最优控制下民办高校科研激励的共享努力合同设计

杨文凯

摘要： 长期以来，科研工作的突破一直是我国民办高校的困扰，其难点在于如何确定在最优控制科研投入水平下的激励教师提高科研产出水平。本文首先确定民办高校科研产出的最优水平，然后以间接原料供应模型为基础，通过共享努力合同的设计以提高学校和教师双方的努力程度，最终达到动态最优化。

Abstract： The problem of how to improve research level has puzzled the private colleges and universities in China for a long time. The most emphasis is how to incentive the research products level of teachers by optimal control. Based on the model by optimal control and indirect materials in supply Chains， to design a shared-exert contract may make great efforts both institutions and teachers， and improve research products level finally.

关键词： 最优控制；共享努力合同；间接原料供应；民办高校

Key words： optimal control；shared-exert contracts；indirect materials in supply chains；private colleges & universities

中图分类号：G463 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）21-0010-03

0 引言

我国民办高校已成为中国高等教育的重要组成部分，为社会培养了大量优秀人才。在与公办大学共同发展的过程中，二者隐隐形成了“公办大学以科研为主，民办大学以教学为主”的分工趋势。然而，在民办高校综合实力评价指标体系中，直接科研指标权重为9.05%（研究所建设2.89%；近三年重要科研项目2.12%；近三年所获重要科研成果2.03%；近三年所获重要科研奖励2.01%）①，与科研相关的间接指标权重为20.33%（专任教授、副教授数3.74%；专任教授、副教授占专任教师比例4.53%；国家级、部省级重点学科4.11%；国家级、部省级特色专业3.99%；国家级、部省级精品课程3.96%）。②因此，加强科研管理，提高科研数量与质量已成为我国各民办高校提升其核心竞争力的重要手段。

我国民办高校长期以来在科研工作方面做出了很多的努力，然而效果始终不理想。究其原因，主要存在三个方面的制约：首先，我国民办高校收入来源单一，主要来自于学杂费收入。一方面，在保证教学经费充裕的同时还要投入资金建设大量的实验实训基地以提升教学品质。另一方面，不断完善的校园基建工程资金投入巨大，绝大部分建设通过外部借贷完成，偿债压力较大。其次，由于我国民办高校办学历史较短，难以形成深厚的文化积淀，其社会认可度和美誉度都有待提升。最后，由于多种原因，在与公办学校的人才竞争中，民办高校明显处于劣势，很难吸引优秀的科研人才。相较之下，民办高校师资力量单薄以至于难以产生优秀的科研团队。

科研工作的最终生产者是教师。在以教学为主的民办高校中，保证教学任务的顺利完成是教师工作的首要任务。科研工作不是教师的首要工作任务，却能够影响学校的办学实力进而影响其经营业绩。为解决这一矛盾，作为需求方的学校必须购买教师的科研产品，即对科研工作支付报酬。然而对作为供给方的教师而言，科研产品的生产是要付出成本的，因此，教师的努力程度决定了科研产品的供给。

1 模型设计

1.1 最优科研投入的模型的构建 假设民办高校的唯一收入来源是学费收入，单位学费为f（fee）；G为民办高校的科研实力，G（t）为t时刻的科研实力的存量；Z为其他影响学校收入变化的因素。由此可以认为，学生人数Q取决于学费的高低、学校科研实力和其他一些因素，即Q=Q（p，G，Z）。学校为提升科研实力，必须进行科研投入，则u=u（t）？叟0表示t时刻学校的科研投入。科研实力的变化取决于科研的犹如水平和科研存量的变化。假设科研产品存在时效性，上一时刻的科研存量在下一时刻将会存在折价现象，即当u=0时，G（t）=δG（t-1）。由此，可以得到状态方程：

