高考中的实际应用问题

向清耀

高考题是风向标，是导航仪！近两年数学高考题在应用能力命题方面是如何考查的？考查哪些知识？有哪些创新？对考生有哪些能力要求？笔者就近两年高考中主要的几类应用问题进行分析.

一、古典版“新问题·新思考”

例1 （2014年高考湖北卷—19）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量[X] （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量[X]限制，并有如下关系；

[ 年入流量[X]＼& [40120]＼&发电机最多运行台数＼& 1＼& 2＼&3＼&]

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

分析 此题属于概率传统题型，考查期望方差，第一问较简单，考查概率统计的[N]次独立重复试验恰好发生[K]次的概率，但第二问中，要求考生能够根据题意，分1，2，3台发电机三种情形进行讨论，分别求出期望值，再比较最值得出结论.

解 （1）依题意得，[p1=p（40

[p2=p（80≤x≤120）=3550=0.7]，

[p3=p（x>120）=550=0.1].

由二项分布知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为：

[p=C04（1-p3）4+C14（1-p3）3=（910）4+4×（910）3×（110）=0.9477.]

（2）记水电站年总利润为[Y]（单位：万元）.

①安装1台发电机的情形

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，

对应的年利润[Y=5000]，[E（Y）=5000×1=5000].

②安装2台发电机的情形

依题意，当[40

因此[P（Y=4200）=P（40

当[X≥80]时，两台发电机运行，

此时[Y=5000×2=10000]，

因此[P（Y=10000）=P（X≥80）=p2+p3=0.8].

由此得Y的分布列如下：

所以[E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840].

③安装3台发电机的情形

依题意，当[40

因此[P（Y=15000）=P（X>120）=p3=0.1]，由此得[Y]的分布列如下.

[[Y]＼&3400＼&9200＼&15000＼&[P]＼&0.2＼&0.7＼&0.1＼&]

所以，

[E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620].

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.

点拨 很多考生因为思维固化模式，求期望时不知道分三种情况讨论. 可见高考不仅仅考基础知识，关键考查灵活运用知识解决新问题的能力！在以往各地高考试题中此类题不多见.虽然难度不大，属基本题，但是能考查考生灵活性，体现其选拔功能！考生不能只做熟练的“卖油翁”！还需做熟练的“能工巧匠”！

二、经典版“新定义·新视角”

例2 （2014年高考江苏卷—18）如图，为了保护河上古桥[OA]，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处， 点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），[tan∠BCO=43].

（1）求新桥[BC]的长；

（2）当[OM]多长时，圆形保护区的面积最大？

分析 此题面孔亲切，生活气息浓厚，第一问可以用解析法，建系是基础，求出点[B]的坐标是关键，[BC]的长容易求解，也可以通过三角形相似，解三角形的知识求解.第二问可以用直线与圆的知识求出点[M（0，d）]到直线[BC]的距离是[r]；也可以通过直角三角形中的三角函数关系表示出[d]与[r]的关系再求解！

解 法一：（1）如图，以[O]为坐标原点，[OC]所在直线为[x]轴，建立平面直角坐标系[xOy].

由条件知，[A（0，60），C（170，0）]，直线[BC]的斜率[kBC=-tan∠BCO=-43].

又因为[AB⊥BC]，所以直线[AB]的斜率[kBC=34].

设点[B]的坐标为[B（a，b）]，

则[kBC=b-0a-170=-43]，[kAB=b-60a-0=34].

解得[a=80，b=120]，

所以[BC=（170-80）2+（0-120）2=150].

因此新桥[BC]的长是[150m].

（2）设保护区的边界圆[M]的半径为[rm，OM=dm（0≤d≤60）].

由条件知，直线[BC]的方程为[y=-43（x-170）]，即[4x+3y-680=0].

由于圆[M]与直线[BC]相切，故点[M（0，d）]到直线[BC]的距离是[r]，

即[r=3d-68042+32=680-3d5].

因为[O]和[A]到圆[M]上任意一点的距离均不少于[80m]，

所以[r-d≥80，r-（60-d）≥80，]即[680-3d5-d≥80，680-3d5-（60-d）≥80，]

解得[10≤d≤35].

故当[d=10]时，[r=680-3d5]最大，即圆的面积最大.

所以当[OM=10]时，圆的面积最大.

法二：（1）如图，延长[OA，CB]交于点[F]，

因为[tan∠FCO=43].

所以[sin∠FCO=45，cos∠FCO=35]，

[OA=60，OC=170].

所以[OF=OCtan∠FCO=6803，]

[CF=OCcos∠FCO=8503].

