把握数学学科特性 培养数学思维能力

石春秀

【摘 要】教学中有的放矢地对学生进行数学思维的训练，要做到：一、不忽视数学思维活动过程的引导，是数学思维建立的桥梁。二、训练各类方法并用的综合能力，是数学思维培养过程中的捷径。三、思维训练中应以理性概括为主，经验概括为辅，是提高学生思维精确性的通途。四、提倡学生的创造性思维，克服思维定势，是思维训练的深入。

【关键词】数学思维 数学教育 学生发展

苏联数学教育学家奥加涅相对数学思维做了较为详细的阐述。他说：所谓“数学思维”，其一，是指一种形式，这种形式表现为人们认识具体的数学学科，或是应用数学于其他学科、技术和国民经济等的过程中的辩证思维；其二，应认识到它的一种特性，这种特性是由数学学科本身的特点，及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的，同样也受到所有的一般思维的制约。数学思维也是一种过程，数学问题是数学思维的载体。借助这个载体，数学思维的辩证过程才得以深入地展开和进行。

数学思维的流程框架是：提出问题（问题是数学思维的产物，又是数学思维的动力和提出新的问题）→经验再现（是数学思维、数学能力的思维过程）解决问题（严格的演绎论证的逻辑思维过程，结果加工了的数学思维的结果）→寻求事物的本质（具体的、直观的、试探的经验的思维过程）→提出新的问题（数学思维研究的一项重要任务）。认识这些，我们就可以有针对性地对学生加以训练。

一、重视数学思维活动过程的引导

这就像教学中我们常注重结果教学而忽略过程教学一样，对数学学科性质的认识上，只看到已经提出的数学是高度抽象的、高度系统化的、严格的、演绎的、理论科学的一面，而忽视正在形成的数学具有生动的、直观的、试探的、经验的特征。在数学教学中，把数学教学单纯地理解为数学知识的传授，把数学思维能力的培养局限于发展逻辑思维能力，从而使数学教学丧失掉原来应该有的价值。于是在教学过程中数学思维的活动过程，长期地被掩盖着，而数学思维的结果则得到了足够的重视。这对提高学生的数学能力是极其不利的。

教师要认识到数学思维是一个辩证的理性认识过程、一种心理过程，而不仅仅是一种认识状态。教育中更重要的是把数学知识或数学结果的学习与知识本身发生、发展的思维过程的揭示结合起来，使学生领悟数学学习的精髓，逐步提高分析问题、解决问题的能力，也就是我们常常说的知识的来龙去脉，要循序渐进地教会和传授给学生。这样，教育效果才能水到渠成。

二、训练各类方法并用的综合能力

数学思维的一般方法是指数学思维过程中运用的基本方法：观察与实验，比较分析与系统化，归纳、演绎与数学归纳法，分析与综合，抽象与概括，一般化与特殊化，模型与具体化，类比、映射与联想，作为理论科学的数学思维方法，作为经验科学的数学思维方法，探索演绎法，等等。我们必须在头脑中建立这样的认识——各种思维方法并不是孤立的，具体的思维过程往往不是一种思维方式、方法的运用，而是各种方法的有机结合。其中有些侧重于探索、猜想或发现性，属于非严格的推理范畴；另一些则侧重于求解、论证或整理性，属于严格的逻辑推理的范畴。

对学生的学习也是同样的道理，教会他一道题目不足为奇，更重要的是教会他思考、独立完成问题的手段和方法。具体的数学思维过程往往不是一种思维方式、方法的运用，而是各种方法的有机结合。要在各种方法的交错过程中认识有关事物的区别和联系，促使问题转化并获得解决。从概念的发展、命题的推演或证明，到数学问题的解决，都渗透着各种思维方法。观察、类比、归纳、联想和直觉的相互作用开拓着一条数学问题解决的最佳途径。所以有人说：数学的探索活动是知觉与逻辑协同作用下的思维活动。教师要根据学生的实际情况进行知识的传授，特别要注意学生思维分析能力的培养，要特别注意突出启发性，各类思维方法在数学教学过程中的互补性，遵守相互渗透、相互启发的原则，互相结合交替使用，并促使学生的思维向着立体思维转化，使思维的方向朝着不同的角度、不同的方向延展。