■=u-δG，G（0）=G0（1）

假设教育的成本C=C（Q），那么在不存在科研投入时学校的净收益R可以表示为：

R（f，G，Z）=Q（f，G，z）p-C（Q）（2）

为使得R最大化，则：

■=Q+■f-C■■（3）

将教育的需求价格弹性定义为η=-■■，通过公式（3）可以得到最优学费f*：

f*=■（4）

即教育的边际成本CQ（Q）等于边际收益■f*。

在最优学费水平下，定义π（G，Z）=R（f*，G，Z），为研究科研投入与学校经营之间的关系，假定其他影响因素Z是给定的，那么最优控制问题就可以表述为：

max■J=■e■[π（G）-u]dt subject to ■=u-δG，G（0）=G■（5）

构建Hamiltonian对其求解：

H=π（G）-u+λ（u-δG）（6）

■=ρλ-■=（ρ+δ）λ-■（7）

■■λ（t）=0（8）

定义β为学生人数Q对科研实力G的弹性，即

β=■■，根据公式（2）、（3）、（7）可得到：

G*=■（9）

由公式（6）对H求■=0，可得到λ=λ=1，由公式（7）得到■=0，代入公式⑼可以求解的唯一的最优科研水平G：

G=■（10）

1.2 最优科研投入下的共享努力合同设计 定义u*=δG，假设科研产品是非直接原料；教师作为非直接原料的供给方，供给量为yi，其中i代表不同级别的科研产品i=（1，2，…，n）；单位生产成本为cci；学校作为非直接原料的需求方为每单位的科研产品支付pi的价格给供给方，同时以csi的处理成本将之转化为最终产品；esi是供给方的努力水平，eci是需求方的努力水平，双方努力越多，科研产品的产出越多，即：

■（e■，e■）？叟0，■（e■，e■）？叟0（11）

但是产出的增量却随努力程度的增加而递减，即：

■（e■，e■）？燮0，■（e■，e■）？燮0（12）

同时，假设供给方的成本csi（esi）和需求方的成本cci（eci）取决于各自的努力程度，其中，csi（0）=0，cci（0）=0；努力程度越高，所付出的成本也就越大，即：

csi′（esi）>0，cci′（eci）>0（13）

且随着努力地增加，其边际成本也是递增的，即：

csi″（esi）>0，cci″（eci）>0（14）

1.2.1 无激励合同下的纳什均衡

πc（esi、eci）、πs（esi、eci）和π分别为需求方（学校）、供给方（教师）和总的利润函数：

π■（e■，e■）=δ■-∑p■y■（e■，e■）-∑c■（e■）y■（e■，e■）π■（e■，e■）=∑p■y■（e■，e■）-∑c■（e■）y■（e■，e■）π（e■，e■）=δ■-∑[c■（e■）+c■（e■）]y■（e■，e■）（15）

作为理性经济人，需求方（学校）追求自身收益的最大化，则：

■=■-∑p■■+y■（e■，e■）■+c■（e■）■=0，

将公式（4）和（10）带入，整理得：

■=■-∑y■（e■，e■）∑■■（16）

现实情况中往往是需求方（学校）提出科研生产要求以及对应的补偿措施，即需求方（学校）先行作出决策，供给方（教师）针对需求方（学校）的努力程度决定自己的决策选择。需求方（学校）努力程度es既定的情况下，供给方（教师）追求自身利益最大化而确定自身的努力水平，则：

■=∑p■-c■（e■）■-∑yi（esi，eci）■=0，

整理得：■=∑■■（17）

因此，得到纳什均衡（■，■），其中：

es*（eci）=arg max■∏■（e■，e■），

ec*（esi）=arg max■∏■（e■，e■），

且根据纳什均衡的存在性，必须满足：

∏s（■，■）？叟∏■（e■，■），对所有的esi∈[0，1]，且■esi∈[0，1]；∏c（■，■）？叟∏■（■，e■），对所有的eci∈[0，1]，且

■eci∈[0，1]。

1.2.2 努力共享合同下的纳什均衡解 为了提高供给方（教师）的努力程度，需求方（校方）往往多会对教师设定科研工作设定基本任务，对完成任务追加奖励而对未完成任务的则给予惩罚，即设计合同T。假设对科研i单位奖励的追加为ai，惩罚为t，问题的关键就在于ai的设计。

由于引入了合同T（y）=∑aiyi-t，则双方的收益函数都产生了变化，即：

π■（e■，e■，ai）=δ■-∑p■y■（e■，e■）-∑c■（e■）y■（e■，e■）-∑aiyi（esi，eci）+tπ■（e■，e■，ai）=∑[p■y■（e■，e■）+aiyi（esi，eic）-c■（e■）y■（e■，e■）]-tπ（e■，e■）=δ■-∑[c■（e■）+c■（e■）]y■（e■，e■）（18）