从而[AF=OF-OA=5003]，因为[OA⊥OC]，

所以[cos∠AFB=sin∠FCO=45].

又因为[AB⊥BC]，所以[BF=AFcos∠AFB=4003]，

从而[BC=CF-BF=150].

因此新桥[BC]的长是[150m].

（2）设保护区的边界圆[M]与[BC]的切点为[D]，连接[MD]，则[MD⊥BC]，且[MD]是圆[M]的半径，并设[MD=rm，OM=dm（0≤d≤60）]， 因为[OA⊥OC]，所以[sin∠CFO=cos∠FCO]

故由（1）知，

[sin∠CFO=MDMF=MDOF-OM=r6803-d=35，]

所以[r=680-3d5].

以下同法一.

点拨 “一题多解”在高考命题中备受命题者的青睐，这类题往往入题容易，但是深入难，得高分更难！虽然都会做，但是谁能做对做全，特别是在单位时间内能否最快完成，这对考生的心态和综合素质提出了很高的能力要求！

三、创新版“新背景·新思维”

例3 （2013年高考湖南卷—20）在平面直角坐标系[xOy]中，将从点[M]出发沿纵、横方向到达点[N]的任一路径成为[M]到[N]的一条“L路径”.如图所示的路径[MM1M2M3N与路径MN1N]都是[M]到[N]的“[L]路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面[xOy]内三点[A（3，20），B（-10，0），C（14，0）]处.现计划在[x]轴上方区域（包含[x]轴）内的某一点[P]处修建一个文化中心.

（1）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；

（2）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.

分析 本题考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的基本知识. 第一问作为铺垫，属送分题；第二问题中修建一个文化中心的P给出在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，所以此题必须分[y≥1]，和[0≤y≤1]情况讨论！函数关系中与[x，y]都有关系，如何求最值，是此题能否顺利解答的关键！如：[d=|x+10| +|x- 14| +|x- 3|+2 |y| + |y - 20|]，[a]应该看成以[x]和[y]两个变量值相加，再根据零点分段法分类讨论，结合[x∈R，y≥1]，求出最值，再比较最值，判断出最小值.

解 设点[P]的坐标为[（x，y）].

（1）[P]到居民区[A]的“[L]路径 ”长度最小值为[d=|x- 3| + |y - 20|]，其中[y≥0，x∈R.]

（2）由题意知，点[P]到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点[P]分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为[d]）的最小值.

①当[y≥1]时，

[d=|x+10| +|x- 14| +|x- 3|+2 |y| + |y - 20|]，

因为[d1（x）=|x+10| +|x- 14| +|x- 3|]

[≥x+10+x-14].（*）

当且仅当[x=3]时，不等式（*）的等号成立.

又因为[x+10+x-14≥24].（**）

当且仅当[x∈-10，14]时，不等式（**）的等号成立.

所以[d1≥24]，当且仅当[x=3]时，不等式（*）的等号成立.

[d2（y）=2y+|y- 20| ≥21].

当且仅当[y=1]时，等号成立.

故当[P]的坐标为[（3，1）]时，[P]到三个居民区的“[L]路径”长度最小值之和（记为[d]）的最小，最小值为45.

②当[0≤y≤1]时，由于“[L]路径”不能进入保护区，

[d（x）=|x+10| +|x- 14| +|x- 3|+1+1-y+y+y-20].

此时[d1（x）=|x+10| +|x- 14| +|x- 3|]，

[d2（y）=1+1-y+y+y-20=22-y≥21].

由①知[d1≥24]，故[d1（x）+d2（y）≥45]，当且仅当[x=3，y=1]时，等号成立.

综上所述，故当[P]的坐标为[（3，1）]时，修建文化中心，使得它到三个居民区的“L路径”长度最小值之和最小，最小值为45.endprint

点拨 自定义是近年来受命题者青睐的题型，源于它能够较好地考查考生对新知识的阅读理解能力，这也恰好是我们后续学习必备的重要能力.如本题，自定义“[L]路径”，理解题意后，分类讨论，写出函数关系式再求解，难度并不大.

四、灵动版“新跨度·新挑战”

例4 （2013年高考湖北卷—19）假设每天从甲地去乙地的旅客人数[X]是服从正态分布[N（800，502）]的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为[P0].

