培养学生思维的严密性

姜明

思维严密性是数学思维活动的主要特点之一，思维的严密性包含了思维的科学性、辩证性、深刻性和逻辑性。由于受认知水平和年龄特征等因素的影响，初中生在进行数学思维活动的过程中常常出现思维不严密现象，因此需要在数学教学的各个环节中努力培养学生思维的严密性。

一、在变式教学中培养思维严密性

变式教学是应用变式题进行教学。在变式教学中，可以对原题的题设进行变式，也可以对原题的结论进行变式。变式教学必须抓住问题的核心内容适当进行变式，引导学生关注问题的不同方面、转化观察问题的不同角度及感受问题的不同深度，从而引导学生发现变化中不变的本质，适应数学问题的不断变化，加深对数学问题的理解，提高思维的严密性。

【例1】如图1，△ABC的角平分线BD和CD交于点D，试猜想∠BDC和∠A的关系，并说明理由。

为了进一步让学生感受三角形角平分线的夹角与三角形内角的关系，可以对上述原题的题设进行变式，从而得到以下变试题：

变式1：如图2，△ABC的外角平分线BD和CD交于点D，试猜想∠BDC和∠A的关系，并说明理由。

变式2：如图3，已知△ABC，∠ABC的内角平分线BD和∠ACB的外角平分线CD交于点D，试猜想∠BDC和∠A的关系，并说明理由。

通过原题和两个变式题的练习，让学生分别感受由两条内角平分线构成的钝角与∠A的关系，由两条外角平分线构成的锐角与∠A的关系，由一条内角平分线和一条外角平分线构成的锐角与∠A的关系，从而使学生能活用三角形的内角和定理与三角形外角定理，加深对此类问题的理解，发现这些变式题之间的实质联系，进而提高解决问题的能力，提高思维的严密性。

二、在计算教学中培养思维严密性

计算教学中，既要培养学生解题的基本技能，又要培养学生挖掘隐含条件的能力。所谓“隐含条件”，是相对“显条件”而言的，是数学问题中已知条件（显条件）没有明确表明，且对解决问题至关重要的一些条件，如数学中的性质、公式、定理等。如果在解题中由于思维的不严密，忽视这些隐含条件，往往会造成解答的不完整。

【例2】已知x1，x2，是关于x的方程■x2-（m+1）x+m2+m=0的两个实数根，且S=x21+x22，当m为何值时，S有最小值？最小值是多少？

学生错解：根据题意知x1+x2=4（m+1），x1x2=4（m2+m），所以S=x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=[4（m+1）]2-8（m2+m）=m+■2-2，当m=-■时，S有最小值-2。

上述解答过程看似正确，但从结果看，S=x21+x22的值不能为负数，因此解答有误，错解忽视了参数m的取值范围。根据方程有两个实数根得到“?驻≥0”这个隐含条件，知（m+1）2-4×■（m2+m）≥0，进而解得m≥-1，由上解知二次函数S=8m+■2-2图像的对称轴为m=-■，当m≥-1时，S随自变量m的增大而增大，所以当m=-1时，有最小值，最小值为S=0。

通过对错解的分析，使学生发现了错误的原因，锻炼了其挖掘隐含条件的能力，提高了学生思维的严密性。

三、在证明教学中培养思维严密性

几何证明教学中，要引导学生找到题目中题设与结论之间因果关系的关联所在，对这种因果关系进行有条理、有层次、有系统、有步骤的说明，如果在某一步骤的说明上因为思维的不严密出现了脱节，就会造成推理论证的不严密性。因此，在几何证明教学中要引导学生对题目进行正确、全面的分析，在书写证明过程之前要弄清楚哪些需要证明，哪些不需要证明，哪些需要先证明，哪些需要后证明，这些都弄清楚之后再书写证明过程，从而培养学生思维的严密性。

【例3】在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE，求证：BE是△DEC外接圆的切线。

学生错解：如图4所示，取CD的中点O，连接OE，∵OC=OE，∴∠OEC=∠C=30°，∴∠DOE+∠C=60°，∵DE为AC的垂直平分线，∴E为AC的中点，又∵∠ABC=90°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠C=30°，∴∠BEO=180°-（∠EBC+∠DOE）=90°，又∵OE为半径，∴BE是△DEC外接圆的切线。