双方追求自身利益的最大化，则：

■=■-∑p■■+y■（e■，e■）■+c■（e■）■+a■■=0，■=∑[p■+a■-c■（e■）]■-y■（e■，e■）■=0；

整理得：

■=■-∑y■（e■，e■）∑■■（19）

■=∑■■（20）

根据假设中的公式（1）和公式（3），由于产量∑yi（esi，eci）>0，且∑yi（esi，eci）<■，可得到：

pi+ai+cci（eci）>0，pi+ai-csi（esi）>0；

整理得：ai>（pi-csi）（21）

1.3 模型分析

①科研投入水平的最优控制。对最优科研水平存量G的措施是尽快进行科研投入，使得科研水平G=G。如果初始科研水平小于最优水平，即G00之后的最佳投入u*=u=δG，使得总体科研存量保持在G；如果初始科研水平大于最优水平，即G0>G，那么最优控制的策略是先期对科研不进行投入，即u*（t）=0，直到科研存量G=G时，保持u*（t）=δG的投如以控制总体科研存量G=G。

②努力共享合同的存在性。根据公式（21），如果存在ai>（pi-csi），那么总存在一个努力共享合同，并且在努力共享合同下得到纳什均衡（■，■，ai），其中：

es*（eci，ai）=arg max■∏■（e■，e■，ai）（22）

ec*（esi，ai）=arg max■∏■（e■，e■，ai）（23）

③努力合同下的收益。根据公式（16）和（18），在相同产量水平下，需求方（校方）的成本增加了T，这一损失正好是供给方（教师）收益的增量（公式（16）和（18））。由公式（7）和（16）共同决定了，努力合同设计后所得到的总利润至少与没有合同时所得到的利润一样高。

④ai的取值对供求双方的影响。当aipi-cci，当ai趋向于pi-cci则供给方（教师）努力越高而需求方（校方）努力越低；ai远离pi-cci则需求方（校方）努力越高而供给方（教师）努力越低。

2 结论

2.1 u*的选择 民办学校建校初期往往都存在科研水平较低的普遍现象，在资金有限的情况下大家又都普遍认为先期科研投入并不重要，等发展到一定程度有了剩余资金以后再来弥补。根据最优控制得到的结果就是在G0

2.2 动态最优化原则下的ai 在科研管理制度中对各类科研成果作出明确奖励，且奖励水平也以公办高校作为参照。这样的设计并不能对民办高校起到很好的作用。制度中明确奖励是必须的，但是不能明确奖励项目和内容。校方做出奖励决策后，教师将以此为依据选择最符合自身利益的努力水平。随着时间变量的改变，在制度不能轻易改变的情况下，校方将处于被动。根据动态最优化原则，民办高校应该根据自身发展的需要对每个阶段设计不同的激励合同。

2.3 变和博弈设计中的cc 无论合同涉及如何，模型本身都是一个常和博弈。即一方之所得就是另一防治所失，t（y）总是游走于供求双方。可以通过改变使得模型变为一个变和博弈，思路在于如何将校方为科研产出努力的成本转嫁到模型之外。很多公办高校对教师采用“评聘分离”的聘任制度有一定的借鉴意义，即工作能力变量取代职称变量作为聘任标准。但是在民办高校综合实力评价指标体系中，8.27%（专任教授、副教授数3.74%；专任教授、副教授占专任教师比例4.53%）的权重用于职称变量。同一职称水平下，对科研产出水平较高的教师支付更高的教学工资既不会增加科研成本的投入，又能够激励教师科研水平的努力程度，同时不会因此对职称变量产生影响，能够取得较好的效果。然而，这种设计仍然必须遵循动态最优化原则。

2.4 创新科研思路cs 民办高校开展校本研究的真正创新在于结合自身资源的优势开展科学的应用研究。例如，为了增强学生的就业优势，民办高校的一大特点在于建设大量模仿真实生产环境的实验实训基地，同时配备实践经验丰富的“双师型”教师。利用其强大的实验实训体系，依托其师资的特性，各个专业学科都可以在已有的学术理论下通过其应用教学中的实验实训开展生产方法创新的应用研究。教师能够扬长避短，在降低单位努力成本的同时并不会减少科研产品的产出。而且，其科研产出更能做到“产学研”的结合。学校所需要付出的努力在于如何对教师展开科技查新、前沿技术运用等培训工作。

注释：

①“中国民办高校综合实力评价研究”发布：中国民办高校综合实力排名http：//www.chinambedu.com/jyzx/2011/07/103737.html.

②“中国民办高校综合实力评价研究”发布：中国民办高校综合实力排名http：//www.chinambedu.com/jyzx/2011/07/103737.html.

参考文献：

[1]Corbett CJ；DeCroix GA. Shared-savings contracts for indirect materials in supply chains： Channel profits and environmental impacts[J]. MANAGEMENT SCIENCE.vol： 47page： 7： 881-893 DOI： 10.1287/mnsc.47.7.881.9802.JUL 2001.