（1）求[P0]的值：

[参考数据：若[X～N（μ，σ2）]，有[P（μ-σ

（2）某客运公司用[A]，[B]两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， [A]，[B]两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求[B]型车不多于[A]型车7辆.若每天要以不小于[P0]的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备[A]型车[B]型车各多少辆？

分析 此题第一问较简单，考查正态分布的基础知识，用数形结合的思想求概率，第二问学生知道属于线性规划问题，但是问题关键在于“若每天要以不小于[P0]的概率运完从甲地去乙地的旅客”这句话的理解，且转化为相关的数学关系式，是本题得分的关键！不低于[P0]，意思也即运送的人员超过900人，问题解决！很多学生对这句话理解不透，失分可可惜！

解 （1）每天从甲地去乙地的旅客人数[X]是服从正态分布[N（800，502）]，

[P0=0.5+12×0.9544=0.9772].

（2）设配备[A]型车[x]辆， [B]型车[y]辆，运营成本为[z]元，

由已知条件得，

所以配备[A]型车5辆， [B]型车12辆可使运营成本最小.

点拨 此题改变以往传统题型中考查频率分布直方图、概率、期望方差等固定模式，将统计中的正态分布，与线性规划完美整合，题目新颖，区分度高，是近年来高考命题应用题中最具创新、最成功的应用题之一！数学来源于生活，只要用心思考，数学无处不在，会学、会思考、会应用，学会大跨度、新角度思考问题，如：立体几何与解析几何；统计与函数；解三角形与立体几何；不等式与概率统计；数列与不等式等等！

2014年高考湖北卷—16，上海卷—21，陕西卷—10，浙江卷—17……分别考查三角函数，解三角形，函数图象，立体几何等在实际问题中的应用，纵观今年18套高考试卷，无一漏考实际问题的应用，凸显高考中对考生的应用能力考查的重要地位！

点拨 自定义是近年来受命题者青睐的题型，源于它能够较好地考查考生对新知识的阅读理解能力，这也恰好是我们后续学习必备的重要能力.如本题，自定义“[L]路径”，理解题意后，分类讨论，写出函数关系式再求解，难度并不大.

四、灵动版“新跨度·新挑战”

例4 （2013年高考湖北卷—19）假设每天从甲地去乙地的旅客人数[X]是服从正态分布[N（800，502）]的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为[P0].

（1）求[P0]的值：

[参考数据：若[X～N（μ，σ2）]，有[P（μ-σ

（2）某客运公司用[A]，[B]两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， [A]，[B]两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求[B]型车不多于[A]型车7辆.若每天要以不小于[P0]的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备[A]型车[B]型车各多少辆？

分析 此题第一问较简单，考查正态分布的基础知识，用数形结合的思想求概率，第二问学生知道属于线性规划问题，但是问题关键在于“若每天要以不小于[P0]的概率运完从甲地去乙地的旅客”这句话的理解，且转化为相关的数学关系式，是本题得分的关键！不低于[P0]，意思也即运送的人员超过900人，问题解决！很多学生对这句话理解不透，失分可可惜！

解 （1）每天从甲地去乙地的旅客人数[X]是服从正态分布[N（800，502）]，

[P0=0.5+12×0.9544=0.9772].

（2）设配备[A]型车[x]辆， [B]型车[y]辆，运营成本为[z]元，

由已知条件得，

所以配备[A]型车5辆， [B]型车12辆可使运营成本最小.

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四、灵动版“新跨度·新挑战”

例4 （2013年高考湖北卷—19）假设每天从甲地去乙地的旅客人数[X]是服从正态分布[N（800，502）]的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为[P0].

（1）求[P0]的值：

[参考数据：若[X～N（μ，σ2）]，有[P（μ-σ

（2）某客运公司用[A]，[B]两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， [A]，[B]两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求[B]型车不多于[A]型车7辆.若每天要以不小于[P0]的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备[A]型车[B]型车各多少辆？

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解 （1）每天从甲地去乙地的旅客人数[X]是服从正态分布[N（800，502）]，

[P0=0.5+12×0.9544=0.9772].

（2）设配备[A]型车[x]辆， [B]型车[y]辆，运营成本为[z]元，

由已知条件得，

所以配备[A]型车5辆， [B]型车12辆可使运营成本最小.

点拨 此题改变以往传统题型中考查频率分布直方图、概率、期望方差等固定模式，将统计中的正态分布，与线性规划完美整合，题目新颖，区分度高，是近年来高考命题应用题中最具创新、最成功的应用题之一！数学来源于生活，只要用心思考，数学无处不在，会学、会思考、会应用，学会大跨度、新角度思考问题，如：立体几何与解析几何；统计与函数；解三角形与立体几何；不等式与概率统计；数列与不等式等等！

2014年高考湖北卷—16，上海卷—21，陕西卷—10，浙江卷—17……分别考查三角函数，解三角形，函数图象，立体几何等在实际问题中的应用，纵观今年18套高考试卷，无一漏考实际问题的应用，凸显高考中对考生的应用能力考查的重要地位！