上述解法忽视了一个需要证明的条件：DC为△DEC外接圆的直径，DC的中点是圆心。造成这种现象的原因在于学生对定理“90°的圆周角所对的弦是直径”题设与结论的关系理解上存在“想当然”。在学生心中，“有圆就有直径”的观念非常清晰，而且题目中有条件，所以CD是直径就不用证明了。然而作为几何证明题，要根据公理和定理进行严格的推理论证，即使是简单的结论，也要进行推理证明。

通过对错解的分析，使学生发现了思维的缺陷，明白了简单的结论也要证明，培养了思维的严密性。

四、在试卷讲评中培养思维严密性

数学试卷讲评课是学生在考试之后，教师对其讲解、分析和评价的一种课型，可对学生已学的知识起矫正、巩固、充实、完善和深化的重要作用，是知识的再整理、再综合、再运用的过程，也是寻找学生失分的原因和思维误区的过程。在讲评课上可以与学生对话，暴露学生解答失分题目时的思路，分析产生错误的原因，寻找思维不严密之处，并进行有针对性讲评，从而培养学生思维的严密性，提高其解题能力。

【例4】已知关于x的二次函数y=-x2+ax（a>0），点A（n，y1）和B（n+1，y2）都在二次函数的图像上，其中n为正整数，y1=y2，请说明a必为奇数。

在课堂上，我先让一位学生说了他的解答，学生默认为a是整数，于是我提示他是不是认为a如果不是奇数就是偶数？可能是小数吗？他恍然大悟。

在讲评课上，教师不要急于指出学生的错误，最好通过与学生的对话并进行适当的引导，让学生自己发现错误和思维的误区，并自己纠正错误，完善思维，进而提高思维的严密性。

五、在编题练习中培养思维严密性

学生编题是根据学生对所学知识的理解，在给出某个数学对象的基础上，进行再加工、再创造后，编拟出新的数学问题，培养学生的分析能力、联想能力、综合能力以及思维的灵活性。同时，由于学生知识面不广泛以及思维缺乏严密性，在编题时会出现一些错题，教师应针对学生编题的具体情况进行有针对性的指导，找出因思维不严密而造成的不当之处，提高编题的有效性。

【例5】在复习应用题时，教师设计了这样的题目：大贺卡3元/张，小贺卡2元/张，请你添加合理的情境和数据，使之成为一个完整的实际问题，并能运用所学的知识来解决。现摘录学生编制的一个题目。

学生：小明“五一”节去超市买贺卡12张，其中大贺卡3元/张，小贺卡2元/张，付了30元找回7元，问小明买了几张大贺卡?

对于该生编错的题目，我请该生通过计算答案反思问题原因，从而解决了编题中的错误。

通过编题练习，学生明白了编题要目的明确、表述清楚、准确无误、设问可解、符合实际、全面考虑，有效培养了学生思维的严密性。

（责任编辑 刘 颖）

思维严密性是数学思维活动的主要特点之一，思维的严密性包含了思维的科学性、辩证性、深刻性和逻辑性。由于受认知水平和年龄特征等因素的影响，初中生在进行数学思维活动的过程中常常出现思维不严密现象，因此需要在数学教学的各个环节中努力培养学生思维的严密性。

一、在变式教学中培养思维严密性

变式教学是应用变式题进行教学。在变式教学中，可以对原题的题设进行变式，也可以对原题的结论进行变式。变式教学必须抓住问题的核心内容适当进行变式，引导学生关注问题的不同方面、转化观察问题的不同角度及感受问题的不同深度，从而引导学生发现变化中不变的本质，适应数学问题的不断变化，加深对数学问题的理解，提高思维的严密性。

【例1】如图1，△ABC的角平分线BD和CD交于点D，试猜想∠BDC和∠A的关系，并说明理由。

为了进一步让学生感受三角形角平分线的夹角与三角形内角的关系，可以对上述原题的题设进行变式，从而得到以下变试题：

变式1：如图2，△ABC的外角平分线BD和CD交于点D，试猜想∠BDC和∠A的关系，并说明理由。

变式2：如图3，已知△ABC，∠ABC的内角平分线BD和∠ACB的外角平分线CD交于点D，试猜想∠BDC和∠A的关系，并说明理由。

通过原题和两个变式题的练习，让学生分别感受由两条内角平分线构成的钝角与∠A的关系，由两条外角平分线构成的锐角与∠A的关系，由一条内角平分线和一条外角平分线构成的锐角与∠A的关系，从而使学生能活用三角形的内角和定理与三角形外角定理，加深对此类问题的理解，发现这些变式题之间的实质联系，进而提高解决问题的能力，提高思维的严密性。