三、思维训练中应以理性概括为主，经验概括为辅

教学中受到传统的教学观念的制约和影响，有些教师习惯于从几道例题出发就作出一些经验性的概括，虽然对学生的知识储备占有量起到了一定的积极作用，但这是肤浅的、片面的认识。对学生数学思维的训练，更注重的应该是概括有深度，思考有广度。这样对问题解决的正确性就有了一定的保证。正因为数学是一门结构严谨的、系统演绎的科学，只有强调理论概括的作用，才能适应数学学科结构的要求，完成数学教学的任务。

经验概括能够导致错误，所以经验概括是偶然概括，而不是定律的概括，这一点是要我们在教学过程中引以为鉴的。所以在数学思维训练中更提倡的是理论概括。理论概括是在经验概括的基础上，结合理论的演绎解释来判定现象之间的必然的联系，从而得到更深刻的规律性的概括认识的方法，如下图。

数学教学中要在经验概括中贯穿正确的理论作为指导，进行深入的分析，给经验概括找到理论的“依据”或“解释”，达到理论概括的阶段，使概括更有深度，正确性更有保证，教师可以通过增加经验材料，并提供理论背景的方法来促进概括的形成，进而达到训练的目的。

四、提倡学生的创造性思维，克服思维定势

人的自身潜藏着丰富的创造性因素，培养演绎和知觉思维能力是数学教学在培养创造性思维能力方面所承担的、不可为其他学科所取代的独特任务，也是数学教学中培养学生创造性思维的出发点，但这并不是生搬硬套固定的结论和现成的公式。

如果教学中过分地强调并不基本的解答技巧、方法和观点，突出所谓的“解题规律”，这些规律又只是某种方法的特殊应用和表现，甚至有的教师在学生未能理解的情况下，让他们死记硬背一些解题的诀窍、程序或者口诀乃至公式，这样容易造成消极的思维定势。这种教学方法尽管在某些场合可以暂时或偶尔取得良好的成绩，但从长期效益来看，对学生思维能力的发展是一种障碍，教师必须明确这一点。要通过建立、发展和强化，建立符合数学思维要求的、具有哲学意义的方法论和数学方法论意义上的思维定势，不失时机地建立、发展和强化有一般意义的定势，然后充分地调动学生的创造性思维，系统地、协调地、灵活地运用思维的各种方法，达到对知识和问题的举一反三、概括迁移、融会贯通的效果。

在教学过程中，根据学生的特点和水平，通过创造问题情境，促进智力探索，形成创造气氛，为学生创造良好的条件，活跃学生的思维。要注意让学生根据自己的程度在课内外汲取各个方面的营养知识，拓宽自己的知识面，加深理解的深度，采取适当的鼓励和措施启发学生思维的教学方法，创造最适合的环境，让学生主动地自觉地去探索数学问题，培养学生学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力。

总之，对学生数学思维的训练是一个内涵广阔的话题。我们要想上好一节课首先就要思考如何能最大效率地使学生吸收新知识、容纳新思想，使知识结构得到更新和发展，这是数学教育工作者义不容辞的使命。■

（作者单位：江苏省苏州工业园区青剑湖学校）

【摘 要】教学中有的放矢地对学生进行数学思维的训练，要做到：一、不忽视数学思维活动过程的引导，是数学思维建立的桥梁。二、训练各类方法并用的综合能力，是数学思维培养过程中的捷径。三、思维训练中应以理性概括为主，经验概括为辅，是提高学生思维精确性的通途。四、提倡学生的创造性思维，克服思维定势，是思维训练的深入。

【关键词】数学思维 数学教育 学生发展

苏联数学教育学家奥加涅相对数学思维做了较为详细的阐述。他说：所谓“数学思维”，其一，是指一种形式，这种形式表现为人们认识具体的数学学科，或是应用数学于其他学科、技术和国民经济等的过程中的辩证思维；其二，应认识到它的一种特性，这种特性是由数学学科本身的特点，及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的，同样也受到所有的一般思维的制约。数学思维也是一种过程，数学问题是数学思维的载体。借助这个载体，数学思维的辩证过程才得以深入地展开和进行。

数学思维的流程框架是：提出问题（问题是数学思维的产物，又是数学思维的动力和提出新的问题）→经验再现（是数学思维、数学能力的思维过程）解决问题（严格的演绎论证的逻辑思维过程，结果加工了的数学思维的结果）→寻求事物的本质（具体的、直观的、试探的经验的思维过程）→提出新的问题（数学思维研究的一项重要任务）。认识这些，我们就可以有针对性地对学生加以训练。

