借助“数轴”直观，感悟“取舍”之源

边小明+边巨星

一、教之惑——重“法”而轻“理”

用“四舍五入”法求近似数是人教版新教材四年级上第13页例7的内容。其主要教学目标是：会用“四舍五入”法把一个大数省略万位或亿位后面的尾数，求出它的近似数；并在教学过程中，进一步培养学生的数感。

从教材的编排意图与教学安排中，我们可以发现“四舍五入”求近似数以一种方法的形式呈现时，其主要教学策略是通过教师的讲授，结合具体数，介绍用“四舍五入”的方法将非整万的数改写成以“万”作单位的数。在这个知识的学习中，教师的讲授是主要的学习方式，学生对知识结果大多以直接接受的方式获取。

由此，不免让人产生了很多疑惑。为什么要用近似数来表示数据呢？有什么可以让学生信服或感同身受的依据吗？

二、学之困——知其然不知其所以然

当然，教师上述这些疑惑也正是学生的困惑。最明显的表现就是：学生对为什么要“四舍”与“五入”，理解不深刻。对为什么“四要舍”，而“五要入”，及对已有的近似数是由哪个范围“取舍”而来的，更是有些摸不着头脑，由此产生错误也是在所难免的。如：“一个数省略万后面的尾数后是8万，这个数最大是（ ），最小是（ ）”这样的课后习题，在笔者教学的班级中错误率高达42%。在有些学生的思维定势中，“≈8万”的数仅仅局限于和“8万很接近的数”，对于其所表示的区间却感到很茫然，有些学生认为最小是75000，最大是84000，他们的思维显然停滞在了万位后面的数，即千位上。当然，由于这类习题与简单的“四舍五入”取近似数的思维方式相逆，而且条件和问题也相对开放，对于学生而言确有一定的难度。但是从学生解决问题的思维路径来看，还是能够发现很多学生仅仅停留在机械套用方法的层面上，对一个近似数所代表的数值区间知之甚少，可谓是“不知其所以然”。

三、思之措——数轴直观，“理”“法”并举

与实验教科书相比，新教材新增了“在生产和生活中，人们经常使用近似数”的表述。生活当中，我们使用的数是有具体的情境和目的的，受限于这些情境和目的，有时不需要精确的数字。比如，中国有多少人口，我们就无须知道其个位、十位，甚至万位、十万位，由此，就产生了取近似数的问题。

因此笔者认为，在这一内容的教学时，需要让学生明白：1.为什么要产生近似数？（缘由是什么）；2.怎么样去取近似数？（方法是什么）；3.所取的近似数是哪些数的“代表”？（跨度与范围是什么）。著名教育家夸美纽斯在他的《大教学论》中提出：“在尽可能的范围内，一切事物都应尽力地放在感官的跟前。”由此，笔者想到可以结合数轴演示与操作，来帮助学生加深对“四舍五入”法的直观感悟，实现“理”与“法”的并举。

四、践之行——感悟“取舍”之源

【环节一】观察入手，初步感受

师：（出示直尺）13接近哪个整十数？17接近哪个整十数？

生：13接近10，17接近20。

师：你认为接近20的数有哪些？

生：16，17，18，19。

师：还有吗？

生：还有尺上看不见的21，22，23，24。

（设计意图：学生对于“接近整十数”这一概念是有一定知识经验和基础的，通过直观感受尺子中接近整十数的数，为学习“四舍五入”以及某一整十数所涵盖的大致范围奠定思维基础。）

【环节二】建立模型，概括方法

师：是的。通过观察不难发现，16，17，18，19这些数在10与20之间，相对于10，它们距离20更接近一些，我们可以这么说，它们约等于20，这在数学中叫作“入”，也就是尾数6、7、8、9往十位进一位。（板书）

师：还有一些数：21，22，23，24这些数在20与30之间，相对于30，它们距离20更近一些，我们也可以说把它们约等于20，这在数学中叫作“舍”。也就是舍去了个位中的1，2，3，4尾数。（板书）

