浅谈构造法在初中数学教学中的运用

王晓娟

教学目标：

（一）知识目标：（1）掌握等腰三角形存在性问题的常用方法，并重点理解构造法解决等腰三角形存在性问题。（2）掌握构造法解决等腰三角形存在性问题的条件，能用适当的方法解决等腰三角形存在性问题。

（二）能力目标：培养学生归纳总结的能力，以及对综合性问题的独立解决能力，并引导学生掌握从特殊到一般的研究方法。

（三）情感目标：培养学生分析、观察、探究、归纳、总结的能力，并在学习过程中激发学生独立探讨、协作学习的热情，以期提高学生学习知识的兴趣。

教学重点：用构造法解决等腰三角形的存在性问题。

教学难点：构造法解决等腰三角形的存在性问题的基本条件。

教学方法：课堂讨论法

教学准备：计算机辅助教学

教学过程：

师：昨天我们布置了一道作业题，让同学们课后探究其解法，下面就请同学们针对题目谈谈你对此题的看法，并展示你的作法。（教师屏幕显示作业题）

如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）。抛物线y=ax2+bx过A、C两点。

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发。沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动。速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒。过点P作PE⊥AB交AC于点E。

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G。当t为何值时，线段EG最长？

②连接EQ。在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值。

■

生：老师，昨天的题目中的第一个问题很简单，把已知点的坐标代入解析式中就可以求解，第二个问题中的线段最大值问题也比较容易解决，只要把EG的长表示成关于t的函数关系式即可，我的答案分别是A（4，8），解析式为y=■x2+4x。第二个问题的第一小问，是t=4的时候，EG的最大值为2.

师：他说的对吗？

生：对！

师：那我们现在就来谈谈你对最后一个问题的看法。

生：老师，我们小组的同学，在解决最后一个问题的时候，都注意到了，要想使△CEQ成为等腰三角形，首先要分类讨论，也就是原来的题目中，并没设定哪两条边的相等关系。

师：对，在点的运动过程中，题目并没有直接给出要使哪两条边相等，而是否存在这样的等腰三角形，需要我们进一步求证，我们这节课就来具体的研究一下等腰三角形的存在性问题。（老师板书：________等腰三角形的存在性问题）

生：我们注意到了这个问题后，首先做了分类，也就是分三个方面解决这个问题，即（1）CE=CQ（2）CE=EQ（3）CQ=EQ。（教师板书上面三条）其中CQ=t，CE=4■-■t，EQ的长也通过过E向CD做垂线，用勾股定理得到，EQ=■。这样，我们通过解方程的方法就可以获得最后的答案。

师：其他小组的同学有什么看法吗？

生：我们小组也做过方程法的尝试，但在进行的过程中，发现只有（1）所列的方程比较好解，而（2）中所列方程4■-■t=■的运算繁复冗长，在短时间内并不能保证我们的答案是正确的，因为我们毕业生面临的是中考，所以我们在求解过程中放弃了用t表示EQ的做法。

师：说的比较好，我们面临的是中考，所以我们所采用的方法必需是清晰、明了、简单而实用的，请你继续发言。

生：我们小组认为，等腰三角形除了边等的特点外，还有别的性质，比如三线合一的特性，所以我们在解决（3）CQ=EQ的过程中，过Q向AC做垂线交AC于N点。从而构造△CNQ与△CDA的相似关系，用对应线段成比例列方程得到答案。而在（2）CE=EQ的求解中，同样过E向CD做垂线，交CD于M点，只要利用CM为CQ的一半就可以求解了。

师：这个方法也很好，用相似的原理得到了答案，并且计算起来，显然比上一组做法要简单。对这个方法还有不理解的吗？

生：老师，利用等腰三角形的性质来求解的方法是挺简单，但是我们在考虑的时候，被图形所迷惑，因为在原图上思考（2）CE=EQ时，图形的误区，让我们很难设想CQ与CM的关系。

生：老师，我们也是在思考（2）CE=EQ时把辅助线都画出来了，但是没找到等量关系，最后放弃了。也就是说，（2）和（3）的做法也不是完全相似的，那么有没有一种做法能够在方法上让（2）和（3）得到统一呢？

师：同学们考虑的很全面，提出的问题也恰到好处，那么让我们重新审视一下此题，这个问题是想让△CEQ构成一个等腰三角形，其中有两边CE和CQ都可以用t来表示，除此之外，此题还有没有其他的已知条件让我们忽视了呢？

（稍等了一下）

生：老师，这个图形中，∠ECQ的大小始终没变。

师：回答得非常正确。那么，同学们可不可以根据这个条件来回答此题呢？

生：老师，这道题可以借助上题的辅助线，利用三角函数来解答，因为这个已知角的正切值始终是■。

师：非常正确，同学们还有其他的想法吗？

（生无人说话）

师：现在老师来推荐一种构造法，实际在这道题中，只有（2）和（3）两个结论让我们感觉困难，而这两个问有个共同的特点，就是都是要以∠ECQ做底角来构造等腰三角形（停顿给学生以思考的时间）那么对于等腰三角形来说，如果给定一个底角就意味着……

生：形状一定！

师：对，这样你就可以构造一个底角和∠ECQ相等的等腰三角形来，而一个底角正切值为■的等腰三角形的腰和底边的比是多少呢？

生：■∶4

生：老师那么这道题就可以列出这样两个式子CE∶CQ=■∶4和CQ∶CE=■∶4。

师：非常正确。试想，这样的方法把后两个分类一并解决了，达到了方法上的统一，让思维变得简单化，而在计算上，更是出现了一个奇迹，两个式子都可以转化为一元一次方程。这种解决问题的方式，在我们数学上，叫构造法。（在题目预留的横线上板书：用构造法解决）