二、在计算教学中培养思维严密性

计算教学中，既要培养学生解题的基本技能，又要培养学生挖掘隐含条件的能力。所谓“隐含条件”，是相对“显条件”而言的，是数学问题中已知条件（显条件）没有明确表明，且对解决问题至关重要的一些条件，如数学中的性质、公式、定理等。如果在解题中由于思维的不严密，忽视这些隐含条件，往往会造成解答的不完整。

【例2】已知x1，x2，是关于x的方程■x2-（m+1）x+m2+m=0的两个实数根，且S=x21+x22，当m为何值时，S有最小值？最小值是多少？

学生错解：根据题意知x1+x2=4（m+1），x1x2=4（m2+m），所以S=x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=[4（m+1）]2-8（m2+m）=m+■2-2，当m=-■时，S有最小值-2。

上述解答过程看似正确，但从结果看，S=x21+x22的值不能为负数，因此解答有误，错解忽视了参数m的取值范围。根据方程有两个实数根得到“?驻≥0”这个隐含条件，知（m+1）2-4×■（m2+m）≥0，进而解得m≥-1，由上解知二次函数S=8m+■2-2图像的对称轴为m=-■，当m≥-1时，S随自变量m的增大而增大，所以当m=-1时，有最小值，最小值为S=0。

通过对错解的分析，使学生发现了错误的原因，锻炼了其挖掘隐含条件的能力，提高了学生思维的严密性。

三、在证明教学中培养思维严密性

几何证明教学中，要引导学生找到题目中题设与结论之间因果关系的关联所在，对这种因果关系进行有条理、有层次、有系统、有步骤的说明，如果在某一步骤的说明上因为思维的不严密出现了脱节，就会造成推理论证的不严密性。因此，在几何证明教学中要引导学生对题目进行正确、全面的分析，在书写证明过程之前要弄清楚哪些需要证明，哪些不需要证明，哪些需要先证明，哪些需要后证明，这些都弄清楚之后再书写证明过程，从而培养学生思维的严密性。

【例3】在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE，求证：BE是△DEC外接圆的切线。

学生错解：如图4所示，取CD的中点O，连接OE，∵OC=OE，∴∠OEC=∠C=30°，∴∠DOE+∠C=60°，∵DE为AC的垂直平分线，∴E为AC的中点，又∵∠ABC=90°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠C=30°，∴∠BEO=180°-（∠EBC+∠DOE）=90°，又∵OE为半径，∴BE是△DEC外接圆的切线。

上述解法忽视了一个需要证明的条件：DC为△DEC外接圆的直径，DC的中点是圆心。造成这种现象的原因在于学生对定理“90°的圆周角所对的弦是直径”题设与结论的关系理解上存在“想当然”。在学生心中，“有圆就有直径”的观念非常清晰，而且题目中有条件，所以CD是直径就不用证明了。然而作为几何证明题，要根据公理和定理进行严格的推理论证，即使是简单的结论，也要进行推理证明。

通过对错解的分析，使学生发现了思维的缺陷，明白了简单的结论也要证明，培养了思维的严密性。

四、在试卷讲评中培养思维严密性

数学试卷讲评课是学生在考试之后，教师对其讲解、分析和评价的一种课型，可对学生已学的知识起矫正、巩固、充实、完善和深化的重要作用，是知识的再整理、再综合、再运用的过程，也是寻找学生失分的原因和思维误区的过程。在讲评课上可以与学生对话，暴露学生解答失分题目时的思路，分析产生错误的原因，寻找思维不严密之处，并进行有针对性讲评，从而培养学生思维的严密性，提高其解题能力。

