“高观点”下以对数函数为命题背景的高考试题研究

王博威

（浙江省德清县综合高级中学，浙江 德清 313200）

例1（2007山东卷，22） 设函数（f x）=x2+bln（x+1），b≠0。（I）当b＞时，判断函数（f x）在定义域上的单调性；（II）求函数（f x）的极值点；（III）证明对任意的正整数n，不等式ln都成立。

近年来以对数函数为命题背景，结合高数知识、初等数学的最新研究成果的探究性试题在全国各地高考试卷中占有一定比例，且有逐年增大的趋势。这就要求教师多运用高等数学的方法解释一些初等数学中的问题，这种“高观点”教学对拓展学生的解题思路，提高解题能力，增加学生学习数学的兴趣大有裨益。

一、以对数函数y=lnx的基本不等式为背景设计的考题

分析：（I）、（II）略。至于（III），如果能够想到令x=n-1，通过做辅助函数F（x）=ln（1+x）-x2+x3，那么（III）的证明将成为非常容易的事情。我们要问的问题是：命题者是在什么背景下想到这个不等式的？事实上，学过高等数学的人都知道，关于对数有如下的基本不等式＜ln（1+x）＜（x＞-1），此不等式可利用导数的知识证之。在上述不等式中令x=n-1，则得。这样上述的（III）是否成立就转化为：是否成立？即＜1是否成立？然而，当n≥1时是显然成立的。

二、以函数y=xlnx的凸性为背景设计的考题

琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）设f（x）为凸函数，则f[（x1+x2+…+xn）/n]≤[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]/n（下凸）；f[（x1+x2+…+xn）/n]≥[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]/n（上凸），称为琴生不等式（幂平均）。

例2（2004全国卷（II，22））已知函数f（x）＝ln（1+x）－x，g（x）＝xlnx。

（1）求函数（f x）的最大值；（2）设0＜a＜b，证明：0＜g（a）＋g（b）－＜（b－a）ln2。

分析：（1）略。（2）中的第一个不等式，实际上就是凸函数的定义，或者说就是n=2时关于凸函数g（x）=xlnx的Jensen不等式。事实上，由g（'x）=lnx+1，g'（'x）=x-1＞0可知g（x）在（0，+∞）上是凸函数，因此由凸函数的定义第一个不等式成立。进一步，熟悉凸函数的几何性质的答题者不难想到构造出辅助函数：G（x）=g（a）+g（x）-），再利用G（x）的单调性就可证之。受第一个不等式的证法启示，在证明后一个不等式时，容易想到构造出辅助函数：F（x）=（x-a）ln2-G（x），然后再利用F（x）的单调性就可证之。

三、以对数函数为载体运用拉格朗日中值定理的综合考题

由拉格朗日中值定理可知，若对任意的x1，x2∈（a，b），（x1≠x2）设，则应有的取值范围与f（'x），x∈（a，b）的取值范围相同。

例3（2010辽宁，21）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1。（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜-1，如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|，求a的取值范围。

解：（1）略 （2）试卷提供的参考答案相当麻烦，即使学生知道答案写起来也相当费劲，但如果用拉格朗日中值定理来做，过程就非常简单且能准确得出答案，以下为笔者的解答过程：当x=x时，a∈R；当x≠x时由题得1212≥4，由拉格朗日中值定理可得|f（'x）|≥4，即≥4在x∈（0，+∞）上恒成立，又∵a＜-1，∴≥4解得a≤-2或a≥1（舍去），∴a≤-2。

由此题可以看出，当题目中涉及到连续函数中任意两点间的割线斜率范围时，可以利用拉格朗日中值定理将割线斜率转化为导数，这样可以快速简化题目并且可以避免讨论。

从以上几题的解答过程可以看出，运用“高观点”认识中学数学问题的本质，可以将中学数学的一些数学问题条件或结论加以改造。这种过程对思维方法会有全面的认识，还可以对问题有新的认识并得出新的结论，获得成功的体验，使解题居高临下，跳出题海。