“三数”的选用

陈德前

对于一组数据来说，都有平均数和中位数，有时有众数，但是对于一组表示实际问题的数据来说，这三个数不一定都有意义，应该关心哪个数，取决于所要调查的目标。

例1 （2013年贵州省贵阳市中考题）在端午节到来之前，儿童福利院对全体小朋友爱吃哪几种粽子作调查，以决定最终买哪种粽子。下面的调查数据中最值得关注的是（ ）

A.方差 B.平均数 C.中位数 D.众数

解析 本题决定最终买哪种粽子，应该考虑大部分小朋友喜欢的种类，平均数受极值干扰，中位数代表了这组数据值大小的“中点”，都不能反映大部分小朋友喜好，而方差反映喜好人数的波动情况，不能反映喜好的集中趋势，只有众数符合要求。故答案选D。

说明 众数反映一组数据的“多数水平”。众数并没有通常意义上的“平均”的含义。但众数在数据中出现的次数最频繁，说明该数值在数据中最具有代表性，因而从另一个侧面反映了数据的集中化趋势。众数不会受到极端值的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数。通常的“最佳”“最受欢迎”“最畅销”等的评选活动都是用投票的方法取众数得到的。

例2 （2013年山东省潍坊市中考题）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同。其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）

A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数

解析 9名选手的得分各不相同，则这组得分的中位数为第5名的分数，要想知道自己能否进入前5名，必须将自己的成绩与第5名成绩相对比，知道第5名的分数和自己的分数，就可判断能否进入前5名，故答案选D。

说明 中位数代表这组数据的中等水平。

例3 （2013年四川省巴中市中考题）体育课上，某班两个同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一个同学的成绩比较稳定，通常需要比较两个同学成绩的（ ）

A.平均数 B.方差 C.频数分布 D.中位数

解析 由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两个同学5次短跑训练成绩的方差。故答案选B。

说明 要判断哪两个同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两个同学的多次成绩的方差。

例4 某校举办校园歌咏比赛，选出10个同学担任评委，并事先拟定从如下四种方案中选择合理方案来确定演唱者的最后得分（每个评委打分最高为10分） 。

方案1：所有评委给分的平均分；

方案2：在所有评委中，去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩余评委的平均分；

方案3：所有评委给分的中位数；

方案4：所有评委给分的众数。

为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演唱成绩进行统计实验，上图是这个同学的得分统计图：

（1）分别按上述四种方案计算这个同学演唱的最后得分；

（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演唱的最后得分？

分析 （1）平均分等于总分数除以总人数，中位数是第5个和第6个分数的平均数，即（8+8）÷2=8，出现次数最多的分数是8和8.4，所以众数是8和8.4；（2）方案一受极值影响，方案4不符合实际意义。

解 （1）方案1最后得分：×（3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8）=7.7；方案2最后得分：×（7.0+7.8+3×8+3×8.4）=8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4。

（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案。因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案。

说明 解决这类问题，首先读懂统计图的横纵坐标所表示的实际意义。利用“三数”解题时，要看是否受极值影响的同时，还要考虑实际意义。

对于一组数据来说，都有平均数和中位数，有时有众数，但是对于一组表示实际问题的数据来说，这三个数不一定都有意义，应该关心哪个数，取决于所要调查的目标。

例1 （2013年贵州省贵阳市中考题）在端午节到来之前，儿童福利院对全体小朋友爱吃哪几种粽子作调查，以决定最终买哪种粽子。下面的调查数据中最值得关注的是（ ）

A.方差 B.平均数 C.中位数 D.众数

解析 本题决定最终买哪种粽子，应该考虑大部分小朋友喜欢的种类，平均数受极值干扰，中位数代表了这组数据值大小的“中点”，都不能反映大部分小朋友喜好，而方差反映喜好人数的波动情况，不能反映喜好的集中趋势，只有众数符合要求。故答案选D。

说明 众数反映一组数据的“多数水平”。众数并没有通常意义上的“平均”的含义。但众数在数据中出现的次数最频繁，说明该数值在数据中最具有代表性，因而从另一个侧面反映了数据的集中化趋势。众数不会受到极端值的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数。通常的“最佳”“最受欢迎”“最畅销”等的评选活动都是用投票的方法取众数得到的。

例2 （2013年山东省潍坊市中考题）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同。其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）

A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数

解析 9名选手的得分各不相同，则这组得分的中位数为第5名的分数，要想知道自己能否进入前5名，必须将自己的成绩与第5名成绩相对比，知道第5名的分数和自己的分数，就可判断能否进入前5名，故答案选D。