一、重视数学思维活动过程的引导

这就像教学中我们常注重结果教学而忽略过程教学一样，对数学学科性质的认识上，只看到已经提出的数学是高度抽象的、高度系统化的、严格的、演绎的、理论科学的一面，而忽视正在形成的数学具有生动的、直观的、试探的、经验的特征。在数学教学中，把数学教学单纯地理解为数学知识的传授，把数学思维能力的培养局限于发展逻辑思维能力，从而使数学教学丧失掉原来应该有的价值。于是在教学过程中数学思维的活动过程，长期地被掩盖着，而数学思维的结果则得到了足够的重视。这对提高学生的数学能力是极其不利的。

教师要认识到数学思维是一个辩证的理性认识过程、一种心理过程，而不仅仅是一种认识状态。教育中更重要的是把数学知识或数学结果的学习与知识本身发生、发展的思维过程的揭示结合起来，使学生领悟数学学习的精髓，逐步提高分析问题、解决问题的能力，也就是我们常常说的知识的来龙去脉，要循序渐进地教会和传授给学生。这样，教育效果才能水到渠成。

二、训练各类方法并用的综合能力

数学思维的一般方法是指数学思维过程中运用的基本方法：观察与实验，比较分析与系统化，归纳、演绎与数学归纳法，分析与综合，抽象与概括，一般化与特殊化，模型与具体化，类比、映射与联想，作为理论科学的数学思维方法，作为经验科学的数学思维方法，探索演绎法，等等。我们必须在头脑中建立这样的认识——各种思维方法并不是孤立的，具体的思维过程往往不是一种思维方式、方法的运用，而是各种方法的有机结合。其中有些侧重于探索、猜想或发现性，属于非严格的推理范畴；另一些则侧重于求解、论证或整理性，属于严格的逻辑推理的范畴。

对学生的学习也是同样的道理，教会他一道题目不足为奇，更重要的是教会他思考、独立完成问题的手段和方法。具体的数学思维过程往往不是一种思维方式、方法的运用，而是各种方法的有机结合。要在各种方法的交错过程中认识有关事物的区别和联系，促使问题转化并获得解决。从概念的发展、命题的推演或证明，到数学问题的解决，都渗透着各种思维方法。观察、类比、归纳、联想和直觉的相互作用开拓着一条数学问题解决的最佳途径。所以有人说：数学的探索活动是知觉与逻辑协同作用下的思维活动。教师要根据学生的实际情况进行知识的传授，特别要注意学生思维分析能力的培养，要特别注意突出启发性，各类思维方法在数学教学过程中的互补性，遵守相互渗透、相互启发的原则，互相结合交替使用，并促使学生的思维向着立体思维转化，使思维的方向朝着不同的角度、不同的方向延展。

三、思维训练中应以理性概括为主，经验概括为辅

教学中受到传统的教学观念的制约和影响，有些教师习惯于从几道例题出发就作出一些经验性的概括，虽然对学生的知识储备占有量起到了一定的积极作用，但这是肤浅的、片面的认识。对学生数学思维的训练，更注重的应该是概括有深度，思考有广度。这样对问题解决的正确性就有了一定的保证。正因为数学是一门结构严谨的、系统演绎的科学，只有强调理论概括的作用，才能适应数学学科结构的要求，完成数学教学的任务。

经验概括能够导致错误，所以经验概括是偶然概括，而不是定律的概括，这一点是要我们在教学过程中引以为鉴的。所以在数学思维训练中更提倡的是理论概括。理论概括是在经验概括的基础上，结合理论的演绎解释来判定现象之间的必然的联系，从而得到更深刻的规律性的概括认识的方法，如下图。

数学教学中要在经验概括中贯穿正确的理论作为指导，进行深入的分析，给经验概括找到理论的“依据”或“解释”，达到理论概括的阶段，使概括更有深度，正确性更有保证，教师可以通过增加经验材料，并提供理论背景的方法来促进概括的形成，进而达到训练的目的。

四、提倡学生的创造性思维，克服思维定势

人的自身潜藏着丰富的创造性因素，培养演绎和知觉思维能力是数学教学在培养创造性思维能力方面所承担的、不可为其他学科所取代的独特任务，也是数学教学中培养学生创造性思维的出发点，但这并不是生搬硬套固定的结论和现成的公式。