[2]hattacharyya， S.， F. Lafontaine. Double-sided moral hazardand the nature of share contracts[J]. RAND J. Econom，1995，26：761-781.

[3]Cachon， G.P.， P.H. Zipkin. Competitive and cooperative inventory policies in a two-stage supply chain[J]. Management Sci，1999，45（7）：936-953.

[4]Fleischmann， M.， J.M. Bloemhof-Ruwaard， R. Dekker， E. van der Laan， J.A.E.E. van Nunen， L.N. Van Wassenhove.Quantitative models for reverse logistics： A review[J]. Eur. J. Oper.Res，1997，103：1-17.

[5]Fudenberg， D.， J. Tirole. 1991. Game Theory. The MIT Press，Cambridge， Massachusetts.Hart， S.L. Beyond greening： Strategies for a sustainable world[J].Harvard Bus. Rev，1997，75（1）：66-76.

[6]Lippman， S.A.， J.W. Mamer， K.F. McCardle. Comparative statics in non-cooperative games via transfinitely iterated play[J].J. Econom. Theory，1987，41：288-307.

④ai的取值对供求双方的影响。当aipi-cci，当ai趋向于pi-cci则供给方（教师）努力越高而需求方（校方）努力越低；ai远离pi-cci则需求方（校方）努力越高而供给方（教师）努力越低。

2 结论

2.1 u*的选择 民办学校建校初期往往都存在科研水平较低的普遍现象，在资金有限的情况下大家又都普遍认为先期科研投入并不重要，等发展到一定程度有了剩余资金以后再来弥补。根据最优控制得到的结果就是在G0

2.2 动态最优化原则下的ai 在科研管理制度中对各类科研成果作出明确奖励，且奖励水平也以公办高校作为参照。这样的设计并不能对民办高校起到很好的作用。制度中明确奖励是必须的，但是不能明确奖励项目和内容。校方做出奖励决策后，教师将以此为依据选择最符合自身利益的努力水平。随着时间变量的改变，在制度不能轻易改变的情况下，校方将处于被动。根据动态最优化原则，民办高校应该根据自身发展的需要对每个阶段设计不同的激励合同。

2.3 变和博弈设计中的cc 无论合同涉及如何，模型本身都是一个常和博弈。即一方之所得就是另一防治所失，t（y）总是游走于供求双方。可以通过改变使得模型变为一个变和博弈，思路在于如何将校方为科研产出努力的成本转嫁到模型之外。很多公办高校对教师采用“评聘分离”的聘任制度有一定的借鉴意义，即工作能力变量取代职称变量作为聘任标准。但是在民办高校综合实力评价指标体系中，8.27%（专任教授、副教授数3.74%；专任教授、副教授占专任教师比例4.53%）的权重用于职称变量。同一职称水平下，对科研产出水平较高的教师支付更高的教学工资既不会增加科研成本的投入，又能够激励教师科研水平的努力程度，同时不会因此对职称变量产生影响，能够取得较好的效果。然而，这种设计仍然必须遵循动态最优化原则。

2.4 创新科研思路cs 民办高校开展校本研究的真正创新在于结合自身资源的优势开展科学的应用研究。例如，为了增强学生的就业优势，民办高校的一大特点在于建设大量模仿真实生产环境的实验实训基地，同时配备实践经验丰富的“双师型”教师。利用其强大的实验实训体系，依托其师资的特性，各个专业学科都可以在已有的学术理论下通过其应用教学中的实验实训开展生产方法创新的应用研究。教师能够扬长避短，在降低单位努力成本的同时并不会减少科研产品的产出。而且，其科研产出更能做到“产学研”的结合。学校所需要付出的努力在于如何对教师展开科技查新、前沿技术运用等培训工作。

注释：

①“中国民办高校综合实力评价研究”发布：中国民办高校综合实力排名http：//www.chinambedu.com/jyzx/2011/07/103737.html.

②“中国民办高校综合实力评价研究”发布：中国民办高校综合实力排名http：//www.chinambedu.com/jyzx/2011/07/103737.html.

参考文献：

[1]Corbett CJ；DeCroix GA. Shared-savings contracts for indirect materials in supply chains： Channel profits and environmental impacts[J]. MANAGEMENT SCIENCE.vol： 47page： 7： 881-893 DOI： 10.1287/mnsc.47.7.881.9802.JUL 2001.

