“数据的代表”考点例析

洪飞

平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”。我们要根据实际问题的具体内容和考查目标，灵活选用平均数、中位数和众数来反映一组数据某个方面的特征。数据的代表要求掌握平均数、中位数、众数等基本概念，并能够合理应用它们解决实际问题。下面对这部分内容的考点进行分类解析。

考点1 平均数的求法

平均数反映的是一组数据中各个数据的平均大小。作为“一般水平”的平均数可以通过计算得到，一般的计算方法是：用一组数据的总和除以数据的个数。

例1 某班在一次数学测试后，成绩统计如下表：

该班这次数学测试的平均成绩是（ ）

A.82 B.75 C.65 D.62

解析 本题要根据加权平均数公式计算，

=82。故答案选A。

点评 本题考查加权平均数公式，是总和除以总人数而得到平均成绩，这种加权思想值得大家重视，比如统计学校八年级（6个班）的数学平均成绩，就不能简单地对6个班的平均分求平均数，而应该把6个班的总分除以6个班总人数才能得出八年级数学平均分。

考点2 众数和中位数的求法

求解此类问题时应认真观察，明确各数出现的次数，再根据定义求解。

例2 某学校四个绿化小组在植树节这天种下白杨树的棵数如下：10、10、x、8，已知这组数据的众数和平均数相等，那么这组数据的中位数是_______。

解析 根据众数的定义，当x=10时，这组数据的众数是10；当x=8时，这组数据没有众数；当x为其他数时，这组数据的众数还是10。所以，这组数据的众数必定是10。

由这组数据的众数和平均数相等，得=10，x=12。

把数据从小到大排序，得8、10、10、12，所以这组数据的中位数是=10。

点评 众数就是一组数据中出现次数最多的那个数。有时候，一组数据中的众数不止一个；有时候，一组数据中也可能没有众数。比如数据1、2、2、3、3中，2和3都是众数，而数据2、2、3、3中就没有众数。作为一组数据的代表，众数是“屈指可数的”。

例3 某中学为了解某年级1 200名学生每学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级50名学生进行了调查，结果如下表：

在这个统计中，众数是__________，中位数是__________。

解析 从调查数据可知，参加实践活动9天的次数最多，即众数为9天，而中位数从4天开始到最多13天中，50人参加了调查，中位数应为第25、26人，恰好都为9天，故中位数也为9天。

点评 将一组数据按从大到小（或从小到大）的顺序排列时，处在最中间位置的一个数（奇数个数据时）或两个数据（偶数个数据时）的平均数叫做这组数据的中位数。中位数代表着一组数据的“中等水平”。

考点3 利用众数、平均数的关系求字母的值

这类题目在中考题中经常出现，求解时应认真分析题意后列方程求解。

例4 一组数据5、7、7、x的中位数与平均数相等，则x的值为______。

解析 数据5、7、7、x的平均数x==。

①当x≤5时，数据从小到大排列为：x、5、7、7，则中位数是=6。根据已知得=6，所以x=5。

②当5

③当x≥7时，数据从小到大排列为：5、7、7、x，则中位数是。根据已知得=7，所以x=9。

所以x的值为5或9。

点评 中位数是将数据按大小顺序依次排列（即使相等的数也应全部参加排序），当数据的个数是奇数时，中位数就是最中间的那个数；当数据的个数是偶数时，就取最中间的两个数的平均数为中位数。

考点4 创新情境应用题

例5 某校九年级（1）班积极响应校团委的号召， 每位同学都向“希望工程”捐献图书，全班40名同学共捐图书320册。特别值得一提的是小李、小王两位同学在父母的支持下各捐献了50册图书。班长统计了全班捐书情况如下表（被粗心的马小虎用墨水污染了一部分）：

（1）分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数；

（2）请计算出捐书册数的平均数、中位数和众数， 并判断其中哪些统计量不能反映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由。

分析 本题是一道集方程组、平均数、中位数和众数于一体的表格信息题，根据已知条件及表格数据信息可知：捐7册书人数+捐8册书人数=40-（6+8+15+2）=9；捐7册书总数+捐8册书总数=320-（4×6+5×8+6×15+50×2）。由此可设未知数列方程组，求出捐献7册图书和8册图书的人数，进而计算出平均数、众数和中位数。