师：观察一下，14和哪个整十数更接近？7呢？

生：和10比较接近，14是舍，7是入。

师：有一个数很特别，它在10和20中间。

生：15

师：这个数怎么办呢？（停顿）

学生中有的说“舍”，有的说“入”。

教师用课件显示直尺图中的毫米单位，让学生直观感受15厘米1毫米，即15.1厘米的点，相比之下距离20厘米更近些

讨论概括方法：5应该往上进一位，这种方法叫作“四舍五入”，是“舍”还是“入”要看省略尾数部分的最高位是大于等于5还是小于5。省略到十位，就要看个位，省略到百位，以此类推。

（设计意图：对感知的知识建立数学模型，以学生可理解与接受的方式去体会“四舍五入”的由来，0～4需要舍去，6～9可以往上进，学生都是可以很快理解，对于5的数学规定需要重点强化并概括方法，且可以在此渗透近似数是整十的数的取值范围。）

【环节三】再次体会，理解近似

找出与a、b、c、d相邻的整万数，将最接近它的整万数圈出来。说一说：它们分别在哪两个数之间？最接近哪个整万数？你是怎么想的？

（设计意图：由于学生对近似数已经有了初步认识，而且a、b、c、d四个点在数轴上的位置也比较明了。让学生自己尝试解决问题，观察和发现与一个数相邻的整万数，并在此基础上引导学生找出与一个数最接近的整万数，这有利于培养学生的数感。）

【环节四】迁移大数，运用方法

教师出示地球的直径数据12756千米及表示整万的数轴。

师：在数轴中观察12756在哪两个整万数中间？靠近谁？

生：在1万和2万中间，靠近1万。

出示太阳直径的数据1389000千米

师：想象一下，把这个数1389000放在以万作单位的数轴上，它介于几万和几万之间？更靠近谁？endprint

生：在138万和139万之间，靠近139万。

（设计意图：通过数轴，再次体会近似数的就近原则）

师：刚才我们是观察得出的结论，能不能用“四舍五入”法来解释和介绍一下？

生：12756，要省略到万位，我看千位是2，所以要舍去，约等于1万。

生：1389000，要省略到万位，千位是9，所以要入，约等于139万。

（设计意图：直观演示与方法理解相结合，从而让学生感悟“取舍”之“源”与“法”。）

【环节五】巩固强化，深入感悟

课件出示练习：

1.把12756分别精确到万位，千位，百位，十位。

设问：你有什么感受？

结论：省略到哪一位，关键看那一位的低一位。

2.逆思维思考：除了12756四舍五入后是1万，你还能想到哪些数四舍五入后近似数也是10000？

3.观察数轴：哪些数四舍五入后是10000？请写下来，并讨论。

生1：最小的是5000，从5000到9999，都是进的。

生2：最大的是14000，舍去后就是10000；

生3：我有意见，最大应该是15000.

师：是14000还是15000？

生4，不对，15000进上去就是2万了。

师： 15000肯定不是了，14000四舍五入后确实是10000，再找一下有没有比14000更大的呢？

生5：我知道了，是14999。

师：说说你是怎么想的？

生5：从14000到15000还有999个整数，最大的是14999，这个数的千位是4，省略到万的话，就是约等于1万。

师：你们可以想象得出来吗？14000到15000之间其实还有999个整数。

运用课件展开14000～15000的数轴。

（设计意图：在数轴中，结合四舍五入的方法可以很直观地看出1万这个数所代表的区间与范围，而涵盖到14000还是到14999是学生理解的难点。笔者通过直观操作和表象操作相结合，从简单的方法运用到逆向思考，让学生结合数轴感受近似数所代表的精确数区间，突破了学生的认知难点，从而达到知其所以然的目的。）

