决有关利用导数研究 “含参函数的单调区间、极值、最值”的问题。

例1：求f'(x)=x3-3bx+3b的单调区间.

分析：由f'(x)=3x2-3b，此时求解f'(x)=0的根，需要对b开二次方根，因此必须讨论b的符号。

讨论点：在“求根”时，因f'(x)含参。所以f'(x)=0是否有解要讨论。

简解：（一定、二导）∵定义域为R,f'(x)=3x2-3b，

（三求根）①当b≤0时，f'(x)≥0⇒f(x)在R上单调递增。

②当b>0时，f'(x)=(x+√b)(x-√b)

令f'(x)=0⇒x1=-√b，x2=√b

（四标，五穿∵a=3 ∴从数轴右上方向下穿针引线 ）

（六列表）“当x变化时，f'(x)与f(x)变化情况表”

x (-∞,-√b) -√b (-√b,√b) √b (√b,+∞)

f'(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

由表可知：函数f(x)在(-√b,√b)↓，(-∞,-√b)↑，(√b,+∞)↑

延伸１：求f(x)=x3-3bx+3b的极值

延伸２：若b=４求f(x)在区间[-3，3]上的最值。

变式１：若f'(x)=ex-b，

此时求解f'(x)=0的根，需要对b取“对数”，因此必须讨论b的符号.

①当b≤0时，f'(x)≥0⇒f(x)在R上单调递增。

②当b>0时，x=lnb

变式２：若f'(x)=ax-1其中a∈R

此时求解f'(x)=0的根，需要“除以a”，因此必须讨论a是否为零。

①当a=0时，f'(x)=-1<0⇒f(x)在上R单调递减。

②当a≠0时,令f'(x)=0⇒x= 1-a ⇒…

变式３：若f'(x)=2x2+ax+3(其中x>0)

此时求解f'(x)=0的根，即“求二次方程的根”，因此必须从“判别式”入手展开讨论。

①当△=0时，即a=±2√6时，f'(x)>0，∴f(x)在上(0,+∞)单调递增；

②当△<0时，即-2√60，∴f(x)在上(0,+∞)单调递增；

③当△>0时，即a>2√6时，f'(x)>0，∴f(x)在上(0,+∞)单调递增;

当a>2√6时，不妨设两根为x1,x2且x1

则函数f(x)在(0,x1)↑，(x1,x2)↓，(x2,+∞)↑

例2：已知函数f(x)=kx3-3x2+1，求函数的单调区间。

分析：∵f'(x)=3kx2-6x，对应方程是几次方程要讨论；是否有实根要讨论；方程f'(x)=0的根为x1=0，x2= 2-k ，必须讨论两根的大小。

讨论点：在“标根”时，因“根含参”大小不确定；在“穿针引线”时，因“最高次项系数含参数k”都要展开相应的讨论。

简解：∵f'(x)=3kx2-6x

①当k=0时，f'(x)=-6x，令f'(x)=0⇒x=0 ∴(-∞,0)↑，(0,+∞)↓

②当k≠0时，令f'(x)=0⇒x1=0,x2= 2-k

1°.若k>0，则 2-k >0,如图∴(-∞,0)↑，(0,2-k )↓,( 2-k,+∞)↑

2°.若k<0，则 2-k <0，如图∴(-∞,2-k )↓，( 2-k ,0)↑,(0,+∞)↓

此时因为“最高次项系数含参数k”,在“穿针引线”时，因最高次项系数含参，需讨论其正负。当最高次项系数为正时，“从数轴右上方向下穿针引线”，当最高次项系数为负时，“从数轴右下方向上穿针引线”。

例３： 已知函数f(x)=2lnx+x2-a2x(x>0，a∈R)．

(1)是否存在实数a，使f'(1)是f(x)的极小值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

(2)当a>0时，若函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的最小值；

(3)当a=√5时，f(x)在区间(k- 1-2 ,k)上为单调函数，求实数k的取值范围。

分析：这是一道利用导数解决“含参函数的单调区间、极值、最值”的综合题。

讨论点：第（３）问中所研究的“区间”含参时，需依据“根”是否落在“区间”内而展开讨论。

简解：(1) f'(x)= 2-x +2x-a2，由f'(1)=2+2-a2=0⇒a=±2，

⇒f'(x)= 2-x +2x-4=≥0⇒ f(x)在定义域上递增，

⇒f(x)没有极小值．因此不存在实数a满足条件．

(2)依题意f'(x)= 2-x +2x-a2≤0即a2≥ 2-x +2x在区间[1，2]上恒成立，

∴a2≥( 2-x +2x)max.当x=2时， 2-x +2x在区间[1，2]上取得最大值5.

∴a2≥5∵a>0∴a≥5，即a的最小值为5.

(3)当a=√5时，定义域(0,+∞)

f'(x)= 2-x +2x-5=(2x-1)x(x-2).

令 f'(x)=0⇒x1=2,x2= 1-2 （列表略）

当x∈(0，1-2)∪(2，＋∞)时 f'(x)>0⇒f(x)在 (0，1-2)，(2，＋∞)上递增．

当x∈(1-2，2)时， f'(x)<0⇒f(x)在 (1-2，2)上递减．

要使f(x)在区间(k- 1-2，k)上为单调函数，则 k- 1-2≥0

①当 { k ≤0时⇒k= 1-2

⇒f(x)在 (k- 1-2,k)上递增，合题意；

k- 1-2≥1-2

②当 {k ≤2,时⇒k∈[1,2]

⇒f(x)在 (k- 1-2，k)上递减，合题意；

③当 k-1-2≥2时⇒k∈[5-2,+∞)

⇒f(x)在 (k- 1-2，k)上递增，合题意．

综上，实数k的取值范围是{1-2}∪[1,2]∪

[5-2,+∞).

按照 “一定二导三求根；四标五穿六列表”这六个步骤来解决有关利用导数研究 “含参函数的单调区间、极值、最值”的问题，显得自然、流畅，解题时能够做到纵观全局，逐一分析；应注意在“求根、标根、穿针引线”及“区间”含参时需讨论，从而使得讨论时能够做到不慌不乱、不重不漏，具有很好的实用性与高效性。

在导数与函数知识交汇的教学中，要特别注重分类讨论思想和建模能力的培养，我们要以生为本，把提高课堂教学效率的对策付诸到教学活动之中。