解 （1）设捐7册书有x人，捐8册书有y人，根据题意得

x+y=40-（6+8+15+2）=9，7x+8y=320-（4×6+5×8+6×15+50×2）=66， 解得x=6，y=3。

所以捐7册图书有6人，捐8册图书有3人。

（2）捐书的平均数为320÷40=8（册），捐书的中位数为6册，捐书的众数为6册。

中位数或众数可以用来反映全班同学的一般捐书情况，而平均数为8册不能反映该班同学捐书册数的一般状况。因为多数同学的捐书在6本左右，而捐书8册的只有3人。

例6 阅读理解：市盈率是某种股票每股市价与每股盈利的比率（即某只股票的市盈率=该股票当前每股市价÷该股票上一年每股盈利）。市盈率是估计股票价值的最基本、最重要的指标之一。一般认为，该比率保持在30以下是正常的，风险小，值得购买；过大则说明股价高，风险大，购买时应谨慎。

应用：某日一股民通过互联网了解到如下三方面的信息：

①甲股票当日每股市价与上年每股盈利分别为5元、0.2元，乙股票当日每股市价与上年每股股盈利分别为8元、0.01元。

②该股民所购买的15只股票的市盈率情况如下表：

③丙股票最近10天的市盈率依次为：

20 20 30 28 32 35 38 42 40 44

根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两只股票的市盈率分别是多少？

（2）该股民所购买的15只股票中风险较小的有几只？

（3）求该股民所购15只股票的市盈率的平均数、中位数与众数。

分析 这是一个社会热点问题，解决问题的关键是要理解题意，看清所给信息的含义。

解 （1）甲股票的市盈率为5÷0.2=25，乙股票的市盈率为8÷0.01=800；

（2）市盈率小于30时，风险较小，因而有5只；

（3）平均数为100，中位数为59，众数为80；

平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”。我们要根据实际问题的具体内容和考查目标，灵活选用平均数、中位数和众数来反映一组数据某个方面的特征。数据的代表要求掌握平均数、中位数、众数等基本概念，并能够合理应用它们解决实际问题。下面对这部分内容的考点进行分类解析。

考点1 平均数的求法

平均数反映的是一组数据中各个数据的平均大小。作为“一般水平”的平均数可以通过计算得到，一般的计算方法是：用一组数据的总和除以数据的个数。

例1 某班在一次数学测试后，成绩统计如下表：

该班这次数学测试的平均成绩是（ ）

A.82 B.75 C.65 D.62

解析 本题要根据加权平均数公式计算，

=82。故答案选A。

点评 本题考查加权平均数公式，是总和除以总人数而得到平均成绩，这种加权思想值得大家重视，比如统计学校八年级（6个班）的数学平均成绩，就不能简单地对6个班的平均分求平均数，而应该把6个班的总分除以6个班总人数才能得出八年级数学平均分。

考点2 众数和中位数的求法

求解此类问题时应认真观察，明确各数出现的次数，再根据定义求解。

例2 某学校四个绿化小组在植树节这天种下白杨树的棵数如下：10、10、x、8，已知这组数据的众数和平均数相等，那么这组数据的中位数是_______。

解析 根据众数的定义，当x=10时，这组数据的众数是10；当x=8时，这组数据没有众数；当x为其他数时，这组数据的众数还是10。所以，这组数据的众数必定是10。

由这组数据的众数和平均数相等，得=10，x=12。

把数据从小到大排序，得8、10、10、12，所以这组数据的中位数是=10。

点评 众数就是一组数据中出现次数最多的那个数。有时候，一组数据中的众数不止一个；有时候，一组数据中也可能没有众数。比如数据1、2、2、3、3中，2和3都是众数，而数据2、2、3、3中就没有众数。作为一组数据的代表，众数是“屈指可数的”。

例3 某中学为了解某年级1 200名学生每学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级50名学生进行了调查，结果如下表：

在这个统计中，众数是__________，中位数是__________。

解析 从调查数据可知，参加实践活动9天的次数最多，即众数为9天，而中位数从4天开始到最多13天中，50人参加了调查，中位数应为第25、26人，恰好都为9天，故中位数也为9天。

点评 将一组数据按从大到小（或从小到大）的顺序排列时，处在最中间位置的一个数（奇数个数据时）或两个数据（偶数个数据时）的平均数叫做这组数据的中位数。中位数代表着一组数据的“中等水平”。

考点3 利用众数、平均数的关系求字母的值

这类题目在中考题中经常出现，求解时应认真分析题意后列方程求解。

例4 一组数据5、7、7、x的中位数与平均数相等，则x的值为______。

解析 数据5、7、7、x的平均数x==。

①当x≤5时，数据从小到大排列为：x、5、7、7，则中位数是=6。根据已知得=6，所以x=5。

②当5

③当x≥7时，数据从小到大排列为：5、7、7、x，则中位数是。根据已知得=7，所以x=9。

所以x的值为5或9。

点评 中位数是将数据按大小顺序依次排列（即使相等的数也应全部参加排序），当数据的个数是奇数时，中位数就是最中间的那个数；当数据的个数是偶数时，就取最中间的两个数的平均数为中位数。