【例4】已知关于x的二次函数y=-x2+ax（a>0），点A（n，y1）和B（n+1，y2）都在二次函数的图像上，其中n为正整数，y1=y2，请说明a必为奇数。

在课堂上，我先让一位学生说了他的解答，学生默认为a是整数，于是我提示他是不是认为a如果不是奇数就是偶数？可能是小数吗？他恍然大悟。

在讲评课上，教师不要急于指出学生的错误，最好通过与学生的对话并进行适当的引导，让学生自己发现错误和思维的误区，并自己纠正错误，完善思维，进而提高思维的严密性。

五、在编题练习中培养思维严密性

学生编题是根据学生对所学知识的理解，在给出某个数学对象的基础上，进行再加工、再创造后，编拟出新的数学问题，培养学生的分析能力、联想能力、综合能力以及思维的灵活性。同时，由于学生知识面不广泛以及思维缺乏严密性，在编题时会出现一些错题，教师应针对学生编题的具体情况进行有针对性的指导，找出因思维不严密而造成的不当之处，提高编题的有效性。

【例5】在复习应用题时，教师设计了这样的题目：大贺卡3元/张，小贺卡2元/张，请你添加合理的情境和数据，使之成为一个完整的实际问题，并能运用所学的知识来解决。现摘录学生编制的一个题目。

学生：小明“五一”节去超市买贺卡12张，其中大贺卡3元/张，小贺卡2元/张，付了30元找回7元，问小明买了几张大贺卡?

对于该生编错的题目，我请该生通过计算答案反思问题原因，从而解决了编题中的错误。

通过编题练习，学生明白了编题要目的明确、表述清楚、准确无误、设问可解、符合实际、全面考虑，有效培养了学生思维的严密性。

（责任编辑 刘 颖）

思维严密性是数学思维活动的主要特点之一，思维的严密性包含了思维的科学性、辩证性、深刻性和逻辑性。由于受认知水平和年龄特征等因素的影响，初中生在进行数学思维活动的过程中常常出现思维不严密现象，因此需要在数学教学的各个环节中努力培养学生思维的严密性。

一、在变式教学中培养思维严密性

变式教学是应用变式题进行教学。在变式教学中，可以对原题的题设进行变式，也可以对原题的结论进行变式。变式教学必须抓住问题的核心内容适当进行变式，引导学生关注问题的不同方面、转化观察问题的不同角度及感受问题的不同深度，从而引导学生发现变化中不变的本质，适应数学问题的不断变化，加深对数学问题的理解，提高思维的严密性。

【例1】如图1，△ABC的角平分线BD和CD交于点D，试猜想∠BDC和∠A的关系，并说明理由。

为了进一步让学生感受三角形角平分线的夹角与三角形内角的关系，可以对上述原题的题设进行变式，从而得到以下变试题：

变式1：如图2，△ABC的外角平分线BD和CD交于点D，试猜想∠BDC和∠A的关系，并说明理由。

变式2：如图3，已知△ABC，∠ABC的内角平分线BD和∠ACB的外角平分线CD交于点D，试猜想∠BDC和∠A的关系，并说明理由。

通过原题和两个变式题的练习，让学生分别感受由两条内角平分线构成的钝角与∠A的关系，由两条外角平分线构成的锐角与∠A的关系，由一条内角平分线和一条外角平分线构成的锐角与∠A的关系，从而使学生能活用三角形的内角和定理与三角形外角定理，加深对此类问题的理解，发现这些变式题之间的实质联系，进而提高解决问题的能力，提高思维的严密性。

二、在计算教学中培养思维严密性

计算教学中，既要培养学生解题的基本技能，又要培养学生挖掘隐含条件的能力。所谓“隐含条件”，是相对“显条件”而言的，是数学问题中已知条件（显条件）没有明确表明，且对解决问题至关重要的一些条件，如数学中的性质、公式、定理等。如果在解题中由于思维的不严密，忽视这些隐含条件，往往会造成解答的不完整。

【例2】已知x1，x2，是关于x的方程■x2-（m+1）x+m2+m=0的两个实数根，且S=x21+x22，当m为何值时，S有最小值？最小值是多少？

学生错解：根据题意知x1+x2=4（m+1），x1x2=4（m2+m），所以S=x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=[4（m+1）]2-8（m2+m）=m+■2-2，当m=-■时，S有最小值-2。

上述解答过程看似正确，但从结果看，S=x21+x22的值不能为负数，因此解答有误，错解忽视了参数m的取值范围。根据方程有两个实数根得到“?驻≥0”这个隐含条件，知（m+1）2-4×■（m2+m）≥0，进而解得m≥-1，由上解知二次函数S=8m+■2-2图像的对称轴为m=-■，当m≥-1时，S随自变量m的增大而增大，所以当m=-1时，有最小值，最小值为S=0。