4.用求近似数解决实际问题。

（1）星老师花了大约9万元买了一辆车，这辆车的实际价格可能是多少？

教师提示：从什么数到什么数都可以用9万来表示？

（2）世界之最：

（设计意图：其一让学生在实际应用中强化掌握用四舍五入求近似数的方法，其二让学生在实践中感受和体验用近似数表达数据的必要性，进一步体会求近似数方法的合理性。）

五、行之得——追本溯源方能知明笃行

知明方能行笃。学生的错误的产生总有其缘由，只有学生心中对所学的知识清晰而无疑时，他的学习行为才是真正意义上的自我建构，这个“明”是学生对知识的认识与理解之明。而教师需要追本溯源地厘清教与学中存在的问题脉络，这个“明”既体现在对教学内容的理解，也体现在对学生的认知困惑与结点的明了，只有这样的“明”，才能真正有效地引导学生基于生活经验与认知基础获得对新知识的内化与理解。

在这次教改实践中，笔者通过引导学生经历近似数的形成过程，从“接近”的字面意思入手，借助数轴直观，感受“四舍五入”的由来，从而真正理解近似数的意义，并深刻地体会“四舍五入”法求近似数这一方法。既让学生对知识学习达到了“明知”的效果，也让笔者更深入理解了教学内容和学生，使自己的教学更加“笃行”。

（浙江省诸暨市同山镇中心学校 311808）endprint

生：在138万和139万之间，靠近139万。

（设计意图：通过数轴，再次体会近似数的就近原则）

师：刚才我们是观察得出的结论，能不能用“四舍五入”法来解释和介绍一下？

生：12756，要省略到万位，我看千位是2，所以要舍去，约等于1万。

生：1389000，要省略到万位，千位是9，所以要入，约等于139万。

（设计意图：直观演示与方法理解相结合，从而让学生感悟“取舍”之“源”与“法”。）

【环节五】巩固强化，深入感悟

课件出示练习：

1.把12756分别精确到万位，千位，百位，十位。

设问：你有什么感受？

结论：省略到哪一位，关键看那一位的低一位。

2.逆思维思考：除了12756四舍五入后是1万，你还能想到哪些数四舍五入后近似数也是10000？

3.观察数轴：哪些数四舍五入后是10000？请写下来，并讨论。

生1：最小的是5000，从5000到9999，都是进的。

生2：最大的是14000，舍去后就是10000；

生3：我有意见，最大应该是15000.

师：是14000还是15000？

生4，不对，15000进上去就是2万了。

师： 15000肯定不是了，14000四舍五入后确实是10000，再找一下有没有比14000更大的呢？

生5：我知道了，是14999。

师：说说你是怎么想的？

生5：从14000到15000还有999个整数，最大的是14999，这个数的千位是4，省略到万的话，就是约等于1万。

师：你们可以想象得出来吗？14000到15000之间其实还有999个整数。

运用课件展开14000～15000的数轴。

（设计意图：在数轴中，结合四舍五入的方法可以很直观地看出1万这个数所代表的区间与范围，而涵盖到14000还是到14999是学生理解的难点。笔者通过直观操作和表象操作相结合，从简单的方法运用到逆向思考，让学生结合数轴感受近似数所代表的精确数区间，突破了学生的认知难点，从而达到知其所以然的目的。）

4.用求近似数解决实际问题。

（1）星老师花了大约9万元买了一辆车，这辆车的实际价格可能是多少？

教师提示：从什么数到什么数都可以用9万来表示？

（2）世界之最：

（设计意图：其一让学生在实际应用中强化掌握用四舍五入求近似数的方法，其二让学生在实践中感受和体验用近似数表达数据的必要性，进一步体会求近似数方法的合理性。）

五、行之得——追本溯源方能知明笃行

知明方能行笃。学生的错误的产生总有其缘由，只有学生心中对所学的知识清晰而无疑时，他的学习行为才是真正意义上的自我建构，这个“明”是学生对知识的认识与理解之明。而教师需要追本溯源地厘清教与学中存在的问题脉络，这个“明”既体现在对教学内容的理解，也体现在对学生的认知困惑与结点的明了，只有这样的“明”，才能真正有效地引导学生基于生活经验与认知基础获得对新知识的内化与理解。

