横向整合纵向推进

陈永伟

【摘 要】习题是小学生进行数学学习的重要内容之一。对于教材上的习题，我们不能按步就搬，而是应该进行二度开发。第一，要通过化静为动、“画龙点睛”、以点带面等手段对习题进行横向整合，拓宽习题的广度；第二，要通过纵向推进、前后沟通、结论拓展等方法对习题进行深入挖掘，延伸习题的深度。

【关键词】拓展；习题；广度；深度

习题是小学数学课最常用的训练方式之一，通过练习既可以使学生巩固所学知识、发展智能、提升思维，又可以诊断教学实施状况。从教几年来，听了不少教师的公开课，发现存在不少问题，如：教师缺少设计，整节课都是学生在不停的做练习；练习的形式单一，缺少生活化，尤其是计算教学；机械重复训练，不仅加重了学生的课业负担，而且失去了对数学的兴趣，这些现象归根到底其实就是教师对“习题”的认识不到位造成的，他们认为习题只是巩固学生知识，提高技能的一种手段，而忽视了“习题”在拓展思维，促进数学思考方面的作用。因此，在教学中，习题的设计过程中，应充分考虑练习的背景与效益，深入地挖掘习题中隐含的思维价值，最大限度地发挥习题的数学思维价值，有效地促进学生思维发展。

一、横向整合——让数学习题具有思维广度

数学课本上的习题，考虑到不同地区、不同学生以及教材容量等因素，在安排习题时，总是比较简单。但是教材只是一个载体，所编排的习题也只是给我们唯一的范例，教学时，需要我们教师认真解读，挖掘蕴涵的思维价值，根据学生情况巧妙进行整合，以增强练习的广度。

（一）变静为动，扩散练习的“点”

瑞士心理学家皮亚杰认为：“儿童掌握知识，提高认识，必须通过儿童自己的动作。”教材的习题以文本的形式出现的，是静止的。在给学生安排习题的时候，如果能变静为动，让学生通过动手操作完成习题，将有助于调动学生多种感官，眼、手、脑参与学习，充分发挥习题的功能，使学生在更好掌握数学知识的同时，启迪思维，发展能力。

例如，在教学《圆的面积》后，出示了这样一题“在一张长为10厘米，宽为7厘米的长方形纸上，能剪下几个半径是1厘米的圆形纸片？”有的学生说：能剪70个，还要的学生说：只能剪15个，面对学生两种截然不同的答案，教师不急于作出评价。而是，给学生提供了一张长10厘米，宽7厘米纸片，让学生进行小组合作学习，在纸上动手进行剪一剪，学生经过自己动手操作，很快得出结论。这样，教师将静止的习题，通过让学生动手操作，变成了动态的习题，不仅提高学生的实践能力，而且让学生在这样的环境中“做”数学，使学生对所学的知识进一步深化。

（二）“画龙点睛”，拉长练习的“线”

一节课的教学内容，从新知探索到练习安排，教材多少篇幅都是有限的，所安排的习题也只能是笼统的，很多习题都融合在一起，如果教师就按照教材提供的习题，可能不能很好的发挥习题的作用，学生知识点的掌握也不系统，如果教师在理解教材的编排意图后，能根据班级学生的学习情况，对一些练习“画龙点睛”，使得通过练习使学生系统的掌握知识，建构知识网络，从而提课堂教学效率。例如，在教学“百分数”一课时，教材提供的习题是这样的：

教材安排的这道练习，其目的是想通过这个表格的填写，掌握百分数化小数、百分数化分数、分数化百分数、小数化百分数的方法。假如就按照这个表格的形式让学生练习，学生也能巩固百分数、分数、分数三者的转化方法。但对于学生系统掌握百分数、分数、分数的转化方法没多大帮助，不利于学生整体构建知识网络。为此，教学时，教师将这个表格进行适当的重组：