通过对错解的分析，使学生发现了错误的原因，锻炼了其挖掘隐含条件的能力，提高了学生思维的严密性。

三、在证明教学中培养思维严密性

几何证明教学中，要引导学生找到题目中题设与结论之间因果关系的关联所在，对这种因果关系进行有条理、有层次、有系统、有步骤的说明，如果在某一步骤的说明上因为思维的不严密出现了脱节，就会造成推理论证的不严密性。因此，在几何证明教学中要引导学生对题目进行正确、全面的分析，在书写证明过程之前要弄清楚哪些需要证明，哪些不需要证明，哪些需要先证明，哪些需要后证明，这些都弄清楚之后再书写证明过程，从而培养学生思维的严密性。

【例3】在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE，求证：BE是△DEC外接圆的切线。

学生错解：如图4所示，取CD的中点O，连接OE，∵OC=OE，∴∠OEC=∠C=30°，∴∠DOE+∠C=60°，∵DE为AC的垂直平分线，∴E为AC的中点，又∵∠ABC=90°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠C=30°，∴∠BEO=180°-（∠EBC+∠DOE）=90°，又∵OE为半径，∴BE是△DEC外接圆的切线。

上述解法忽视了一个需要证明的条件：DC为△DEC外接圆的直径，DC的中点是圆心。造成这种现象的原因在于学生对定理“90°的圆周角所对的弦是直径”题设与结论的关系理解上存在“想当然”。在学生心中，“有圆就有直径”的观念非常清晰，而且题目中有条件，所以CD是直径就不用证明了。然而作为几何证明题，要根据公理和定理进行严格的推理论证，即使是简单的结论，也要进行推理证明。

通过对错解的分析，使学生发现了思维的缺陷，明白了简单的结论也要证明，培养了思维的严密性。

四、在试卷讲评中培养思维严密性

数学试卷讲评课是学生在考试之后，教师对其讲解、分析和评价的一种课型，可对学生已学的知识起矫正、巩固、充实、完善和深化的重要作用，是知识的再整理、再综合、再运用的过程，也是寻找学生失分的原因和思维误区的过程。在讲评课上可以与学生对话，暴露学生解答失分题目时的思路，分析产生错误的原因，寻找思维不严密之处，并进行有针对性讲评，从而培养学生思维的严密性，提高其解题能力。

【例4】已知关于x的二次函数y=-x2+ax（a>0），点A（n，y1）和B（n+1，y2）都在二次函数的图像上，其中n为正整数，y1=y2，请说明a必为奇数。

在课堂上，我先让一位学生说了他的解答，学生默认为a是整数，于是我提示他是不是认为a如果不是奇数就是偶数？可能是小数吗？他恍然大悟。

在讲评课上，教师不要急于指出学生的错误，最好通过与学生的对话并进行适当的引导，让学生自己发现错误和思维的误区，并自己纠正错误，完善思维，进而提高思维的严密性。

五、在编题练习中培养思维严密性

学生编题是根据学生对所学知识的理解，在给出某个数学对象的基础上，进行再加工、再创造后，编拟出新的数学问题，培养学生的分析能力、联想能力、综合能力以及思维的灵活性。同时，由于学生知识面不广泛以及思维缺乏严密性，在编题时会出现一些错题，教师应针对学生编题的具体情况进行有针对性的指导，找出因思维不严密而造成的不当之处，提高编题的有效性。

【例5】在复习应用题时，教师设计了这样的题目：大贺卡3元/张，小贺卡2元/张，请你添加合理的情境和数据，使之成为一个完整的实际问题，并能运用所学的知识来解决。现摘录学生编制的一个题目。

学生：小明“五一”节去超市买贺卡12张，其中大贺卡3元/张，小贺卡2元/张，付了30元找回7元，问小明买了几张大贺卡?

对于该生编错的题目，我请该生通过计算答案反思问题原因，从而解决了编题中的错误。

通过编题练习，学生明白了编题要目的明确、表述清楚、准确无误、设问可解、符合实际、全面考虑，有效培养了学生思维的严密性。

（责任编辑 刘 颖）