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[6]Lippman， S.A.， J.W. Mamer， K.F. McCardle. Comparative statics in non-cooperative games via transfinitely iterated play[J].J. Econom. Theory，1987，41：288-307.

④ai的取值对供求双方的影响。当aipi-cci，当ai趋向于pi-cci则供给方（教师）努力越高而需求方（校方）努力越低；ai远离pi-cci则需求方（校方）努力越高而供给方（教师）努力越低。

2 结论

2.1 u*的选择 民办学校建校初期往往都存在科研水平较低的普遍现象，在资金有限的情况下大家又都普遍认为先期科研投入并不重要，等发展到一定程度有了剩余资金以后再来弥补。根据最优控制得到的结果就是在G0

2.2 动态最优化原则下的ai 在科研管理制度中对各类科研成果作出明确奖励，且奖励水平也以公办高校作为参照。这样的设计并不能对民办高校起到很好的作用。制度中明确奖励是必须的，但是不能明确奖励项目和内容。校方做出奖励决策后，教师将以此为依据选择最符合自身利益的努力水平。随着时间变量的改变，在制度不能轻易改变的情况下，校方将处于被动。根据动态最优化原则，民办高校应该根据自身发展的需要对每个阶段设计不同的激励合同。

2.3 变和博弈设计中的cc 无论合同涉及如何，模型本身都是一个常和博弈。即一方之所得就是另一防治所失，t（y）总是游走于供求双方。可以通过改变使得模型变为一个变和博弈，思路在于如何将校方为科研产出努力的成本转嫁到模型之外。很多公办高校对教师采用“评聘分离”的聘任制度有一定的借鉴意义，即工作能力变量取代职称变量作为聘任标准。但是在民办高校综合实力评价指标体系中，8.27%（专任教授、副教授数3.74%；专任教授、副教授占专任教师比例4.53%）的权重用于职称变量。同一职称水平下，对科研产出水平较高的教师支付更高的教学工资既不会增加科研成本的投入，又能够激励教师科研水平的努力程度，同时不会因此对职称变量产生影响，能够取得较好的效果。然而，这种设计仍然必须遵循动态最优化原则。

2.4 创新科研思路cs 民办高校开展校本研究的真正创新在于结合自身资源的优势开展科学的应用研究。例如，为了增强学生的就业优势，民办高校的一大特点在于建设大量模仿真实生产环境的实验实训基地，同时配备实践经验丰富的“双师型”教师。利用其强大的实验实训体系，依托其师资的特性，各个专业学科都可以在已有的学术理论下通过其应用教学中的实验实训开展生产方法创新的应用研究。教师能够扬长避短，在降低单位努力成本的同时并不会减少科研产品的产出。而且，其科研产出更能做到“产学研”的结合。学校所需要付出的努力在于如何对教师展开科技查新、前沿技术运用等培训工作。

注释：

①“中国民办高校综合实力评价研究”发布：中国民办高校综合实力排名http：//www.chinambedu.com/jyzx/2011/07/103737.html.

②“中国民办高校综合实力评价研究”发布：中国民办高校综合实力排名http：//www.chinambedu.com/jyzx/2011/07/103737.html.

参考文献：

[1]Corbett CJ；DeCroix GA. Shared-savings contracts for indirect materials in supply chains： Channel profits and environmental impacts[J]. MANAGEMENT SCIENCE.vol： 47page： 7： 881-893 DOI： 10.1287/mnsc.47.7.881.9802.JUL 2001.

[2]hattacharyya， S.， F. Lafontaine. Double-sided moral hazardand the nature of share contracts[J]. RAND J. Econom，1995，26：761-781.

[3]Cachon， G.P.， P.H. Zipkin. Competitive and cooperative inventory policies in a two-stage supply chain[J]. Management Sci，1999，45（7）：936-953.

[4]Fleischmann， M.， J.M. Bloemhof-Ruwaard， R. Dekker， E. van der Laan， J.A.E.E. van Nunen， L.N. Van Wassenhove.Quantitative models for reverse logistics： A review[J]. Eur. J. Oper.Res，1997，103：1-17.

[5]Fudenberg， D.， J. Tirole. 1991. Game Theory. The MIT Press，Cambridge， Massachusetts.Hart， S.L. Beyond greening： Strategies for a sustainable world[J].Harvard Bus. Rev，1997，75（1）：66-76.

[6]Lippman， S.A.， J.W. Mamer， K.F. McCardle. Comparative statics in non-cooperative games via transfinitely iterated play[J].J. Econom. Theory，1987，41：288-307.