先按要求进行转化，再独立思考，填写你的方法。

教师改变了原有习题的形式，分类引导学生进行转化，并要求学生写写转化方法，这样做的好处是帮助学生从整体上去构建百分数化小数、百分数化分数、分数化百分数、小数化百分数的方法。虽然只是简单地改变了一下形式，但并不影响这道题目的功能，反而将练习的这根“线”拉长了，使学生更加容易掌握百分数、分数、分数三者的转化方法。通过最后的交流，形成了具体的方法。重要的是这些方法都是学生自己发现的，印象深刻。

（三）以点带面，扩充练习的“面”

课本中的练习，通常比较简单，涉及的也知识那么几个知识点，都是基础知识的应用，不能忽略。为此，可以适当将该习题变形、扩充，使题的含量扩大，扩充练习的“面”，从而使学生全面掌握知识。

例如，在学习了一年级下册第一单元“百以内数的认识”后，可以安排这样的练习：

⑴排名次。淘气、笑笑、小明三位同学参加运动会跳绳比赛，淘气跳了85下、笑笑跳了78下、小明跳了90下，请同学们按照成绩排出他们的名次。

⑵颁奖。第1名奖一个70元的书包，第3名奖一副25元的乒乓球拍。请同学们读一读这两个奖品的价钱。

⑶第2名奖励一个篮球，它的价格比第3名多得多，请你猜一猜多少钱？说说你的理由。

⑷给一年级的运动员编号，如果笑笑是50号，排在笑笑前面的是几号？排在笑笑后面的是几吗？其它几节应该怎样编号呢？你能从笑笑开始数出后面5个号码吗？能说出前面5位运动员的号码吗？

在这一组练习中，教师以运动会位情境，将百以内数的相关知识串在一起，实现以点带面的效果，学生通过这样的练习，更加全面地掌握百以内数的读、写以及相对大小关系等知识，而且感受到学习的乐趣。

二、纵向推进——让数学习题具有思维深度

思维在数学学习中具有重要的作用，思维训练贯穿于整个教学过程。数学习题也蕴涵着数学思想，因此，教师要用足用好每一道练习题，认真钻研教材，理解习题内涵，明确每一道习题的作用和功能，对教材里的习题作适当调整、组合、补充，充分发挥习题的思维价值。

（一）分层推进，深化有效训练的“点”

教材是死的，它给我们呈现地习题是不会说话的，而且是一道题一道题编排的。但是教师在使用的时候，一定要挖掘每道题之间存在的联系，让每个练习的“点”串成“线”。

例如，在教学“三位数除以一位数的笔算”一课时，一位教师安排了这样的练习：

⑴分组练习：726÷6和847÷7，全班同学分成两组进行比赛。

⑵引导学生观察商的位数。并组织学生开展讨论：两道题目有什么共同点？又有什么不同点？你有什么发现？

初步得出：确定商有几位，看被除数的百位上的数，如果百位上的数比除数大，商就三位数，如果被除数百位上的数比除数小，商就是两位数。

⑶请你不要计算确定商是几位数：408÷2、840÷6、782÷6、389÷9学生很快完成，而且正确率高。

⑷完善：404÷4商是几位？由于学生刚才接触的都是被除数百位上的数比除数大或者小的情况，学生判断时稍微犹豫了下，但最后也能判断。这时教师顺势提出：对刚才的结论还要完善吗？学生很快将“被除数百位上的数和除数相等，商也是三位数”补充到刚才的结论。

⑤强化：□32÷4，如果商是三位数，□里最小填几？如果商是两位数，□里最大填几？

在这个例子中，这一组练习的最终目的是提高计算的熟练程度，并发现其中所蕴藏的规律，很多教师一般的做法就是通过大量的练习并从中找到规律，但容易成机械训练。但这位教师只让学生计算两道不同的题目，发现其中的规律，然后通过在应用规律中进一步完善规律，最后通过填数练习提升思维。这样的练习安排层层推进，每一层次的练习都有不同的要求，每一层次的练习都有知识的延伸，学生通过练习都能获得不同的知识经验。

（二）前后沟通，连接知识联系的“线”

教材中的习题虽然看似每题都是独立的，但知识之间都是存在联系的，习题也不例外，在安排练习时，教师一定沟通习题的前后联系，使新旧知识融为一体，把新的知识纳入学生原有的认识结构，使学生对知识的掌握达到“熟练”的要求，培养学生灵活运用所学知识的能力。