在这次教改实践中，笔者通过引导学生经历近似数的形成过程，从“接近”的字面意思入手，借助数轴直观，感受“四舍五入”的由来，从而真正理解近似数的意义，并深刻地体会“四舍五入”法求近似数这一方法。既让学生对知识学习达到了“明知”的效果，也让笔者更深入理解了教学内容和学生，使自己的教学更加“笃行”。

（浙江省诸暨市同山镇中心学校 311808）endprint

生：在138万和139万之间，靠近139万。

（设计意图：通过数轴，再次体会近似数的就近原则）

师：刚才我们是观察得出的结论，能不能用“四舍五入”法来解释和介绍一下？

生：12756，要省略到万位，我看千位是2，所以要舍去，约等于1万。

生：1389000，要省略到万位，千位是9，所以要入，约等于139万。

（设计意图：直观演示与方法理解相结合，从而让学生感悟“取舍”之“源”与“法”。）

【环节五】巩固强化，深入感悟

课件出示练习：

1.把12756分别精确到万位，千位，百位，十位。

设问：你有什么感受？

结论：省略到哪一位，关键看那一位的低一位。

2.逆思维思考：除了12756四舍五入后是1万，你还能想到哪些数四舍五入后近似数也是10000？

3.观察数轴：哪些数四舍五入后是10000？请写下来，并讨论。

生1：最小的是5000，从5000到9999，都是进的。

生2：最大的是14000，舍去后就是10000；

生3：我有意见，最大应该是15000.

师：是14000还是15000？

生4，不对，15000进上去就是2万了。

师： 15000肯定不是了，14000四舍五入后确实是10000，再找一下有没有比14000更大的呢？

生5：我知道了，是14999。

师：说说你是怎么想的？

生5：从14000到15000还有999个整数，最大的是14999，这个数的千位是4，省略到万的话，就是约等于1万。

师：你们可以想象得出来吗？14000到15000之间其实还有999个整数。

运用课件展开14000～15000的数轴。

（设计意图：在数轴中，结合四舍五入的方法可以很直观地看出1万这个数所代表的区间与范围，而涵盖到14000还是到14999是学生理解的难点。笔者通过直观操作和表象操作相结合，从简单的方法运用到逆向思考，让学生结合数轴感受近似数所代表的精确数区间，突破了学生的认知难点，从而达到知其所以然的目的。）

4.用求近似数解决实际问题。

（1）星老师花了大约9万元买了一辆车，这辆车的实际价格可能是多少？

教师提示：从什么数到什么数都可以用9万来表示？

（2）世界之最：

（设计意图：其一让学生在实际应用中强化掌握用四舍五入求近似数的方法，其二让学生在实践中感受和体验用近似数表达数据的必要性，进一步体会求近似数方法的合理性。）

五、行之得——追本溯源方能知明笃行

知明方能行笃。学生的错误的产生总有其缘由，只有学生心中对所学的知识清晰而无疑时，他的学习行为才是真正意义上的自我建构，这个“明”是学生对知识的认识与理解之明。而教师需要追本溯源地厘清教与学中存在的问题脉络，这个“明”既体现在对教学内容的理解，也体现在对学生的认知困惑与结点的明了，只有这样的“明”，才能真正有效地引导学生基于生活经验与认知基础获得对新知识的内化与理解。

在这次教改实践中，笔者通过引导学生经历近似数的形成过程，从“接近”的字面意思入手，借助数轴直观，感受“四舍五入”的由来，从而真正理解近似数的意义，并深刻地体会“四舍五入”法求近似数这一方法。既让学生对知识学习达到了“明知”的效果，也让笔者更深入理解了教学内容和学生，使自己的教学更加“笃行”。

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