如果教学中过分地强调并不基本的解答技巧、方法和观点，突出所谓的“解题规律”，这些规律又只是某种方法的特殊应用和表现，甚至有的教师在学生未能理解的情况下，让他们死记硬背一些解题的诀窍、程序或者口诀乃至公式，这样容易造成消极的思维定势。这种教学方法尽管在某些场合可以暂时或偶尔取得良好的成绩，但从长期效益来看，对学生思维能力的发展是一种障碍，教师必须明确这一点。要通过建立、发展和强化，建立符合数学思维要求的、具有哲学意义的方法论和数学方法论意义上的思维定势，不失时机地建立、发展和强化有一般意义的定势，然后充分地调动学生的创造性思维，系统地、协调地、灵活地运用思维的各种方法，达到对知识和问题的举一反三、概括迁移、融会贯通的效果。

在教学过程中，根据学生的特点和水平，通过创造问题情境，促进智力探索，形成创造气氛，为学生创造良好的条件，活跃学生的思维。要注意让学生根据自己的程度在课内外汲取各个方面的营养知识，拓宽自己的知识面，加深理解的深度，采取适当的鼓励和措施启发学生思维的教学方法，创造最适合的环境，让学生主动地自觉地去探索数学问题，培养学生学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力。

总之，对学生数学思维的训练是一个内涵广阔的话题。我们要想上好一节课首先就要思考如何能最大效率地使学生吸收新知识、容纳新思想，使知识结构得到更新和发展，这是数学教育工作者义不容辞的使命。■

（作者单位：江苏省苏州工业园区青剑湖学校）

【摘 要】教学中有的放矢地对学生进行数学思维的训练，要做到：一、不忽视数学思维活动过程的引导，是数学思维建立的桥梁。二、训练各类方法并用的综合能力，是数学思维培养过程中的捷径。三、思维训练中应以理性概括为主，经验概括为辅，是提高学生思维精确性的通途。四、提倡学生的创造性思维，克服思维定势，是思维训练的深入。

【关键词】数学思维 数学教育 学生发展

苏联数学教育学家奥加涅相对数学思维做了较为详细的阐述。他说：所谓“数学思维”，其一，是指一种形式，这种形式表现为人们认识具体的数学学科，或是应用数学于其他学科、技术和国民经济等的过程中的辩证思维；其二，应认识到它的一种特性，这种特性是由数学学科本身的特点，及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的，同样也受到所有的一般思维的制约。数学思维也是一种过程，数学问题是数学思维的载体。借助这个载体，数学思维的辩证过程才得以深入地展开和进行。

数学思维的流程框架是：提出问题（问题是数学思维的产物，又是数学思维的动力和提出新的问题）→经验再现（是数学思维、数学能力的思维过程）解决问题（严格的演绎论证的逻辑思维过程，结果加工了的数学思维的结果）→寻求事物的本质（具体的、直观的、试探的经验的思维过程）→提出新的问题（数学思维研究的一项重要任务）。认识这些，我们就可以有针对性地对学生加以训练。

一、重视数学思维活动过程的引导

这就像教学中我们常注重结果教学而忽略过程教学一样，对数学学科性质的认识上，只看到已经提出的数学是高度抽象的、高度系统化的、严格的、演绎的、理论科学的一面，而忽视正在形成的数学具有生动的、直观的、试探的、经验的特征。在数学教学中，把数学教学单纯地理解为数学知识的传授，把数学思维能力的培养局限于发展逻辑思维能力，从而使数学教学丧失掉原来应该有的价值。于是在教学过程中数学思维的活动过程，长期地被掩盖着，而数学思维的结果则得到了足够的重视。这对提高学生的数学能力是极其不利的。

教师要认识到数学思维是一个辩证的理性认识过程、一种心理过程，而不仅仅是一种认识状态。教育中更重要的是把数学知识或数学结果的学习与知识本身发生、发展的思维过程的揭示结合起来，使学生领悟数学学习的精髓，逐步提高分析问题、解决问题的能力，也就是我们常常说的知识的来龙去脉，要循序渐进地教会和传授给学生。这样，教育效果才能水到渠成。

二、训练各类方法并用的综合能力

数学思维的一般方法是指数学思维过程中运用的基本方法：观察与实验，比较分析与系统化，归纳、演绎与数学归纳法，分析与综合，抽象与概括，一般化与特殊化，模型与具体化，类比、映射与联想，作为理论科学的数学思维方法，作为经验科学的数学思维方法，探索演绎法，等等。我们必须在头脑中建立这样的认识——各种思维方法并不是孤立的，具体的思维过程往往不是一种思维方式、方法的运用，而是各种方法的有机结合。其中有些侧重于探索、猜想或发现性，属于非严格的推理范畴；另一些则侧重于求解、论证或整理性，属于严格的逻辑推理的范畴。