例如，在学习了六年级上册《圆的面积计算》这一课后，教师为了沟通所学平面图形的联系安排了这样一道题目：长方形的长20cm、宽11.4 cm。有一个圆和正方形他们的周长都和长方形相等，这个圆的面积是多少？正方形的面积是多少？学生通过计算发现三个图形周长相等时，圆的面积最大。

在六年级下册《圆柱的体积》一课中，又用到了圆的知识，这时教师为了沟通立体图形的体积存在的联系，先让学生再做一做这道题目，促使学生回忆起：长方形、正方形和圆在周长相等的情况下，面积最大的圆。然后出示了本节课要练习的习题：长方体、立方体和圆柱体的底面周长和高都相等，谁的体积最大？学生很快就利用六年级上册掌握的相关知识解决了这道题目。

这样，以习题方式沟通了知识之间的前后联系，使六年级上册学得的规律，延伸到六年级下册的学习当中，达到利用旧知识解决新问题，又把新知识融合到旧知识，完善了学生原有的认识结构，提高了学生灵活运用所学知识的解决问题的能力。

（三）结论拓展，深化思维训练的“面”

数学知识很多是以结论、概念、公式方式进行学习的，很多老师只要学生掌握了结论、概念就以为万事大吉了，而忽视了对数学结论进行拓展，以深化学生的思维。

例如，在学习《长方形和正方形的周长》一课后，学生已经知道怎样求长方形和正方形的周长。基本的练习学生都已经掌握了，为了教师设计了这样一道题目：一张正方形纸的边长是10厘米。在它的边上减去一个长3厘米，宽2厘米的长方形后，剩下的纸的周长是多少厘米？

题目初看很简单，但是学生会按所学公式求解，而且受求剩余量用减法的思维定势影响，出现10×4=40（厘米）；（3+2）×2=10（厘米）；40-10=30（厘米）这样错误的答案。这就需要学生调动已有的知识经验，通过想象、操作等探索各种不同的剪法，再进行讨论才能求出不同的答案。

这样设计打破了学生的思维定势，具体问题具体分析，数形结合，训练了学生思维的正确性、灵活性和周密性。

总之，要使数学习题达到优化，必须正确处理教材、例题、习题之间的关系。做到将习题与学生的认知能力结合起来，既关注学生知识技能的掌握，又关注学生数学思维、情感态度与价值观的培养，才能使数学课堂真正走向实效。

【参考文献】

[1]季小莉.注意暗示及时提醒——浅谈数学课堂教学启发式策略.语数外学习（数学教育），2013，（01）

[2]王超.构建思维习题数学流光溢彩.青年教师，2008，（02）

[3]朱辉.试论数学课堂教学中的习题设计.数学教与学，2012，（16）

（作者单位：浙江省青田县实验小学）

例如，在教学“三位数除以一位数的笔算”一课时，一位教师安排了这样的练习：

⑴分组练习：726÷6和847÷7，全班同学分成两组进行比赛。

⑵引导学生观察商的位数。并组织学生开展讨论：两道题目有什么共同点？又有什么不同点？你有什么发现？

初步得出：确定商有几位，看被除数的百位上的数，如果百位上的数比除数大，商就三位数，如果被除数百位上的数比除数小，商就是两位数。

⑶请你不要计算确定商是几位数：408÷2、840÷6、782÷6、389÷9学生很快完成，而且正确率高。

⑷完善：404÷4商是几位？由于学生刚才接触的都是被除数百位上的数比除数大或者小的情况，学生判断时稍微犹豫了下，但最后也能判断。这时教师顺势提出：对刚才的结论还要完善吗？学生很快将“被除数百位上的数和除数相等，商也是三位数”补充到刚才的结论。