考点4 创新情境应用题

例5 某校九年级（1）班积极响应校团委的号召， 每位同学都向“希望工程”捐献图书，全班40名同学共捐图书320册。特别值得一提的是小李、小王两位同学在父母的支持下各捐献了50册图书。班长统计了全班捐书情况如下表（被粗心的马小虎用墨水污染了一部分）：

（1）分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数；

（2）请计算出捐书册数的平均数、中位数和众数， 并判断其中哪些统计量不能反映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由。

分析 本题是一道集方程组、平均数、中位数和众数于一体的表格信息题，根据已知条件及表格数据信息可知：捐7册书人数+捐8册书人数=40-（6+8+15+2）=9；捐7册书总数+捐8册书总数=320-（4×6+5×8+6×15+50×2）。由此可设未知数列方程组，求出捐献7册图书和8册图书的人数，进而计算出平均数、众数和中位数。

解 （1）设捐7册书有x人，捐8册书有y人，根据题意得

x+y=40-（6+8+15+2）=9，7x+8y=320-（4×6+5×8+6×15+50×2）=66， 解得x=6，y=3。

所以捐7册图书有6人，捐8册图书有3人。

（2）捐书的平均数为320÷40=8（册），捐书的中位数为6册，捐书的众数为6册。

中位数或众数可以用来反映全班同学的一般捐书情况，而平均数为8册不能反映该班同学捐书册数的一般状况。因为多数同学的捐书在6本左右，而捐书8册的只有3人。

例6 阅读理解：市盈率是某种股票每股市价与每股盈利的比率（即某只股票的市盈率=该股票当前每股市价÷该股票上一年每股盈利）。市盈率是估计股票价值的最基本、最重要的指标之一。一般认为，该比率保持在30以下是正常的，风险小，值得购买；过大则说明股价高，风险大，购买时应谨慎。

应用：某日一股民通过互联网了解到如下三方面的信息：

①甲股票当日每股市价与上年每股盈利分别为5元、0.2元，乙股票当日每股市价与上年每股股盈利分别为8元、0.01元。

②该股民所购买的15只股票的市盈率情况如下表：

③丙股票最近10天的市盈率依次为：

20 20 30 28 32 35 38 42 40 44

根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两只股票的市盈率分别是多少？

（2）该股民所购买的15只股票中风险较小的有几只？

（3）求该股民所购15只股票的市盈率的平均数、中位数与众数。

分析 这是一个社会热点问题，解决问题的关键是要理解题意，看清所给信息的含义。

解 （1）甲股票的市盈率为5÷0.2=25，乙股票的市盈率为8÷0.01=800；

（2）市盈率小于30时，风险较小，因而有5只；

（3）平均数为100，中位数为59，众数为80；

平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”。我们要根据实际问题的具体内容和考查目标，灵活选用平均数、中位数和众数来反映一组数据某个方面的特征。数据的代表要求掌握平均数、中位数、众数等基本概念，并能够合理应用它们解决实际问题。下面对这部分内容的考点进行分类解析。

考点1 平均数的求法

平均数反映的是一组数据中各个数据的平均大小。作为“一般水平”的平均数可以通过计算得到，一般的计算方法是：用一组数据的总和除以数据的个数。

例1 某班在一次数学测试后，成绩统计如下表：

该班这次数学测试的平均成绩是（ ）

A.82 B.75 C.65 D.62

解析 本题要根据加权平均数公式计算，

=82。故答案选A。

点评 本题考查加权平均数公式，是总和除以总人数而得到平均成绩，这种加权思想值得大家重视，比如统计学校八年级（6个班）的数学平均成绩，就不能简单地对6个班的平均分求平均数，而应该把6个班的总分除以6个班总人数才能得出八年级数学平均分。

考点2 众数和中位数的求法

求解此类问题时应认真观察，明确各数出现的次数，再根据定义求解。

例2 某学校四个绿化小组在植树节这天种下白杨树的棵数如下：10、10、x、8，已知这组数据的众数和平均数相等，那么这组数据的中位数是_______。

解析 根据众数的定义，当x=10时，这组数据的众数是10；当x=8时，这组数据没有众数；当x为其他数时，这组数据的众数还是10。所以，这组数据的众数必定是10。

由这组数据的众数和平均数相等，得=10，x=12。

把数据从小到大排序，得8、10、10、12，所以这组数据的中位数是=10。

点评 众数就是一组数据中出现次数最多的那个数。有时候，一组数据中的众数不止一个；有时候，一组数据中也可能没有众数。比如数据1、2、2、3、3中，2和3都是众数，而数据2、2、3、3中就没有众数。作为一组数据的代表，众数是“屈指可数的”。