说明 中位数代表这组数据的中等水平。

例3 （2013年四川省巴中市中考题）体育课上，某班两个同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一个同学的成绩比较稳定，通常需要比较两个同学成绩的（ ）

A.平均数 B.方差 C.频数分布 D.中位数

解析 由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两个同学5次短跑训练成绩的方差。故答案选B。

说明 要判断哪两个同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两个同学的多次成绩的方差。

例4 某校举办校园歌咏比赛，选出10个同学担任评委，并事先拟定从如下四种方案中选择合理方案来确定演唱者的最后得分（每个评委打分最高为10分） 。

方案1：所有评委给分的平均分；

方案2：在所有评委中，去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩余评委的平均分；

方案3：所有评委给分的中位数；

方案4：所有评委给分的众数。

为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演唱成绩进行统计实验，上图是这个同学的得分统计图：

（1）分别按上述四种方案计算这个同学演唱的最后得分；

（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演唱的最后得分？

分析 （1）平均分等于总分数除以总人数，中位数是第5个和第6个分数的平均数，即（8+8）÷2=8，出现次数最多的分数是8和8.4，所以众数是8和8.4；（2）方案一受极值影响，方案4不符合实际意义。

解 （1）方案1最后得分：×（3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8）=7.7；方案2最后得分：×（7.0+7.8+3×8+3×8.4）=8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4。

（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案。因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案。

说明 解决这类问题，首先读懂统计图的横纵坐标所表示的实际意义。利用“三数”解题时，要看是否受极值影响的同时，还要考虑实际意义。

对于一组数据来说，都有平均数和中位数，有时有众数，但是对于一组表示实际问题的数据来说，这三个数不一定都有意义，应该关心哪个数，取决于所要调查的目标。

例1 （2013年贵州省贵阳市中考题）在端午节到来之前，儿童福利院对全体小朋友爱吃哪几种粽子作调查，以决定最终买哪种粽子。下面的调查数据中最值得关注的是（ ）

A.方差 B.平均数 C.中位数 D.众数

解析 本题决定最终买哪种粽子，应该考虑大部分小朋友喜欢的种类，平均数受极值干扰，中位数代表了这组数据值大小的“中点”，都不能反映大部分小朋友喜好，而方差反映喜好人数的波动情况，不能反映喜好的集中趋势，只有众数符合要求。故答案选D。

说明 众数反映一组数据的“多数水平”。众数并没有通常意义上的“平均”的含义。但众数在数据中出现的次数最频繁，说明该数值在数据中最具有代表性，因而从另一个侧面反映了数据的集中化趋势。众数不会受到极端值的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数。通常的“最佳”“最受欢迎”“最畅销”等的评选活动都是用投票的方法取众数得到的。

例2 （2013年山东省潍坊市中考题）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同。其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）

A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数

解析 9名选手的得分各不相同，则这组得分的中位数为第5名的分数，要想知道自己能否进入前5名，必须将自己的成绩与第5名成绩相对比，知道第5名的分数和自己的分数，就可判断能否进入前5名，故答案选D。

说明 中位数代表这组数据的中等水平。

例3 （2013年四川省巴中市中考题）体育课上，某班两个同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一个同学的成绩比较稳定，通常需要比较两个同学成绩的（ ）

A.平均数 B.方差 C.频数分布 D.中位数

解析 由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两个同学5次短跑训练成绩的方差。故答案选B。

说明 要判断哪两个同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两个同学的多次成绩的方差。

例4 某校举办校园歌咏比赛，选出10个同学担任评委，并事先拟定从如下四种方案中选择合理方案来确定演唱者的最后得分（每个评委打分最高为10分） 。

方案1：所有评委给分的平均分；

方案2：在所有评委中，去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩余评委的平均分；

方案3：所有评委给分的中位数；

方案4：所有评委给分的众数。

为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演唱成绩进行统计实验，上图是这个同学的得分统计图：

（1）分别按上述四种方案计算这个同学演唱的最后得分；

（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演唱的最后得分？

分析 （1）平均分等于总分数除以总人数，中位数是第5个和第6个分数的平均数，即（8+8）÷2=8，出现次数最多的分数是8和8.4，所以众数是8和8.4；（2）方案一受极值影响，方案4不符合实际意义。

解 （1）方案1最后得分：×（3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8）=7.7；方案2最后得分：×（7.0+7.8+3×8+3×8.4）=8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4。

（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案。因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案。

说明 解决这类问题，首先读懂统计图的横纵坐标所表示的实际意义。利用“三数”解题时，要看是否受极值影响的同时，还要考虑实际意义。