⑤强化：□32÷4，如果商是三位数，□里最小填几？如果商是两位数，□里最大填几？

在这个例子中，这一组练习的最终目的是提高计算的熟练程度，并发现其中所蕴藏的规律，很多教师一般的做法就是通过大量的练习并从中找到规律，但容易成机械训练。但这位教师只让学生计算两道不同的题目，发现其中的规律，然后通过在应用规律中进一步完善规律，最后通过填数练习提升思维。这样的练习安排层层推进，每一层次的练习都有不同的要求，每一层次的练习都有知识的延伸，学生通过练习都能获得不同的知识经验。

（二）前后沟通，连接知识联系的“线”

教材中的习题虽然看似每题都是独立的，但知识之间都是存在联系的，习题也不例外，在安排练习时，教师一定沟通习题的前后联系，使新旧知识融为一体，把新的知识纳入学生原有的认识结构，使学生对知识的掌握达到“熟练”的要求，培养学生灵活运用所学知识的能力。

例如，在学习了六年级上册《圆的面积计算》这一课后，教师为了沟通所学平面图形的联系安排了这样一道题目：长方形的长20cm、宽11.4 cm。有一个圆和正方形他们的周长都和长方形相等，这个圆的面积是多少？正方形的面积是多少？学生通过计算发现三个图形周长相等时，圆的面积最大。

在六年级下册《圆柱的体积》一课中，又用到了圆的知识，这时教师为了沟通立体图形的体积存在的联系，先让学生再做一做这道题目，促使学生回忆起：长方形、正方形和圆在周长相等的情况下，面积最大的圆。然后出示了本节课要练习的习题：长方体、立方体和圆柱体的底面周长和高都相等，谁的体积最大？学生很快就利用六年级上册掌握的相关知识解决了这道题目。

这样，以习题方式沟通了知识之间的前后联系，使六年级上册学得的规律，延伸到六年级下册的学习当中，达到利用旧知识解决新问题，又把新知识融合到旧知识，完善了学生原有的认识结构，提高了学生灵活运用所学知识的解决问题的能力。

（三）结论拓展，深化思维训练的“面”

数学知识很多是以结论、概念、公式方式进行学习的，很多老师只要学生掌握了结论、概念就以为万事大吉了，而忽视了对数学结论进行拓展，以深化学生的思维。

例如，在学习《长方形和正方形的周长》一课后，学生已经知道怎样求长方形和正方形的周长。基本的练习学生都已经掌握了，为了教师设计了这样一道题目：一张正方形纸的边长是10厘米。在它的边上减去一个长3厘米，宽2厘米的长方形后，剩下的纸的周长是多少厘米？

题目初看很简单，但是学生会按所学公式求解，而且受求剩余量用减法的思维定势影响，出现10×4=40（厘米）；（3+2）×2=10（厘米）；40-10=30（厘米）这样错误的答案。这就需要学生调动已有的知识经验，通过想象、操作等探索各种不同的剪法，再进行讨论才能求出不同的答案。

这样设计打破了学生的思维定势，具体问题具体分析，数形结合，训练了学生思维的正确性、灵活性和周密性。

总之，要使数学习题达到优化，必须正确处理教材、例题、习题之间的关系。做到将习题与学生的认知能力结合起来，既关注学生知识技能的掌握，又关注学生数学思维、情感态度与价值观的培养，才能使数学课堂真正走向实效。

【参考文献】

[1]季小莉.注意暗示及时提醒——浅谈数学课堂教学启发式策略.语数外学习（数学教育），2013，（01）

[2]王超.构建思维习题数学流光溢彩.青年教师，2008，（02）

[3]朱辉.试论数学课堂教学中的习题设计.数学教与学，2012，（16）

（作者单位：浙江省青田县实验小学）

例如，在教学“三位数除以一位数的笔算”一课时，一位教师安排了这样的练习：

⑴分组练习：726÷6和847÷7，全班同学分成两组进行比赛。

⑵引导学生观察商的位数。并组织学生开展讨论：两道题目有什么共同点？又有什么不同点？你有什么发现？

初步得出：确定商有几位，看被除数的百位上的数，如果百位上的数比除数大，商就三位数，如果被除数百位上的数比除数小，商就是两位数。

⑶请你不要计算确定商是几位数：408÷2、840÷6、782÷6、389÷9学生很快完成，而且正确率高。

⑷完善：404÷4商是几位？由于学生刚才接触的都是被除数百位上的数比除数大或者小的情况，学生判断时稍微犹豫了下，但最后也能判断。这时教师顺势提出：对刚才的结论还要完善吗？学生很快将“被除数百位上的数和除数相等，商也是三位数”补充到刚才的结论。