对学生的学习也是同样的道理，教会他一道题目不足为奇，更重要的是教会他思考、独立完成问题的手段和方法。具体的数学思维过程往往不是一种思维方式、方法的运用，而是各种方法的有机结合。要在各种方法的交错过程中认识有关事物的区别和联系，促使问题转化并获得解决。从概念的发展、命题的推演或证明，到数学问题的解决，都渗透着各种思维方法。观察、类比、归纳、联想和直觉的相互作用开拓着一条数学问题解决的最佳途径。所以有人说：数学的探索活动是知觉与逻辑协同作用下的思维活动。教师要根据学生的实际情况进行知识的传授，特别要注意学生思维分析能力的培养，要特别注意突出启发性，各类思维方法在数学教学过程中的互补性，遵守相互渗透、相互启发的原则，互相结合交替使用，并促使学生的思维向着立体思维转化，使思维的方向朝着不同的角度、不同的方向延展。

三、思维训练中应以理性概括为主，经验概括为辅

教学中受到传统的教学观念的制约和影响，有些教师习惯于从几道例题出发就作出一些经验性的概括，虽然对学生的知识储备占有量起到了一定的积极作用，但这是肤浅的、片面的认识。对学生数学思维的训练，更注重的应该是概括有深度，思考有广度。这样对问题解决的正确性就有了一定的保证。正因为数学是一门结构严谨的、系统演绎的科学，只有强调理论概括的作用，才能适应数学学科结构的要求，完成数学教学的任务。

经验概括能够导致错误，所以经验概括是偶然概括，而不是定律的概括，这一点是要我们在教学过程中引以为鉴的。所以在数学思维训练中更提倡的是理论概括。理论概括是在经验概括的基础上，结合理论的演绎解释来判定现象之间的必然的联系，从而得到更深刻的规律性的概括认识的方法，如下图。

数学教学中要在经验概括中贯穿正确的理论作为指导，进行深入的分析，给经验概括找到理论的“依据”或“解释”，达到理论概括的阶段，使概括更有深度，正确性更有保证，教师可以通过增加经验材料，并提供理论背景的方法来促进概括的形成，进而达到训练的目的。

四、提倡学生的创造性思维，克服思维定势

人的自身潜藏着丰富的创造性因素，培养演绎和知觉思维能力是数学教学在培养创造性思维能力方面所承担的、不可为其他学科所取代的独特任务，也是数学教学中培养学生创造性思维的出发点，但这并不是生搬硬套固定的结论和现成的公式。

如果教学中过分地强调并不基本的解答技巧、方法和观点，突出所谓的“解题规律”，这些规律又只是某种方法的特殊应用和表现，甚至有的教师在学生未能理解的情况下，让他们死记硬背一些解题的诀窍、程序或者口诀乃至公式，这样容易造成消极的思维定势。这种教学方法尽管在某些场合可以暂时或偶尔取得良好的成绩，但从长期效益来看，对学生思维能力的发展是一种障碍，教师必须明确这一点。要通过建立、发展和强化，建立符合数学思维要求的、具有哲学意义的方法论和数学方法论意义上的思维定势，不失时机地建立、发展和强化有一般意义的定势，然后充分地调动学生的创造性思维，系统地、协调地、灵活地运用思维的各种方法，达到对知识和问题的举一反三、概括迁移、融会贯通的效果。

在教学过程中，根据学生的特点和水平，通过创造问题情境，促进智力探索，形成创造气氛，为学生创造良好的条件，活跃学生的思维。要注意让学生根据自己的程度在课内外汲取各个方面的营养知识，拓宽自己的知识面，加深理解的深度，采取适当的鼓励和措施启发学生思维的教学方法，创造最适合的环境，让学生主动地自觉地去探索数学问题，培养学生学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力。

总之，对学生数学思维的训练是一个内涵广阔的话题。我们要想上好一节课首先就要思考如何能最大效率地使学生吸收新知识、容纳新思想，使知识结构得到更新和发展，这是数学教育工作者义不容辞的使命。■

（作者单位：江苏省苏州工业园区青剑湖学校）