师：构造法是数学中一种重要的化归手段，历史上有不少的著名数学家如欧几里德、欧拉、高斯、拉格朗日等人都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题，而此题是构造法中的一支——构造几何图形法，用它来解决等腰三角形的存在性问题确实起到了事半功倍的作用。

师：同学们，想不想再试一下？

生：想。

教师切换屏幕

2012年平和县初中毕业班适应性考试试题：

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图2摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上.∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm.如图3，△DEF从图2的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动。当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动。DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）。解答下列问题：

（1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。

■

师：同学们看完题目，考虑下第（2）问即可。

（几分钟后）

生：老师，这道题的答案是不是2s，■s和■s？

师：正确。

生：老师，用构造法解决等腰三角形的存在性问题的确又简单又方便，以后凡是等腰三角形的存在性问题都可以这样解决吗？

师：同学们说可以吗？

生：不可以，等腰三角形的存在性问题五花八门，构造法适用于有一个底角是已知角这样的题目。根据已知角，能够构造出等腰三角形形状的题目才可以。

师：说的非常好，无论我们做什么题目，实际上都要具体问题具体分析，选择最适当的方法解决问题。

师：大家的总结也非常好。构造法是数学学习中的一种方法，它使某些等腰三角形存在性问题由复杂变得简单，而数学方法有很多种，我们在使用这些方法的时候，要有所选择，不能盲目。数学吸引人的地方正是在于一个复杂的问题最终用很简单的方式给予解决，更使我们获得成功的喜悦和快乐。

（责任编辑：张华伟）

生：老师那么这道题就可以列出这样两个式子CE∶CQ=■∶4和CQ∶CE=■∶4。

师：非常正确。试想，这样的方法把后两个分类一并解决了，达到了方法上的统一，让思维变得简单化，而在计算上，更是出现了一个奇迹，两个式子都可以转化为一元一次方程。这种解决问题的方式，在我们数学上，叫构造法。（在题目预留的横线上板书：用构造法解决）

师：构造法是数学中一种重要的化归手段，历史上有不少的著名数学家如欧几里德、欧拉、高斯、拉格朗日等人都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题，而此题是构造法中的一支——构造几何图形法，用它来解决等腰三角形的存在性问题确实起到了事半功倍的作用。

师：同学们，想不想再试一下？

生：想。

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2012年平和县初中毕业班适应性考试试题：

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图2摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上.∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm.如图3，△DEF从图2的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动。当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动。DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）。解答下列问题：

（1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。

■

师：同学们看完题目，考虑下第（2）问即可。

（几分钟后）

生：老师，这道题的答案是不是2s，■s和■s？

师：正确。

生：老师，用构造法解决等腰三角形的存在性问题的确又简单又方便，以后凡是等腰三角形的存在性问题都可以这样解决吗？

师：同学们说可以吗？

生：不可以，等腰三角形的存在性问题五花八门，构造法适用于有一个底角是已知角这样的题目。根据已知角，能够构造出等腰三角形形状的题目才可以。

师：说的非常好，无论我们做什么题目，实际上都要具体问题具体分析，选择最适当的方法解决问题。

师：大家的总结也非常好。构造法是数学学习中的一种方法，它使某些等腰三角形存在性问题由复杂变得简单，而数学方法有很多种，我们在使用这些方法的时候，要有所选择，不能盲目。数学吸引人的地方正是在于一个复杂的问题最终用很简单的方式给予解决，更使我们获得成功的喜悦和快乐。

（责任编辑：张华伟）

生：老师那么这道题就可以列出这样两个式子CE∶CQ=■∶4和CQ∶CE=■∶4。

师：非常正确。试想，这样的方法把后两个分类一并解决了，达到了方法上的统一，让思维变得简单化，而在计算上，更是出现了一个奇迹，两个式子都可以转化为一元一次方程。这种解决问题的方式，在我们数学上，叫构造法。（在题目预留的横线上板书：用构造法解决）

师：构造法是数学中一种重要的化归手段，历史上有不少的著名数学家如欧几里德、欧拉、高斯、拉格朗日等人都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题，而此题是构造法中的一支——构造几何图形法，用它来解决等腰三角形的存在性问题确实起到了事半功倍的作用。

师：同学们，想不想再试一下？

生：想。

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2012年平和县初中毕业班适应性考试试题：

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图2摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上.∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm.如图3，△DEF从图2的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动。当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动。DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）。解答下列问题：

（1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。

■

师：同学们看完题目，考虑下第（2）问即可。

（几分钟后）

生：老师，这道题的答案是不是2s，■s和■s？

师：正确。

生：老师，用构造法解决等腰三角形的存在性问题的确又简单又方便，以后凡是等腰三角形的存在性问题都可以这样解决吗？

师：同学们说可以吗？

生：不可以，等腰三角形的存在性问题五花八门，构造法适用于有一个底角是已知角这样的题目。根据已知角，能够构造出等腰三角形形状的题目才可以。

师：说的非常好，无论我们做什么题目，实际上都要具体问题具体分析，选择最适当的方法解决问题。

师：大家的总结也非常好。构造法是数学学习中的一种方法，它使某些等腰三角形存在性问题由复杂变得简单，而数学方法有很多种，我们在使用这些方法的时候，要有所选择，不能盲目。数学吸引人的地方正是在于一个复杂的问题最终用很简单的方式给予解决，更使我们获得成功的喜悦和快乐。

（责任编辑：张华伟）