⑤强化：□32÷4，如果商是三位数，□里最小填几？如果商是两位数，□里最大填几？

在这个例子中，这一组练习的最终目的是提高计算的熟练程度，并发现其中所蕴藏的规律，很多教师一般的做法就是通过大量的练习并从中找到规律，但容易成机械训练。但这位教师只让学生计算两道不同的题目，发现其中的规律，然后通过在应用规律中进一步完善规律，最后通过填数练习提升思维。这样的练习安排层层推进，每一层次的练习都有不同的要求，每一层次的练习都有知识的延伸，学生通过练习都能获得不同的知识经验。

（二）前后沟通，连接知识联系的“线”

教材中的习题虽然看似每题都是独立的，但知识之间都是存在联系的，习题也不例外，在安排练习时，教师一定沟通习题的前后联系，使新旧知识融为一体，把新的知识纳入学生原有的认识结构，使学生对知识的掌握达到“熟练”的要求，培养学生灵活运用所学知识的能力。

例如，在学习了六年级上册《圆的面积计算》这一课后，教师为了沟通所学平面图形的联系安排了这样一道题目：长方形的长20cm、宽11.4 cm。有一个圆和正方形他们的周长都和长方形相等，这个圆的面积是多少？正方形的面积是多少？学生通过计算发现三个图形周长相等时，圆的面积最大。

在六年级下册《圆柱的体积》一课中，又用到了圆的知识，这时教师为了沟通立体图形的体积存在的联系，先让学生再做一做这道题目，促使学生回忆起：长方形、正方形和圆在周长相等的情况下，面积最大的圆。然后出示了本节课要练习的习题：长方体、立方体和圆柱体的底面周长和高都相等，谁的体积最大？学生很快就利用六年级上册掌握的相关知识解决了这道题目。

这样，以习题方式沟通了知识之间的前后联系，使六年级上册学得的规律，延伸到六年级下册的学习当中，达到利用旧知识解决新问题，又把新知识融合到旧知识，完善了学生原有的认识结构，提高了学生灵活运用所学知识的解决问题的能力。

（三）结论拓展，深化思维训练的“面”

数学知识很多是以结论、概念、公式方式进行学习的，很多老师只要学生掌握了结论、概念就以为万事大吉了，而忽视了对数学结论进行拓展，以深化学生的思维。

例如，在学习《长方形和正方形的周长》一课后，学生已经知道怎样求长方形和正方形的周长。基本的练习学生都已经掌握了，为了教师设计了这样一道题目：一张正方形纸的边长是10厘米。在它的边上减去一个长3厘米，宽2厘米的长方形后，剩下的纸的周长是多少厘米？

题目初看很简单，但是学生会按所学公式求解，而且受求剩余量用减法的思维定势影响，出现10×4=40（厘米）；（3+2）×2=10（厘米）；40-10=30（厘米）这样错误的答案。这就需要学生调动已有的知识经验，通过想象、操作等探索各种不同的剪法，再进行讨论才能求出不同的答案。

这样设计打破了学生的思维定势，具体问题具体分析，数形结合，训练了学生思维的正确性、灵活性和周密性。

总之，要使数学习题达到优化，必须正确处理教材、例题、习题之间的关系。做到将习题与学生的认知能力结合起来，既关注学生知识技能的掌握，又关注学生数学思维、情感态度与价值观的培养，才能使数学课堂真正走向实效。

【参考文献】

[1]季小莉.注意暗示及时提醒——浅谈数学课堂教学启发式策略.语数外学习（数学教育），2013，（01）

[2]王超.构建思维习题数学流光溢彩.青年教师，2008，（02）

[3]朱辉.试论数学课堂教学中的习题设计.数学教与学，2012，（16）

（作者单位：浙江省青田县实验小学）