例3 某中学为了解某年级1 200名学生每学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级50名学生进行了调查，结果如下表：

在这个统计中，众数是__________，中位数是__________。

解析 从调查数据可知，参加实践活动9天的次数最多，即众数为9天，而中位数从4天开始到最多13天中，50人参加了调查，中位数应为第25、26人，恰好都为9天，故中位数也为9天。

点评 将一组数据按从大到小（或从小到大）的顺序排列时，处在最中间位置的一个数（奇数个数据时）或两个数据（偶数个数据时）的平均数叫做这组数据的中位数。中位数代表着一组数据的“中等水平”。

考点3 利用众数、平均数的关系求字母的值

这类题目在中考题中经常出现，求解时应认真分析题意后列方程求解。

例4 一组数据5、7、7、x的中位数与平均数相等，则x的值为______。

解析 数据5、7、7、x的平均数x==。

①当x≤5时，数据从小到大排列为：x、5、7、7，则中位数是=6。根据已知得=6，所以x=5。

②当5

③当x≥7时，数据从小到大排列为：5、7、7、x，则中位数是。根据已知得=7，所以x=9。

所以x的值为5或9。

点评 中位数是将数据按大小顺序依次排列（即使相等的数也应全部参加排序），当数据的个数是奇数时，中位数就是最中间的那个数；当数据的个数是偶数时，就取最中间的两个数的平均数为中位数。

考点4 创新情境应用题

例5 某校九年级（1）班积极响应校团委的号召， 每位同学都向“希望工程”捐献图书，全班40名同学共捐图书320册。特别值得一提的是小李、小王两位同学在父母的支持下各捐献了50册图书。班长统计了全班捐书情况如下表（被粗心的马小虎用墨水污染了一部分）：

（1）分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数；

（2）请计算出捐书册数的平均数、中位数和众数， 并判断其中哪些统计量不能反映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由。

分析 本题是一道集方程组、平均数、中位数和众数于一体的表格信息题，根据已知条件及表格数据信息可知：捐7册书人数+捐8册书人数=40-（6+8+15+2）=9；捐7册书总数+捐8册书总数=320-（4×6+5×8+6×15+50×2）。由此可设未知数列方程组，求出捐献7册图书和8册图书的人数，进而计算出平均数、众数和中位数。

解 （1）设捐7册书有x人，捐8册书有y人，根据题意得

x+y=40-（6+8+15+2）=9，7x+8y=320-（4×6+5×8+6×15+50×2）=66， 解得x=6，y=3。

所以捐7册图书有6人，捐8册图书有3人。

（2）捐书的平均数为320÷40=8（册），捐书的中位数为6册，捐书的众数为6册。

中位数或众数可以用来反映全班同学的一般捐书情况，而平均数为8册不能反映该班同学捐书册数的一般状况。因为多数同学的捐书在6本左右，而捐书8册的只有3人。

例6 阅读理解：市盈率是某种股票每股市价与每股盈利的比率（即某只股票的市盈率=该股票当前每股市价÷该股票上一年每股盈利）。市盈率是估计股票价值的最基本、最重要的指标之一。一般认为，该比率保持在30以下是正常的，风险小，值得购买；过大则说明股价高，风险大，购买时应谨慎。

应用：某日一股民通过互联网了解到如下三方面的信息：

①甲股票当日每股市价与上年每股盈利分别为5元、0.2元，乙股票当日每股市价与上年每股股盈利分别为8元、0.01元。

②该股民所购买的15只股票的市盈率情况如下表：

③丙股票最近10天的市盈率依次为：

20 20 30 28 32 35 38 42 40 44

根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两只股票的市盈率分别是多少？

（2）该股民所购买的15只股票中风险较小的有几只？

（3）求该股民所购15只股票的市盈率的平均数、中位数与众数。

分析 这是一个社会热点问题，解决问题的关键是要理解题意，看清所给信息的含义。

解 （1）甲股票的市盈率为5÷0.2=25，乙股票的市盈率为8÷0.01=800；

（2）市盈率小于30时，风险较小，因而有5只；

（3）平均数为100，中位数为59，众数为80；